8 [2024 凉山]数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案如下:在工件圆弧上任取两点 A,B,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测出$AB=40\ \mathrm{cm}$,$CD=10\ \mathrm{cm}$,则圆形工件的半径为cm.

8. 25

9 如图,在 $5 × 7$ 的网格中,各小正方形的边长均为 1 ,点 $O,A,B,C,D,E$ 均在格点上,点 $O$ 是
$△ ABC$ 的外心,在不添加其他字母的情况下,则除 $△ ABC$ 外,外心也是点 $O$ 的三角形为
.

9. $△ ABD, △ ACD, △ BCD$

10 在如图所示的方格纸中,每个方格的边长为 1,A,O 两点均在格线的交点上.若在此方格纸格线的交点上另外找两点 B,C,使得 $△ ABC$ 的外心为点 O,则 BC 的长为.

10. $2\sqrt{5}$

11 已知平面直角坐标系中的三个点$A(1,-1),B(-2,5),C(4,-6)$,则A,B,C这三个点确定一个圆(填“可以”或“不可以”).

11. 可以 【解析】设经过点 $A,B$ 的直线对应的函数表达式为 $y=kx+b$. 把点 $A,B$ 的坐标代入, 得 $\begin{cases} k+b=-1,\\ -2k+b=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=1. \end{cases}$ $\therefore$ 经过点 $A,B$ 的直线对应的函数表达式为 $y=-2x+1$. 当 $x=4$ 时, $y=-2×4+1=-7\ne-6$, $\therefore$ 点 $C$ 不在直线 $AB$ 上, 即点 $A,B,C$ 不在同一条直线上, $\therefore A,B,C$ 这三个点可以确定一个圆.

12 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$EF$是$AC$的垂直平分线,交$AB$,$AD$,$AC$于点$E$,$O$,$F$.若$AB=4$,$OF=1$,求$△ ABC$的外接圆的面积.

12. $\because AB=AC$, $\therefore △ ABC$ 是等腰三角形. 又 $\because AD$ 平分 $∠ BAC$, $\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线. $\because EF$ 垂直平分 $AC$, $\therefore$ 点 $O$ 是 $△ ABC$ 的外心, $\therefore OA$ 是 $△ ABC$ 的外接圆的半径. 在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中, $AF=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}AB=2$, $OF=1$, $\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$, $\therefore △ ABC$ 的外接圆的面积为 $(\sqrt{5})^2×π=5π$

13 分类讨论思想 [2025 上海改编] 如图, 在 $△ A B C$ 中, $A B=A C=5, B C=6, \odot O$ 经过 $B, C$ 两点, 且$A O=3$, 求 $\odot O$ 的半径.

13. 如图, 过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$, 垂足为 $D$. $\because AB=AC=5$, $AD ⊥ BC$, $BC=6$, $\therefore$ 易得点 $O$ 在直线 $AD$ 上, $BD=\dfrac{1}{2}BC=3$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$. 当点 $O_1$ 在 $AD$ 的反向延长线上时, 连接 $O_1B$. $\because O_1D=AD+AO_1=4+3=7$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_1BD$ 中, $O_1B=\sqrt{O_1D^2+BD^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$. 当点 $O_2$ 在线段 $AD$ 上时, 连接 $O_2B$. $\because O_2D=AD-AO_2=4-3=1$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ O_2BD$ 中, $O_2B=\sqrt{O_2D^2+BD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. 综上所述, $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{58}$ 或 $\sqrt{10}$