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1.已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - (2m+1)x + 2 = 0 $。
(1)判断此方程根的情况，并说明理由。
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数 $ m $ 的值的和。
(3)若此方程的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 $，求代数式 $ m(x_1^5 + x_2^5) - (2m+1)(x_1^4 + x_2^4) + 2(x_1^3 + x_2^3) $ 的值。
(1)判断此方程根的情况，并说明理由。
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数 $ m $ 的值的和。
(3)若此方程的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 $，求代数式 $ m(x_1^5 + x_2^5) - (2m+1)(x_1^4 + x_2^4) + 2(x_1^3 + x_2^3) $ 的值。
答案
(1)此方程总有两个实数根。理由:因为Δ=[-(2m+1)]²-4m·2=(2m-1)²,所以不论m为何值,(2m-1)²≥0,所以此方程总有两个实数根。
(2)方法一:设方程的两个根为$x_1$,$x_2$,则$x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}=2+\frac{1}{m}$,$x_1·x_2=\frac{2}{m}$。因为此方程的两个实数根都是整数,所以$m$的值为±1,所以符合条件的整数$m$的值的和为0。
方法二:分解因式可得$(mx-1)(x-2)=0$,则$mx-1=0$或$x-2=0$,解得$x_1=\frac{1}{m}$,$x_2=2$。因为方程的两个实数根都是整数,所以$m=±1$。所以符合条件的整数$m$的值的和为$1+(-1)=0$。
方法三:方程的两个实数根为$x=\frac{2m+1±\sqrt{(2m-1)^2}}{2m}$,所以$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{m}$,因为方程的两个实数根都是整数,且$m$为整数,所以符合条件的整数$m$的值的和为0。
(3)因为$x_1$,$x_2$是方程$mx^2-(2m+1)x+2=0$的两个实数根,所以$mx_1^2-(2m+1)x_1+2=0$,$mx_2^2-(2m+1)x_2+2=0$,所以$mx_1^5-(2m+1)x_1^4+2x_1^3=0$,$mx_2^5-(2m+1)x_2^4+2x_2^3=0$,以上两式相加,可得$m(x_1^5+x_2^5)-(2m+1)(x_1^4+x_2^4)+2(x_1^3+x_2^3)=0$,即$m(x_1^5+x_2^5)-(2m+1)(x_1^4+x_2^4)+2(x_1^3+x_2^3)=0$。
(2)方法一:设方程的两个根为$x_1$,$x_2$,则$x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}=2+\frac{1}{m}$,$x_1·x_2=\frac{2}{m}$。因为此方程的两个实数根都是整数,所以$m$的值为±1,所以符合条件的整数$m$的值的和为0。
方法二:分解因式可得$(mx-1)(x-2)=0$,则$mx-1=0$或$x-2=0$,解得$x_1=\frac{1}{m}$,$x_2=2$。因为方程的两个实数根都是整数,所以$m=±1$。所以符合条件的整数$m$的值的和为$1+(-1)=0$。
方法三:方程的两个实数根为$x=\frac{2m+1±\sqrt{(2m-1)^2}}{2m}$,所以$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{m}$,因为方程的两个实数根都是整数,且$m$为整数,所以符合条件的整数$m$的值的和为0。
(3)因为$x_1$,$x_2$是方程$mx^2-(2m+1)x+2=0$的两个实数根,所以$mx_1^2-(2m+1)x_1+2=0$,$mx_2^2-(2m+1)x_2+2=0$,所以$mx_1^5-(2m+1)x_1^4+2x_1^3=0$,$mx_2^5-(2m+1)x_2^4+2x_2^3=0$,以上两式相加,可得$m(x_1^5+x_2^5)-(2m+1)(x_1^4+x_2^4)+2(x_1^3+x_2^3)=0$,即$m(x_1^5+x_2^5)-(2m+1)(x_1^4+x_2^4)+2(x_1^3+x_2^3)=0$。
解析
【分析】
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 判断一元二次方程根的情况，需用根的判别式Δ，计算Δ后根据其符号判断；
(2) 求整数m的值，可先对原方程因式分解得到根，根据根为整数的条件确定整数m，再计算其和；
(3) 求代数式的值，利用方程根的定义，将根代入原方程变形得到高次项关系，整体代入化简求值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ mx^2 - (2m+1)x + 2 = 0 $，根的判别式：
$ \Delta = [-(2m+1)]^2 - 4 · m · 2 = (2m-1)^2 $，
因为 $ (2m-1)^2 ≥ 0 $，所以此方程总有两个实数根。
(2) 对原方程因式分解：
$ mx^2 - (2m+1)x + 2 = (mx -1)(x -2) = 0 $，
解得根为 $ x_1 = \frac{1}{m} $，$ x_2 = 2 $，
因两个根均为整数，且m为整数，故 $ \frac{1}{m} $ 为整数，整数m的值为±1，
符合条件的整数m的和为 $1 + (-1) = 0$。
(3) 因为 $ x_1, x_2 $ 是方程的根，代入原方程得：
$ mx_1^2 - (2m+1)x_1 + 2 = 0 $，两边乘 $ x_1^3 $ 得 $ mx_1^5 - (2m+1)x_1^4 + 2x_1^3 = 0 $，
同理对 $ x_2 $ 得 $ mx_2^5 - (2m+1)x_2^4 + 2x_2^3 = 0 $，
两式相加得：$ m(x_1^5 + x_2^5) - (2m+1)(x_1^4 + x_2^4) + 2(x_1^3 + x_2^3) = 0 $。
【答案】
(1) 此方程总有两个实数根；
(2) 0；
(3) 0。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，需掌握判别式的计算、因式分解解方程及利用根的定义整体代换化简，解题时要注意高次项的变形技巧，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 判断一元二次方程根的情况，需用根的判别式Δ，计算Δ后根据其符号判断；
(2) 求整数m的值，可先对原方程因式分解得到根，根据根为整数的条件确定整数m，再计算其和；
(3) 求代数式的值，利用方程根的定义，将根代入原方程变形得到高次项关系，整体代入化简求值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ mx^2 - (2m+1)x + 2 = 0 $，根的判别式：
$ \Delta = [-(2m+1)]^2 - 4 · m · 2 = (2m-1)^2 $，
因为 $ (2m-1)^2 ≥ 0 $，所以此方程总有两个实数根。
(2) 对原方程因式分解：
$ mx^2 - (2m+1)x + 2 = (mx -1)(x -2) = 0 $，
解得根为 $ x_1 = \frac{1}{m} $，$ x_2 = 2 $，
因两个根均为整数，且m为整数，故 $ \frac{1}{m} $ 为整数，整数m的值为±1，
符合条件的整数m的和为 $1 + (-1) = 0$。
(3) 因为 $ x_1, x_2 $ 是方程的根，代入原方程得：
$ mx_1^2 - (2m+1)x_1 + 2 = 0 $，两边乘 $ x_1^3 $ 得 $ mx_1^5 - (2m+1)x_1^4 + 2x_1^3 = 0 $，
同理对 $ x_2 $ 得 $ mx_2^5 - (2m+1)x_2^4 + 2x_2^3 = 0 $，
两式相加得：$ m(x_1^5 + x_2^5) - (2m+1)(x_1^4 + x_2^4) + 2(x_1^3 + x_2^3) = 0 $。
【答案】
(1) 此方程总有两个实数根；
(2) 0；
(3) 0。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，需掌握判别式的计算、因式分解解方程及利用根的定义整体代换化简，解题时要注意高次项的变形技巧，难度适中。
【难度系数】
0.5
2.材料一:定义:若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $，且满足 $ |x_1 + x_2| = |x_1 · x_2| $，则称此类方程为“和积方程”。
例如:$ x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} = 0 $，即 $ (x - 3)(x - \frac{3}{2}) = 0 $，解得 $ x_1 = 3, x_2 = \frac{3}{2} $。
因为 $ \left|3 + \frac{3}{2}\right| = \left|3 × \frac{3}{2}\right| $，所以 $ x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} = 0 $ 是“和积方程”。
材料二:法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现:若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ (a ≠ 0) $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1 · x_2 = \frac{c}{a} $，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”。
(1)方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (n + 3)x + 3n = 0 $ 是“和积方程”，则 $ n = $
(3)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 2m = 0 $ 是“和积方程”，求 $ m $ 的值。
例如:$ x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} = 0 $，即 $ (x - 3)(x - \frac{3}{2}) = 0 $，解得 $ x_1 = 3, x_2 = \frac{3}{2} $。
因为 $ \left|3 + \frac{3}{2}\right| = \left|3 × \frac{3}{2}\right| $，所以 $ x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} = 0 $ 是“和积方程”。
材料二:法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现:若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ (a ≠ 0) $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1 · x_2 = \frac{c}{a} $，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”。
(1)方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
不是
(填“是”或“不是”)“和积方程”。(2)若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (n + 3)x + 3n = 0 $ 是“和积方程”，则 $ n = $
$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$
。(3)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 2m = 0 $ 是“和积方程”，求 $ m $ 的值。
答案
(1)不是 解析:设方程$x^2-5x+6=0$的两个实数根为$x_1$,$x_2$,所以$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$,$x_1·x_2=6$,因为$|5|≠|6|$,所以$|x_1+x_2|≠|x_1·x_2|$,所以方程$x^2-5x+6=0$不是“和积方程”,故答案为:不是。
(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$ 解析:因为关于$x$的方程$x^2-(n+3)x+3n=0$是“和积方程”,$x_1+x_2=n+3$,$x_1·x_2=3n$,所以$|n+3|=|3n|$,当$n+3=3n$时,解得$n=\frac{3}{2}$;当$n+3=-3n$时,解得$n=-\frac{3}{4}$;因为$\Delta=(n+3)^2-12n=(n-3)^2≥0$,所以$n$为全体实数,故答案为:$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$。
(3)因为方程$x^2+(2m+1)x+m^2+2m=0$有两个实数根,所以$\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+2m)≥0$,所以$m≤\frac{1}{4}$。因为方程$x^2+(2m+1)x+m^2+2m=0$是“和积方程”,所以$|2m+1|=|m^2+2m|$,当$2m+1=m^2+2m$时,整理得$m^2=1$,解得$m=1$或$m=-1$;当$2m+1=-m^2-2m$时,整理得$m^2+4m+1=0$,解得$m=\sqrt{3}-2$或$m=-\sqrt{3}-2$;所以$m$的值为$-1$或$\sqrt{3}-2$或$-\sqrt{3}-2$。
(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$ 解析:因为关于$x$的方程$x^2-(n+3)x+3n=0$是“和积方程”,$x_1+x_2=n+3$,$x_1·x_2=3n$,所以$|n+3|=|3n|$,当$n+3=3n$时,解得$n=\frac{3}{2}$;当$n+3=-3n$时,解得$n=-\frac{3}{4}$;因为$\Delta=(n+3)^2-12n=(n-3)^2≥0$,所以$n$为全体实数,故答案为:$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$。
(3)因为方程$x^2+(2m+1)x+m^2+2m=0$有两个实数根,所以$\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+2m)≥0$,所以$m≤\frac{1}{4}$。因为方程$x^2+(2m+1)x+m^2+2m=0$是“和积方程”,所以$|2m+1|=|m^2+2m|$,当$2m+1=m^2+2m$时,整理得$m^2=1$,解得$m=1$或$m=-1$;当$2m+1=-m^2-2m$时,整理得$m^2+4m+1=0$,解得$m=\sqrt{3}-2$或$m=-\sqrt{3}-2$;所以$m$的值为$-1$或$\sqrt{3}-2$或$-\sqrt{3}-2$。
解析
【分析】
首先明确“和积方程”的定义：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实根$x_1$、$x_2$满足$|x_1+x_2|=|x_1·x_2|$，则该方程为“和积方程”。解题时需利用韦达定理求出根的和与积，代入绝对值相等的条件建立方程求解，同时要注意一元二次方程有两个实根的前提是判别式$\Delta≥0$，需对解进行验证，排除不符合条件的解。
【解析】
(1) 设方程$x^2-5x+6=0$的两个实根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=5$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=6$。
因为$|5|≠|6|$，不满足“和积方程”的条件，所以该方程不是“和积方程”。
(2) 对于方程$x^2-(n+3)x+3n=0$，根据韦达定理：
$x_1+x_2 = n+3$，$x_1·x_2=3n$。
因为该方程是“和积方程”，所以$|n+3|=|3n|$，分两种情况：
① 当$n+3=3n$时，解得$n=\frac{3}{2}$；
② 当$n+3=-3n$时，解得$n=-\frac{3}{4}$。
验证判别式$\Delta=(n+3)^2 -4×1×3n=(n-3)^2≥0$，对任意$n$均成立，故$n$的值为$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$。
(3) 对于方程$x^2+(2m+1)x+m^2+2m=0$，首先方程有两个实根，故判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(2m+1)^2 -4×1×(m^2+2m)=4m^2+4m+1 -4m^2-8m=-4m+1≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$。
根据韦达定理，方程的根满足$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1·x_2=m^2+2m$，因为是“和积方程”，所以$|2m+1|=|m^2+2m|$，分两种情况：
① 当$2m+1=m^2+2m$时，整理得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
② 当$2m+1=-(m^2+2m)$时，整理得$m^2+4m+1=0$，解得$m=-2±\sqrt{3}$。
结合$m≤\frac{1}{4}$的条件：$m=1＞\frac{1}{4}$，舍去；$m=-1≤\frac{1}{4}$，保留；$m=-2+\sqrt{3}≈-0.268≤\frac{1}{4}$，保留；$m=-2-\sqrt{3}≈-3.732≤\frac{1}{4}$，保留。故$m$的值为$-1$、$\sqrt{3}-2$、$-\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1)不是；(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$；(3)$-1$，$\sqrt{3}-2$，$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、绝对值方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“和积方程”的定义，结合韦达定理和绝对值的性质求解，同时需注意一元二次方程有实根的前提（判别式非负），避免增根，考查学生的阅读理解能力与代数运算的严谨性。
【难度系数】
0.4
首先明确“和积方程”的定义：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实根$x_1$、$x_2$满足$|x_1+x_2|=|x_1·x_2|$，则该方程为“和积方程”。解题时需利用韦达定理求出根的和与积，代入绝对值相等的条件建立方程求解，同时要注意一元二次方程有两个实根的前提是判别式$\Delta≥0$，需对解进行验证，排除不符合条件的解。
【解析】
(1) 设方程$x^2-5x+6=0$的两个实根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=5$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=6$。
因为$|5|≠|6|$，不满足“和积方程”的条件，所以该方程不是“和积方程”。
(2) 对于方程$x^2-(n+3)x+3n=0$，根据韦达定理：
$x_1+x_2 = n+3$，$x_1·x_2=3n$。
因为该方程是“和积方程”，所以$|n+3|=|3n|$，分两种情况：
① 当$n+3=3n$时，解得$n=\frac{3}{2}$；
② 当$n+3=-3n$时，解得$n=-\frac{3}{4}$。
验证判别式$\Delta=(n+3)^2 -4×1×3n=(n-3)^2≥0$，对任意$n$均成立，故$n$的值为$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$。
(3) 对于方程$x^2+(2m+1)x+m^2+2m=0$，首先方程有两个实根，故判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(2m+1)^2 -4×1×(m^2+2m)=4m^2+4m+1 -4m^2-8m=-4m+1≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$。
根据韦达定理，方程的根满足$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1·x_2=m^2+2m$，因为是“和积方程”，所以$|2m+1|=|m^2+2m|$，分两种情况：
① 当$2m+1=m^2+2m$时，整理得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
② 当$2m+1=-(m^2+2m)$时，整理得$m^2+4m+1=0$，解得$m=-2±\sqrt{3}$。
结合$m≤\frac{1}{4}$的条件：$m=1＞\frac{1}{4}$，舍去；$m=-1≤\frac{1}{4}$，保留；$m=-2+\sqrt{3}≈-0.268≤\frac{1}{4}$，保留；$m=-2-\sqrt{3}≈-3.732≤\frac{1}{4}$，保留。故$m$的值为$-1$、$\sqrt{3}-2$、$-\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1)不是；(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$；(3)$-1$，$\sqrt{3}-2$，$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、绝对值方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“和积方程”的定义，结合韦达定理和绝对值的性质求解，同时需注意一元二次方程有实根的前提（判别式非负），避免增根，考查学生的阅读理解能力与代数运算的严谨性。
【难度系数】
0.4
