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1.(2024·湖州德清)已知空气的单位体积质量为$1.24×10^{-3}$克/厘米³,将$1.24×10^{-3}$用小数表示为（
A.0.000124
B.0.124
C.－0.00124
D.0.00124
D
）A.0.000124
B.0.124
C.－0.00124
D.0.00124
答案
1.D
解析
【分析】要将负指数形式的科学记数法转化为小数，需明确规则：当科学记数法的指数为负整数时，把原数的小数点向左移动指数的绝对值位数。本题中指数为-3，绝对值是3，因此将1.24的小数点向左移动3位，得到对应小数后匹配选项即可。
【解析】对于科学记数法表示的数$a×10^n$（$n$为负整数），转化为小数时，将$a$的小数点向左移动$|n|$位。本题中$1.24×10^{-3}$，$n=-3$，$|n|=3$，把1.24的小数点向左移动3位，得到$0.00124$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】科学记数法、负整数指数幂
【点评】本题考查负指数科学记数法与小数的转换，属于基础题型，核心是掌握小数点移动的规律，细心即可正确解答，适合巩固科学记数法的基础应用。
【难度系数】0.8
【解析】对于科学记数法表示的数$a×10^n$（$n$为负整数），转化为小数时，将$a$的小数点向左移动$|n|$位。本题中$1.24×10^{-3}$，$n=-3$，$|n|=3$，把1.24的小数点向左移动3位，得到$0.00124$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】科学记数法、负整数指数幂
【点评】本题考查负指数科学记数法与小数的转换，属于基础题型，核心是掌握小数点移动的规律，细心即可正确解答，适合巩固科学记数法的基础应用。
【难度系数】0.8
2.(2024·宁波江北)计算$a^{6}÷(-a^{2})$的结果是 ……………………………………………………………（
A.$a^{3}$
B.$a^{4}$
C.$-a^{3}$
D.$-a^{4}$
D
）A.$a^{3}$
B.$a^{4}$
C.$-a^{3}$
D.$-a^{4}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路是：先处理运算中的符号，再利用同底数幂的除法法则计算指数。首先，原式中除数带有负号，可先将负号单独提出，再对同底数幂部分应用除法法则，即底数不变，指数相减，最后结合符号确定结果。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$），同时注意运算符号：
$\begin{aligned}a^{6}÷(-a^{2})&= - (a^{6}÷a^{2})\\&= -a^{6-2}\\&= -a^{4}\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法，整式的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握同底数幂的除法法则，关键在于注意运算中的符号处理，避免符号错误即可轻松得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂的除法运算，解题思路是：先处理运算中的符号，再利用同底数幂的除法法则计算指数。首先，原式中除数带有负号，可先将负号单独提出，再对同底数幂部分应用除法法则，即底数不变，指数相减，最后结合符号确定结果。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$），同时注意运算符号：
$\begin{aligned}a^{6}÷(-a^{2})&= - (a^{6}÷a^{2})\\&= -a^{6-2}\\&= -a^{4}\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法，整式的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握同底数幂的除法法则，关键在于注意运算中的符号处理，避免符号错误即可轻松得出结果。
【难度系数】
0.8
3.(2024·宁波余姚)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是 ………………………………(
A.$(\frac{1}{2}m - n)(m + \frac{1}{2}n)$
B.$(-m - n)(m + n)$
C.$(m - 2)(m + 2)$
D.$(m - n)(n - m)$
C
)A.$(\frac{1}{2}m - n)(m + \frac{1}{2}n)$
B.$(-m - n)(m + n)$
C.$(m - 2)(m + 2)$
D.$(m - n)(n - m)$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断多项式乘法能否用平方差公式计算，需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，公式为$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。据此逐一分析选项：
选项A：两个二项式的项分别为$\frac{1}{2}m$与$m$、$-n$与$\frac{1}{2}n$，既无相同项也无互为相反数的项，不符合平方差公式；
选项B：可变形为$-(m+n)(m+n)$，两项完全相同，属于完全平方公式的形式，不符合平方差公式；
选项C：两个二项式为$(m-2)(m+2)$，有相同项$m$，互为相反数的项为$-2$和$+2$，符合平方差公式；
选项D：可变形为$-(m-n)(m-n)$，两项完全相同，属于完全平方公式的形式，不符合平方差公式。
【解析】
根据平方差公式的结构特征，逐一判断各选项：
A选项：$(\frac{1}{2}m - n)(m + \frac{1}{2}n)$，无相同项和互为相反数的项，不能用平方差公式；
B选项：$(-m - n)(m + n)=-(m+n)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式；
C选项：$(m - 2)(m + 2)$，满足平方差公式$(a-b)(a+b)$的结构（$a=m$，$b=2$），能用平方差公式计算；
D选项：$(m - n)(n - m)=-(m-n)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，多项式乘法
【点评】
本题考查平方差公式的结构识别，核心是区分平方差公式与完全平方公式的形式，属于基础题型，需准确把握公式特征避免混淆。
【难度系数】
0.7
要判断多项式乘法能否用平方差公式计算，需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，公式为$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。据此逐一分析选项：
选项A：两个二项式的项分别为$\frac{1}{2}m$与$m$、$-n$与$\frac{1}{2}n$，既无相同项也无互为相反数的项，不符合平方差公式；
选项B：可变形为$-(m+n)(m+n)$，两项完全相同，属于完全平方公式的形式，不符合平方差公式；
选项C：两个二项式为$(m-2)(m+2)$，有相同项$m$，互为相反数的项为$-2$和$+2$，符合平方差公式；
选项D：可变形为$-(m-n)(m-n)$，两项完全相同，属于完全平方公式的形式，不符合平方差公式。
【解析】
根据平方差公式的结构特征，逐一判断各选项：
A选项：$(\frac{1}{2}m - n)(m + \frac{1}{2}n)$，无相同项和互为相反数的项，不能用平方差公式；
B选项：$(-m - n)(m + n)=-(m+n)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式；
C选项：$(m - 2)(m + 2)$，满足平方差公式$(a-b)(a+b)$的结构（$a=m$，$b=2$），能用平方差公式计算；
D选项：$(m - n)(n - m)=-(m-n)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，多项式乘法
【点评】
本题考查平方差公式的结构识别，核心是区分平方差公式与完全平方公式的形式，属于基础题型，需准确把握公式特征避免混淆。
【难度系数】
0.7
4. 已知 $2m+3n=5$, 则 $4^m · 8^n=$ ……………………………………………………………………………… (
A.16
B.25
C.32
D.64
C
)A.16
B.25
C.32
D.64
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用幂的运算性质将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算。首先回忆幂的乘方和同底数幂乘法的法则，把4和8转化为以2为底的幂，再合并指数，最后代入2m+3n=5求值。
【解析】
解：根据幂的乘方性质：$(a^p)^q = a^{pq}$，可得：
$4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$，
$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$；
再根据同底数幂乘法性质：$a^p · a^q = a^{p+q}$，则：
$4^m · 8^n = 2^{2m} · 2^{3n} = 2^{2m+3n}$；
已知$2m+3n=5$，代入得：
$2^{2m+3n} = 2^5 = 32$，
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的基本运算，核心是通过幂的性质转化为同底数幂，利用整体代入简化计算，属于基础题型，需熟练掌握幂的运算法则。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用幂的运算性质将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算。首先回忆幂的乘方和同底数幂乘法的法则，把4和8转化为以2为底的幂，再合并指数，最后代入2m+3n=5求值。
【解析】
解：根据幂的乘方性质：$(a^p)^q = a^{pq}$，可得：
$4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$，
$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$；
再根据同底数幂乘法性质：$a^p · a^q = a^{p+q}$，则：
$4^m · 8^n = 2^{2m} · 2^{3n} = 2^{2m+3n}$；
已知$2m+3n=5$，代入得：
$2^{2m+3n} = 2^5 = 32$，
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的基本运算，核心是通过幂的性质转化为同底数幂，利用整体代入简化计算，属于基础题型，需熟练掌握幂的运算法则。
【难度系数】
0.6
5. (2024·衢州江山、开化)计算$(\dfrac{1}{5})^{2024} × (-5)^{2023}$结果为……………………………（
A.$5$
B.$-5$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$-\dfrac{1}{5}$
D
）A.$5$
B.$-5$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$-\dfrac{1}{5}$
答案
5.D
解析
【分析】本题考查幂的运算，解题思路是利用积的乘方的逆运算简化计算：先将指数较大的幂拆分为指数相同的两部分，再逆用积的乘方法则合并同指数的幂，最后计算结果。
【解析】解：原式 = $\dfrac{1}{5} × (\dfrac{1}{5})^{2023} × (-5)^{2023}$
= $\dfrac{1}{5} × [(\dfrac{1}{5}) × (-5)]^{2023}$（逆用积的乘方公式：$a^n·b^n=(ab)^n$）
= $\dfrac{1}{5} × (-1)^{2023}$
= $\dfrac{1}{5} × (-1)$
= $-\dfrac{1}{5}$
所以结果为$-\dfrac{1}{5}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】幂的运算（积的乘方逆运算）
【点评】本题属于幂的运算基础题，核心是掌握积的乘方逆运算的应用，通过拆分指数构造相同指数的幂简化计算，学生只要掌握基本运算规则即可解答。
【难度系数】0.6
【解析】解：原式 = $\dfrac{1}{5} × (\dfrac{1}{5})^{2023} × (-5)^{2023}$
= $\dfrac{1}{5} × [(\dfrac{1}{5}) × (-5)]^{2023}$（逆用积的乘方公式：$a^n·b^n=(ab)^n$）
= $\dfrac{1}{5} × (-1)^{2023}$
= $\dfrac{1}{5} × (-1)$
= $-\dfrac{1}{5}$
所以结果为$-\dfrac{1}{5}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】幂的运算（积的乘方逆运算）
【点评】本题属于幂的运算基础题，核心是掌握积的乘方逆运算的应用，通过拆分指数构造相同指数的幂简化计算，学生只要掌握基本运算规则即可解答。
【难度系数】0.6
6.(2024·绍兴柯桥)多项式$2x^2 -13x +b$中,有一个因式为$(x-5)$,则$b$的值为 ………………(
A.$-15$
B.$-3$
C.$15$
D.$3$
C
)A.$-15$
B.$-3$
C.$15$
D.$3$
答案
6.C
解析
【分析】本题利用因式定理求解：若多项式含有因式$(x - a)$，则当$x=a$时，该多项式的值为0。已知多项式$2x^2 -13x +b$有因式$(x-5)$，因此将$x=5$代入多项式，令其值为0，建立关于$b$的方程，即可求出$b$的值。
【解析】根据因式定理，当$x=5$时，$2x^2 -13x +b = 0$，代入计算：
$\begin{aligned}2×5^2 -13×5 +b&=0\\50 -65 +b&=0\\b&=15\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】因式定理、多项式因式分解
【点评】本题考查因式定理的基础应用，属于简单题型，解题思路明确，计算量小，学生掌握因式定理即可快速解答。
【难度系数】0.7
【解析】根据因式定理，当$x=5$时，$2x^2 -13x +b = 0$，代入计算：
$\begin{aligned}2×5^2 -13×5 +b&=0\\50 -65 +b&=0\\b&=15\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】因式定理、多项式因式分解
【点评】本题考查因式定理的基础应用，属于简单题型，解题思路明确，计算量小，学生掌握因式定理即可快速解答。
【难度系数】0.7
7. 若$ m,n $是正整数,则整式$ 4^m + 4^n - 2^{m+n+1} $是 ……………………………………………………（
A.正数
B.非负数
C.负数
D.可能是正数,也可能是负数
B
）A.正数
B.非负数
C.负数
D.可能是正数,也可能是负数
答案
7.B
解析
【分析】首先将整式中的4的幂转化为以2为底的幂，再通过变形使其符合完全平方公式的结构，最后根据平方数的非负性判断整式的取值范围。
【解析】因为m、n是正整数，所以：
$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$，$2^{m+n+1}=2×2^m×2^n$；
则原式可变形为：
$2^{2m} + 2^{2n} - 2×2^m×2^n = (2^m - 2^n)^2$；
由于任何数的平方都为非负数，因此$(2^m - 2^n)^2 ≥ 0$，即整式的值是非负数。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、幂的运算
【点评】本题核心是通过幂的运算对原式变形，转化为完全平方形式后利用平方的非负性判断结果，需掌握幂的乘方与完全平方公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
【解析】因为m、n是正整数，所以：
$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$，$2^{m+n+1}=2×2^m×2^n$；
则原式可变形为：
$2^{2m} + 2^{2n} - 2×2^m×2^n = (2^m - 2^n)^2$；
由于任何数的平方都为非负数，因此$(2^m - 2^n)^2 ≥ 0$，即整式的值是非负数。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、幂的运算
【点评】本题核心是通过幂的运算对原式变形，转化为完全平方形式后利用平方的非负性判断结果，需掌握幂的乘方与完全平方公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
8. 已知关于$x$的多项式$ax - b$与$3x^2 + x + 2$的乘积展开式中不含$x$的二次项，且一次项系数为$-5$，则$a^b$的值为 ……………………………………………………………………………………………………（
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$
A
）A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$
答案
8.A
解析
【分析】
要解决这道题，需先将两个多项式相乘展开并合并同类项，再根据“乘积展开式中不含x的二次项（即二次项系数为0）”和“一次项系数为-5”的条件，列出关于a、b的方程组，解出a、b的值后，计算$a^b$即可。
【解析】
首先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(ax - b)(3x^2 + x + 2)&=ax·3x^2 + ax· x + ax·2 - b·3x^2 - b· x - b·2\\&=3ax^3 + (a - 3b)x^2 + (2a - b)x - 2b\end{aligned}$
根据题意：
1. 不含x的二次项，说明二次项系数为0，即 $a - 3b = 0$；
2. 一次项系数为-5，即 $2a - b = -5$。
联立方程组：
$\begin{cases}a - 3b = 0 \\2a - b = -5\end{cases}$
由第一个方程得 $a = 3b$，将其代入第二个方程：
$2×3b - b = -5 \implies 5b = -5 \implies b = -1$
则 $a = 3×(-1) = -3$。
因此，$a^b = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；同类项合并；解二元一次方程组
【点评】
本题考查多项式乘法的展开与系数的应用，核心是根据“不含某一项”的条件转化为系数为0的等式，再通过解方程组求出参数，进而计算代数式的值，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先将两个多项式相乘展开并合并同类项，再根据“乘积展开式中不含x的二次项（即二次项系数为0）”和“一次项系数为-5”的条件，列出关于a、b的方程组，解出a、b的值后，计算$a^b$即可。
【解析】
首先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(ax - b)(3x^2 + x + 2)&=ax·3x^2 + ax· x + ax·2 - b·3x^2 - b· x - b·2\\&=3ax^3 + (a - 3b)x^2 + (2a - b)x - 2b\end{aligned}$
根据题意：
1. 不含x的二次项，说明二次项系数为0，即 $a - 3b = 0$；
2. 一次项系数为-5，即 $2a - b = -5$。
联立方程组：
$\begin{cases}a - 3b = 0 \\2a - b = -5\end{cases}$
由第一个方程得 $a = 3b$，将其代入第二个方程：
$2×3b - b = -5 \implies 5b = -5 \implies b = -1$
则 $a = 3×(-1) = -3$。
因此，$a^b = (-3)^{-1} = -\frac{1}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；同类项合并；解二元一次方程组
【点评】
本题考查多项式乘法的展开与系数的应用，核心是根据“不含某一项”的条件转化为系数为0的等式，再通过解方程组求出参数，进而计算代数式的值，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则。
【难度系数】
0.6
9.(2024·衢州江山、开化)如图,点B,C,E在同一直线上,正方形ABCD的面积比正方形CEFG的面积少8,则阴影部分面积为 ……………………（
A.2
B.4
C.8
D.16
B
）A.2
B.4
C.8
D.16
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，先设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据题意可知两个正方形的面积差为$b^2 - a^2 = 8$。接下来分析图形的面积组成，推导得出阴影部分面积与两个正方形面积差的关系，无需计算具体边长，利用整体代换即可求出结果。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，由题意得：$b^2 - a^2 = 8$。
通过分析组合图形的面积和差关系，可得阴影部分面积$S_{阴影} = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$，将$b^2 - a^2 = 8$代入，得：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形面积，三角形面积，图形面积和差
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，关键是找到阴影部分面积与两个正方形面积差的关系，利用整体代换简化计算，避免了复杂的边长求解，体现了几何题的巧算思路。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，先设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据题意可知两个正方形的面积差为$b^2 - a^2 = 8$。接下来分析图形的面积组成，推导得出阴影部分面积与两个正方形面积差的关系，无需计算具体边长，利用整体代换即可求出结果。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，由题意得：$b^2 - a^2 = 8$。
通过分析组合图形的面积和差关系，可得阴影部分面积$S_{阴影} = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$，将$b^2 - a^2 = 8$代入，得：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}×8 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形面积，三角形面积，图形面积和差
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，关键是找到阴影部分面积与两个正方形面积差的关系，利用整体代换简化计算，避免了复杂的边长求解，体现了几何题的巧算思路。
【难度系数】
0.4
10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，如$8=3^2 - 1^2$，$16=5^2 - 3^2$，即8，16均为“和谐数”，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（
A.255024
B.255054
C.255064
D.2505554
A
）A.255024
B.255054
C.255064
D.2505554
答案
10.A 解析:设相邻的两奇数分别为2n+1,2n-1(n≥1,且n为正整数),(2n+1)²-(2n-1)²=8n,根据题意得8n≤2017,所以n≤252 1/8,所以n最大为252,此时2n+1=505,2n-1=503,所以3²-1²+5²-3²+…+505²-503²=505²-1²=255024。故选A。
解析
【分析】首先根据“和谐数”的定义，设两个连续奇数为2n+1和2n-1（n为正整数，n≥1），利用平方差公式计算它们的平方差，得出和谐数的表达式为8n；接着根据和谐数不超过2017，解不等式8n≤2017，确定n的最大正整数值；最后利用平方差的抵消性（相邻和谐数的中间项相互抵消），简化求和过程，计算所有和谐数的和。
【解析】设相邻的两个奇数分别为2n+1、2n-1（n≥1，且n为正整数），根据平方差公式：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = [(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)] = 2 × 4n = 8n$
由此可知“和谐数”是8的倍数。根据题意，和谐数不超过2017，因此：
$8n ≤ 2017 \implies n ≤ \frac{2017}{8} = 252.125$
因为n为正整数，所以n的最大值为252。
所有和谐数的和为：
$(3^2 -1^2) + (5^2 -3^2) + \dots + (505^2 -503^2)$
中间项相互抵消，剩余首尾两项：
$505^2 -1^2 = 255025 -1 = 255024$
故选A。
【答案】A
【知识点】平方差公式、整式运算、规律探究
【点评】本题是规律探究类题目，核心是通过代数变形推导和谐数的表达式，再利用抵消法简化求和，考查了平方差公式的应用和不等式的求解，需要学生具备一定的代数推理能力，属于中等难度的题目。
【难度系数】0.5
【解析】设相邻的两个奇数分别为2n+1、2n-1（n≥1，且n为正整数），根据平方差公式：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = [(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)] = 2 × 4n = 8n$
由此可知“和谐数”是8的倍数。根据题意，和谐数不超过2017，因此：
$8n ≤ 2017 \implies n ≤ \frac{2017}{8} = 252.125$
因为n为正整数，所以n的最大值为252。
所有和谐数的和为：
$(3^2 -1^2) + (5^2 -3^2) + \dots + (505^2 -503^2)$
中间项相互抵消，剩余首尾两项：
$505^2 -1^2 = 255025 -1 = 255024$
故选A。
【答案】A
【知识点】平方差公式、整式运算、规律探究
【点评】本题是规律探究类题目，核心是通过代数变形推导和谐数的表达式，再利用抵消法简化求和，考查了平方差公式的应用和不等式的求解，需要学生具备一定的代数推理能力，属于中等难度的题目。
【难度系数】0.5
