1. ★★★ 发现规律解决问题是常见解题策略之一.已知数$a=1^{5}+2^{5}+3^{5}+4^{5}+5^{5}+···+29^{5}$,则这个数$a$的个位上的数为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

因为$1^{5}$的个位上的数是$1,2^{5}$的个位上的数是$2,3^{5}$的个位上的数是$3,4^{5}$的个位上的数是$4,5^{5}$的个位上的数是$5,6^{5}$的个位上的数是$6,7^{5}$的个位上的数是$7,8^{5}$的个位上的数是$8,9^{5}$的个位上的数是$9,10^{5}$的个位上的数是$0$,由此可发现:$n^{5}$的个位上的数与$n$的个位上的数相同.所以$a$的个位上的数应是$1+2+3+…+0+1+2+3+…+0+1+2+3+…+0+1+2+3+…+9$的结果的个位上的数,是5.故选C.

2. 如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图中“•”的个数为$a_{1}$,第2幅图中“•”的个数为$a_{2}$,第3幅图中“•”的个数为$a_{3}$,以此类推,则$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+···+\frac{1}{a_{18}}$的值为________.

$a_{1}=3=1×3,a_{2}=15=3×5,a_{3}=35=5×7……$
所以$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+…+\frac{1}{a_{18}}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{35×37}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{35}-\frac{1}{37})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{37})=\frac{18}{37}.$

3. |数学文化 漏刻是中国古代的一种计时工具.在宋朝时期,中国漏刻的发展达到了巅峰,其精确度和稳定性得到了极大的提高.漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间.水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶,再均匀地流入最下方的箭壶,使得壶中有刻度的小棍匀速升高,从而取得比较精确的时刻.某学习小组制作了一个漏刻模型.表中是小明记录的部分数据,其中有一个时间的数据记录错误.
| 时间/分钟 | …… | 10 | 20 | 30 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 小棍露出部分的长度/厘米 | …… | 2.6 | 3.2 | 3.6 | 4.4 |
(1)你认为第几分钟的数据记录错误,并说明理由.
(2)当小棍露出部分的长度为8厘米时,对应的时间应为多少?
(3)当小棍露出部分的长度为$n$厘米时,对应的时间应为分钟.

(1)第30分钟的数据记录错误.理由如下:第10分钟到第20分钟,长度变长0.6厘米,即10分钟变化0.6厘米;第10分钟到第30分钟,长度变化1厘米,即平均每10分钟变化0.5厘米;第10分钟到第40分钟,长度变化1.8厘米,即平均每10分钟长度变化0.6厘米.故第30分钟时的数据记录错误,正确数据应为3.8厘米.
(2)观察可得每经过10分钟,小棍露出部分的长度增加0.6厘米,即第0分钟时,小棍露出部分的长度为2厘米,$(8-2)÷0.6×10=100$(分钟),故当小棍露出部分为8厘米时,对应的时间应为100分钟.
(3) 由(2)可得露出部分为$n$厘米时,对应的时间应为$(n-2)÷0.6×10= (\frac{50}{3}n-\frac{100}{3})$分钟.