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一、选择题
1. 下列场景中,组间离差平方和理论上应最小的是 （
A.按“性别”分组研究身高
B.按“年龄(儿童/青年/老年)”分组研究血压
C.按“随机编号”分组研究考试成绩
D.按“学历(小学/中学/大学)”分组研究收入
1. 下列场景中,组间离差平方和理论上应最小的是 （
C
）A.按“性别”分组研究身高
B.按“年龄(儿童/青年/老年)”分组研究血压
C.按“随机编号”分组研究考试成绩
D.按“学历(小学/中学/大学)”分组研究收入
答案
1.C
解析
【分析】首先明确组间离差平方和的核心含义：它用于衡量不同分组之间的差异程度，组间离差平方和越小，说明各组之间的系统性差异越小。接下来逐一分析选项的分组逻辑：A选项按性别分组研究身高，性别是影响身高的重要因素，组间差异显著；B选项按年龄分组研究血压，年龄对血压有明显影响，组间差异大；C选项按随机编号分组，属于无系统性关联的随机划分，组间几乎不存在本质差异，理论上组间离差平方和最小；D选项按学历分组研究收入，学历是影响收入的关键因素，组间差异明显。因此需选择随机分组的选项。
【解析】组间离差平方和反映不同组间的差异大小，差异越小则组间离差平方和越小。A项性别分组的身高差异、B项年龄分组的血压差异、D项学历分组的收入差异均为系统性的组间差异，组间离差平方和较大；C项随机编号分组无系统性分组依据，组间差异最小，理论上组间离差平方和最小。
【答案】C
【知识点】组间离差平方和、统计学分组差异
【点评】本题考查统计学中组间离差平方和的基础概念应用，核心是理解组间离差平方和与组间差异的关系，通过分析分组的系统性关联即可得出结论，属于基础概念类题目。
【难度系数】0.3
【解析】组间离差平方和反映不同组间的差异大小，差异越小则组间离差平方和越小。A项性别分组的身高差异、B项年龄分组的血压差异、D项学历分组的收入差异均为系统性的组间差异，组间离差平方和较大；C项随机编号分组无系统性分组依据，组间差异最小，理论上组间离差平方和最小。
【答案】C
【知识点】组间离差平方和、统计学分组差异
【点评】本题考查统计学中组间离差平方和的基础概念应用，核心是理解组间离差平方和与组间差异的关系，通过分析分组的系统性关联即可得出结论，属于基础概念类题目。
【难度系数】0.3
2.在某次期末考试中,甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表:
根据表中数据,下列分析正确的是 （
A.甲学校八年级总分比乙学校高
B.甲学校八年级男生人数比乙学校多
C.甲学校八年级男生比例比乙学校高
D.甲学校八年级女生人数多于男生
根据表中数据,下列分析正确的是 （
C
）A.甲学校八年级总分比乙学校高
B.甲学校八年级男生人数比乙学校多
C.甲学校八年级男生比例比乙学校高
D.甲学校八年级女生人数多于男生
答案
2.C
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需利用“年级平均分是男生平均分和女生平均分的加权平均数”这一关系，通过公式推导计算甲、乙两学校男女生的人数比例，再结合比例分析选项。核心思路是：根据加权平均数的定义变形得到男女生人数比，进而分析人数比例、总人数相关的选项。
【解析】
1. 计算甲学校男女生人数比例：
设甲学校男生人数为$x_甲$，女生人数为$y_甲$，根据加权平均数公式：
$92 = \frac{95x_甲 + 85y_甲}{x_甲 + y_甲}$
变形整理得：$3x_甲 =7y_甲$，即$\frac{x_甲}{y_甲}=\frac{7}{3}$，因此甲学校男生人数占比为$\frac{7}{7+3}=70\%$，女生占比30%。
2. 计算乙学校男女生人数比例：
设乙学校男生人数为$x_乙$，女生人数为$y_乙$，同理：
$91 = \frac{97x_乙 +87y_乙}{x_乙 + y_乙}$
变形整理得：$6x_乙=4y_乙$，即$\frac{x_乙}{y_乙}=\frac{2}{3}$，因此乙学校男生人数占比为$\frac{2}{2+3}=40\%$，女生占比60%。
3. 分析选项：
A选项：两学校总人数未知，无法计算总分，错误；
B选项：仅知男女生比例，不知两校总人数，无法比较男生人数，错误；
C选项：甲男生占比70%，乙男生占比40%，甲男生比例更高，正确；
D选项：甲学校男生:女生=7:3，男生人数多于女生，错误。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数，比例计算
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，关键是利用加权平均数关系推导男女生人数比例，需注意总人数未知时无法比较总人数相关的量，是易错题。
【难度系数】
0.5
要判断各选项是否正确，需利用“年级平均分是男生平均分和女生平均分的加权平均数”这一关系，通过公式推导计算甲、乙两学校男女生的人数比例，再结合比例分析选项。核心思路是：根据加权平均数的定义变形得到男女生人数比，进而分析人数比例、总人数相关的选项。
【解析】
1. 计算甲学校男女生人数比例：
设甲学校男生人数为$x_甲$，女生人数为$y_甲$，根据加权平均数公式：
$92 = \frac{95x_甲 + 85y_甲}{x_甲 + y_甲}$
变形整理得：$3x_甲 =7y_甲$，即$\frac{x_甲}{y_甲}=\frac{7}{3}$，因此甲学校男生人数占比为$\frac{7}{7+3}=70\%$，女生占比30%。
2. 计算乙学校男女生人数比例：
设乙学校男生人数为$x_乙$，女生人数为$y_乙$，同理：
$91 = \frac{97x_乙 +87y_乙}{x_乙 + y_乙}$
变形整理得：$6x_乙=4y_乙$，即$\frac{x_乙}{y_乙}=\frac{2}{3}$，因此乙学校男生人数占比为$\frac{2}{2+3}=40\%$，女生占比60%。
3. 分析选项：
A选项：两学校总人数未知，无法计算总分，错误；
B选项：仅知男女生比例，不知两校总人数，无法比较男生人数，错误；
C选项：甲男生占比70%，乙男生占比40%，甲男生比例更高，正确；
D选项：甲学校男生:女生=7:3，男生人数多于女生，错误。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数，比例计算
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，关键是利用加权平均数关系推导男女生人数比例，需注意总人数未知时无法比较总人数相关的量，是易错题。
【难度系数】
0.5
3.把一组数据2,8,10,4,12按从小到大的顺序排列后分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$
B
）A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$
答案
3.B
解析
【分析】要解决该问题，需明确组内离差平方和的定义：每组中每个数据与该组平均值的差的平方之和。先将数据排序，再分别计算四个选项对应的两组数据的离差平方和，求和后比较大小，选出总离差平方和最小的选项。
【解析】首先将数据从小到大排序：2,4,8,10,12。分别计算各选项的组内离差平方和：
选项A：分组为{2}和{4,8,10,12}。第一组离差平方和：$(2-2)^2=0$；第二组均值为$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5$，离差平方和为$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$，总离差平方和为$0+35=35$。
选项B：分组为{2,4}和{8,10,12}。第一组均值为$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；第二组均值为$\frac{8+10+12}{3}=10$，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$，总离差平方和为$2+8=10$。
选项C：分组为{2,4,8}和{10,12}。第一组均值为$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}\approx18.67$；第二组均值为$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$，总离差平方和约为$18.67+2=20.67$。
选项D：分组为{2,4,8,10}和{12}。第一组均值为$\frac{2+4+8+10}{4}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+4+16=40$；第二组离差平方和为$(12-12)^2=0$，总离差平方和为$40+0=40$。
比较可知，选项B的总离差平方和最小。
【答案】B
【知识点】组内离差平方和、数据分组计算
【点评】本题考查组内离差平方和的计算，核心是准确理解离差平方和的定义，通过计算各选项结果比较得出答案，计算过程需细心，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】首先将数据从小到大排序：2,4,8,10,12。分别计算各选项的组内离差平方和：
选项A：分组为{2}和{4,8,10,12}。第一组离差平方和：$(2-2)^2=0$；第二组均值为$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5$，离差平方和为$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$，总离差平方和为$0+35=35$。
选项B：分组为{2,4}和{8,10,12}。第一组均值为$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；第二组均值为$\frac{8+10+12}{3}=10$，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$，总离差平方和为$2+8=10$。
选项C：分组为{2,4,8}和{10,12}。第一组均值为$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}\approx18.67$；第二组均值为$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$，总离差平方和约为$18.67+2=20.67$。
选项D：分组为{2,4,8,10}和{12}。第一组均值为$\frac{2+4+8+10}{4}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+4+16=40$；第二组离差平方和为$(12-12)^2=0$，总离差平方和为$40+0=40$。
比较可知，选项B的总离差平方和最小。
【答案】B
【知识点】组内离差平方和、数据分组计算
【点评】本题考查组内离差平方和的计算，核心是准确理解离差平方和的定义，通过计算各选项结果比较得出答案，计算过程需细心，难度适中。
【难度系数】0.5
4.将数据7,12,15,25分成两组,计算组内离差平方和。方案1:把数据分成{7},{12,15,25}两组,组内离差平方和为92.7;方案2:把数据分成{7,12},{15,25}两组,组内离差平方和为62.5;方案3:把数据分成{7,12,15},{25}两组,组内离差平方和为32.7。其中,方案
3
组内数据波动最小。答案
4.3
解析
【分析】要判断哪个方案组内数据波动最小，需明确：组内离差平方和是衡量组内数据波动程度的指标，组内离差平方和越小，组内数据的波动程度越小。因此只需比较三个方案的组内离差平方和的大小，找到数值最小的对应的方案即可。
【解析】已知三个方案的组内离差平方和分别为：方案1为92.7，方案2为62.5，方案3为32.7。比较三个数的大小可得：32.7＜62.5＜92.7，方案3的组内离差平方和最小，对应组内数据波动最小。
【答案】3
【知识点】离差平方和，数据波动程度
【点评】本题考查组内离差平方和与数据波动的关系，属于基础统计类题目，只需比较数值大小即可得出结论，难度较低。
【难度系数】0.2
【解析】已知三个方案的组内离差平方和分别为：方案1为92.7，方案2为62.5，方案3为32.7。比较三个数的大小可得：32.7＜62.5＜92.7，方案3的组内离差平方和最小，对应组内数据波动最小。
【答案】3
【知识点】离差平方和，数据波动程度
【点评】本题考查组内离差平方和与数据波动的关系，属于基础统计类题目，只需比较数值大小即可得出结论，难度较低。
【难度系数】0.2
