1.(真题·温州苍南)如图1是$4×4$方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为1,现将它剪拼成一个“天平”造型放入一个矩形框架$ABCD$中(如图2),天平的上下两侧以及左右两侧均与框架重合,则该矩形框架的周长为________。

$16+4\sqrt{2}$ 解析:长方形$ABCD$的周长为$[(4+2\sqrt{2})+4]×2=16+4\sqrt{2}$。故答案为:$16+4\sqrt{2}$。

【分析】要计算矩形框架ABCD的周长，需先确定矩形的长和宽。观察七巧板拼接成的天平造型，矩形的宽等于4×4方格的垂直边长（天平上下侧与框架重合）；矩形的长由水平方向的4个单位长度加上两个小等腰直角三角形的斜边长度组成，小等腰直角三角形直角边为1，斜边为√2，据此可确定长的数值，再结合矩形周长公式计算即可。
【解析】1. 确定矩形的宽：天平上下侧与框架重合，对应4×4方格的垂直边长，故矩形宽为4；2. 确定矩形的长：水平方向除4个单位长度外，还有两个小等腰直角三角形的斜边，每个斜边长度为√(1²+1²)=√2，两个斜边总长为2√2，因此矩形长为4+2√2；3. 计算周长：根据矩形周长公式，周长=2×(长+宽)=2×[(4+2√2)+4]=2×(8+2√2)=16+4√2。
【答案】16+4√2
【知识点】七巧板拼接、矩形周长计算、等腰直角三角形性质
【点评】本题结合七巧板的实际应用，考查矩形周长的计算，核心是根据七巧板的边长关系确定矩形的长和宽，需掌握等腰直角三角形斜边的计算方法，难度适中。
【难度系数】0.5

2.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为 $2a$,则纸片的剩余部分的面积为 …………………………………………………………（）

A.$5a$
B.$4a$
C.$3a$
D.$2a$

B 解析:如图所示:
将正六边形分为6个全等的三角形,因为阴影部分的面积为$2a$,所以每一个三角形的面积为$a$,因为剩余部分可分割为4个三角形,所以剩余部分的面积为$4a$。故选:B。

【分析】
要解决这道题，需利用正六边形的对称性，将其分割为若干全等的三角形。先确定阴影部分对应的三角形数量，求出单个三角形的面积，再根据剩余部分包含的三角形数量计算其面积。
【解析】
正六边形可被分割为6个全等的等边三角形。观察图形可知，剪下的阴影部分面积等于2个这样的全等三角形的面积，已知阴影部分拼成的四边形面积为$2a$，因此每个全等三角形的面积为$2a÷2=a$。剩余部分的面积对应4个这样的全等三角形，故剩余部分面积为$4× a=4a$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形性质、图形面积分割
【点评】
本题通过将正六边形分割为全等三角形，利用面积比例关系求解，核心是掌握正六边形的对称性，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5

3.(真题·舟山定海)如图 1,有一张长为 40cm,宽为 $ l $cm 的长方形硬纸片。
(1)若裁去角上的四个小正方形之后,折成平面展开图为如图 2 所示的无盖纸盒,当 $ l=30 $cm,纸盒的底面积为$ 600\mathrm{cm}^2 $时,求裁去的正方形边长是多少?
(2)若裁去部分图形后,折成平面展开图为如图 3 所示底面是正三角形的无盖纸盒,则此时 $ l $ 为多少?当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等时,底面正三角形的边长是多少?

(1)设裁去的正方形边长为$x$ cm,由题意得:$(40-2x)(30-2x)=600$,解得:$x=5$或$x=30$(不合题意,舍),答:裁去的正方形边长为5cm。
(2)如图,延长$EF$交$CD$于点$P$,因为等边三角形$NEF$,所以$NF=EF$,$∠ NFE=60°$,由矩形可得:$EF=HK=NF=MQ$,$FK=FQ$,$∠ NFQ=90°$,所以设$EF=NF=MQ=HK=2a$,由题意得:四边形$CKFP$为矩形,所以$FK=PC$,$FP=KC=BH$,设$FK=FQ=PC=x$,因为$∠ NFE=60°$,所以$∠ QFP=90°-60°=30°$,$∠ FQP=60°$,在$\mathrm{Rt}△ FQP$中,$QP=\frac{1}{2}FQ=\frac{1}{2}x$,所以$FP=\sqrt{FQ^2-QP^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x=KC=BH$,因为$BH+HK+KC=40$,所以$2a+\sqrt{3}x=40$,因为$∠ MQF=90°$,所以$∠ MQD=90°-∠ FQP=30°$,所以在$\mathrm{Rt}△ MQD$中,$MD=\frac{1}{2}MQ=a$,所以由勾股定理得:$DQ=\sqrt{3}a$,因为$l=DQ+PQ+PC$,所以$l=\sqrt{3}a+\frac{3}{2}x$,因为$2a+\sqrt{3}x=40$,所以$(2a+\sqrt{3}x)×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a+\frac{3}{2}x=l=20\sqrt{3}$,过点$N$作$NG⊥ EF$于点$G$,则$GE=GF=a$,所以由勾股定理得:$NG=\sqrt{3}a$,所以$S_{△ NEF}=\frac{1}{2}EF× NG=\frac{1}{2}×2a×\sqrt{3}a=\sqrt{3}a^2$,因为纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等,$\sqrt{3}a^2=2ax·3$,所以$x=\frac{\sqrt{3}}{6}a$,将$x=\frac{\sqrt{3}}{6}a$代入$2a+\sqrt{3}x=40$,则$2a+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}a=40$,解得:$a=16$,所以等边三角形边长为32cm。

【分析】
第(1)问：折成无盖纸盒后，底面为长方形，其长和宽分别对应原长方形的长、宽减去2倍裁去正方形的边长，根据底面积为600cm²，设正方形边长为x，列一元二次方程求解，需舍去不符合实际的解；
第(2)问：折成底面为正三角形的无盖纸盒，需利用正三角形的性质（边长相等、内角60°）和直角三角形的边角关系，结合原长方形的长、宽与纸盒各部分边长的对应关系，先求出l，再根据底面积与侧面积相等的条件列方程，求解底面正三角形的边长。
【解析】
(1)设裁去的正方形边长为$ x $ cm，折成无盖纸盒后，底面长方形的长为$ (40 - 2x) $ cm，宽为$ (30 - 2x) $ cm，根据底面积为$ 600 \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$
整理得：
$x^2 - 35x + 150 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 30) = 0$
解得$ x = 5 $或$ x = 30 $。
当$ x = 30 $时，$ 30 - 2x = -30 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
故裁去的正方形边长为5 cm。
(2)设底面正三角形的边长$ EF = 2a $，$ FK = FQ = PC = x $。
因为$ △ NEF $是等边三角形，所以$ ∠ NFE = 60° $，在$ \mathrm{Rt}△ FQP $中，$ ∠ QFP = 30° $，则$ QP = \frac{1}{2}FQ = \frac{1}{2}x $，由勾股定理得$ FP = \frac{\sqrt{3}}{2}x $。
根据原长方形的长对应$ BH + HK + KC = 40 $，其中$ HK = EF = 2a $，$ BH = KC = FP = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，故：
$2a + \sqrt{3}x = 40$
原长方形的宽$ l = DQ + PQ + PC $，其中$ DQ = \sqrt{3}a $，代入得：
$l = \sqrt{3}a + \frac{1}{2}x + x = \sqrt{3}a + \frac{3}{2}x$
将$ 2a + \sqrt{3}x = 40 $两边同乘$ \frac{\sqrt{3}}{2} $，得$ \sqrt{3}a + \frac{3}{2}x = 20\sqrt{3} $，即$ l = 20\sqrt{3} $ cm。
当底面积与侧面积相等时，正三角形底面积$ S_{\mathrm{底}} = \frac{1}{2} × 2a × \sqrt{3}a = \sqrt{3}a^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = 3 × (2a · x) = 6ax $，列方程：
$\sqrt{3}a^2 = 6ax$
解得$ x = \frac{\sqrt{3}}{6}a $，代入$ 2a + \sqrt{3}x = 40 $：
$2a + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{6}a = 40 \implies 2.5a = 40 \implies a = 16$
故底面正三角形的边长为$ 2a = 32 $ cm。
【答案】
(1)裁去的正方形边长为5cm；(2)此时$ l $为$ 20\sqrt{3} $cm，底面正三角形的边长为32cm。
【知识点】
一元二次方程应用，正三角形性质，立体图形展开图
【点评】
本题结合长方形裁剪折叠成无盖纸盒的实际问题，考查方程思想与几何性质的综合应用，需理清折叠前后边长的对应关系，对几何分析能力要求较高。
【难度系数】
0.4