1. 关于 $ x $ 的方程 $ a(x+m)^2 + b = 0 $ 的解是 $ x_1 = 2, x_2 = 3 $（$ a, m, b $ 均为常数，$ a ≠ 0 $），则方程 $ a(x+m-2)^2 + b = 0 $ 的解是 ……………………………………………………………（）

A.$ x_1 = 4, x_2 = 5 $
B.$ x_1 = -4, x_2 = 3 $
C.$ x_1 = 0, x_2 = 1 $
D.$ x_1 = 2, x_2 = 3 $

解析:方程$a(x+m-2)^2+b=0$中,设$x-2=A$,则方程可化为$a(A+m)^2+b=0$,因为关于$x$的方程$a(x+m)^2+b=0$的解是$x_1=2,x_2=3(a,m,b$均为常数,$a≠0)$,所以关于$A$的方程$a(A+m)^2+b=0$的解是$A_1=2,A_2=3$,所以$x-2=2$或$x-2=3$,解得:$x_1=4,x_2=5$,所以方程$a(x+m-2)^2+b=0$的解是$x_1=4,x_2=5$,故答案为:A。

【分析】
本题考查一元二次方程解的应用，核心思路是利用换元法，观察两个方程的结构特征，将所求方程转化为已知解的方程形式。具体来说，已知方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解，所求方程$a(x+m-2)^2 + b = 0$可通过换元转化为与已知方程结构一致的形式，进而求解。
【解析】
设$A = x - 2$，则方程$a(x+m-2)^2 + b = 0$可化为$a(A + m)^2 + b = 0$。
因为关于$x$的方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解为$x_1 = 2$，$x_2 = 3$，所以关于$A$的方程$a(A + m)^2 + b = 0$的解为$A_1 = 2$，$A_2 = 3$。
将$A = x - 2$代入，得：
$x - 2 = 2$或$x - 2 = 3$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 5$。
因此方程$a(x+m-2)^2 + b = 0$的解为$x_1 = 4$，$x_2 = 5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解；换元法
【点评】
本题通过换元法将未知方程转化为已知解的方程，考查了学生对一元二次方程解的理解和换元思想的应用，属于基础题型，只要掌握换元法即可快速解答。
【难度系数】
0.6

2.古巴比伦挖掘出的泥版中,记载着一元二次方程正数解的几何解法。以$x(x+10)=375$为例说明,如图1,构造一个边长为$x$的正方形,加上一个长为$x$、宽为10的长方形;再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形,拼成边长为$x+5$的大正方形,如图2所示,则大正方形的面积为$375+25=400$,即可求得$x=15$。小明用此几何法解关于$x$的方程$x(x+p)=q$,若假设图1中正方形的面积为81,图2中大正方形的面积为144,则$p=$,$q=$。

解析:因为图1中正方形的边长为$x$,面积为81,所以$x=9$,因为图2中正方形的边长为$x+\frac{p}{2}$,面积为144,所以$x+\frac{p}{2}=12$,所以$p=6$,所以$9×(9+6)=135=q$,故答案为:6;135。

【分析】
本题结合几何图形的面积关系，将代数问题转化为几何问题求解。首先根据图1中正方形的面积求出边长x；再依据题目给出的几何构造规律，确定图2中大正方形的边长表达式，结合其面积算出边长，进而求得p；最后代入方程计算q的值。
【解析】
1. 由图1可知，正方形的面积为81，即$x^2 = 81$，因边长x为正数，故$x = \sqrt{81} = 9$；
2. 根据题中几何法的规律：图2中大正方形的边长为$x + \frac{p}{2}$，已知大正方形面积为144，因此大正方形的边长为$\sqrt{144} = 12$；
3. 代入$x=9$，得$9 + \frac{p}{2} = 12$，解得$\frac{p}{2}=3$，所以$p=6$；
4. 方程为$x(x+p)=q$，将$x=9$、$p=6$代入，得$q=9×(9+6)=135$。
【答案】
6；135
【知识点】
一元二次方程的几何解法；平方根；代数式求值
【点评】
本题通过几何图形面积关系考查一元二次方程的解法，体现了数形结合的数学思想，需理解几何构造与代数表达式的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.5