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18. 如图,交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了A,D两座可旋转探照灯。假定主道路是平行的,即$PQ// CN$,A,B为PQ上两点,AD平分$∠CAB$交CN于点D,E为AD上一点,联结BE,AF平分$∠BAD$交BE于点F。
(1)若$∠EAP=100°$,则$∠C=$
(2)若点G为线段CD上一点,且满足$∠ADC=2∠GAD$,当$∠BED+∠GAF=180°$时,试说明:$AC// BE$。
(3)在(1)问的条件下,探照灯A,D射出的光线在道路所在平面旋转。探照灯A射出的光线$l_A$从AC处开始以每秒$4°$的速度绕点A按逆时针方向转动,探照灯D射出的光线$l_D$从DN处开始以每秒$12°$的速度绕点D按逆时针方向转动,当$l_D$转至射线DC后立即以相同速度回转。若它们同时开始转动,当$l_D$回到出发时的位置DN时,同时停止转动。设转动的时间为t秒,则在转动过程中,当$l_A⊥l_D$时,请直接写出此时t的值。
(1)若$∠EAP=100°$,则$∠C=$
20°
。(2)若点G为线段CD上一点,且满足$∠ADC=2∠GAD$,当$∠BED+∠GAF=180°$时,试说明:$AC// BE$。
(3)在(1)问的条件下,探照灯A,D射出的光线在道路所在平面旋转。探照灯A射出的光线$l_A$从AC处开始以每秒$4°$的速度绕点A按逆时针方向转动,探照灯D射出的光线$l_D$从DN处开始以每秒$12°$的速度绕点D按逆时针方向转动,当$l_D$转至射线DC后立即以相同速度回转。若它们同时开始转动,当$l_D$回到出发时的位置DN时,同时停止转动。设转动的时间为t秒,则在转动过程中,当$l_A⊥l_D$时,请直接写出此时t的值。
答案
18.(1)$20°$
(2)证明:设∠GAD=x,则∠ADC=2∠GAD=2x。因为PQ//CN,所以∠ADC=∠BAD=2x。因为AF平分∠BAD,AD平分∠CAB,所以$∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD=x$,∠BAD=∠CAD=2x,所以∠GAF=∠GAD+∠EAF=2x。因为∠BED+∠GAF=180°=∠BED+∠AEF,所以∠GAF=∠AEF=2x,所以∠CAD=∠AEF,所以AC//BE。
(3)解:t的值为$\frac{55}{4}$或$\frac{215}{8}$。【解析】180°÷12°=15(秒),360°÷12°=30(秒)。由题意,得∠PAR=20°+4t°。如图1,当0＜t≤15时,AR⊥DM,此时∠RDM=180°-12t°。因为∠RMD=90°,所以∠MRD+∠RDM=90°。因为PQ//CN,所以∠PAR=20°+4t°=∠MRD,所以20°+4t°+180°-12t°=90°,解得$t=\frac{55}{4}$;如图2,当15＜t≤30时,AR⊥DM,此时∠RDM=360°-12t°。因为∠RMD=90°,所以∠MRD+∠RDM=90°。因为PQ//CN,所以∠PAR+∠MRD=180°。因为∠PAR=20°+4t°,所以∠MRD=180°-(4t°+20°)=160°-4t°,所以160°-4t°+360°-12t°=90°,解得$t=\frac{215}{8}$。综上所述,t的值为$\frac{55}{4}$或$\frac{215}{8}$。
解析
【分析】
本题是平行线、角平分线与旋转的综合几何题，解题思路如下：
(1) 利用平行线的内错角性质、角平分线的定义，结合已知∠EAP=100°，先求出相关角的度数，进而推导∠C的度数；
(2) 通过设角参数，利用角平分线性质、平行线性质，结合已知的角度和为180°，推导内错角相等，证明两直线平行；
(3) 分析探照灯的旋转周期，确定时间范围，分探照灯D逆时针旋转和回转两种情况，根据垂直时角度和为90°列方程求解t。
【解析】
(1) 因为PQ//CN，AD平分∠CAB，AF平分∠BAD，∠EAP=100°，
所以∠PAB=180°−∠EAP=80°，
由AD平分∠CAB得∠BAD=∠CAD，
又PQ//CN，故∠ADC=∠BAD，
结合角的关系可得∠C=20°；
(2) 证明：设∠GAD=x，则∠ADC=2∠GAD=2x，
因为PQ//CN，所以∠ADC=∠BAD=2x，
因为AF平分∠BAD，AD平分∠CAB，
所以∠EAF=1/2∠BAD=x，∠CAD=∠BAD=2x，
因此∠GAF=∠GAD+∠EAF=x+x=2x，
已知∠BED+∠GAF=180°，又∠BED+∠AEF=180°，
所以∠AEF=∠GAF=2x，
故∠CAD=∠AEF，根据内错角相等，两直线平行，得AC//BE；
(3) 解：探照灯D从DN旋转到DC需180°÷12°=15秒，回到DN总时间为30秒，分两种情况：
① 当0＜t≤15时，l_D逆时针旋转，∠RDM=180°−12t°，l_A转动后∠PAR=20°+4t°，
因为l_A⊥l_D，所以∠PAR + ∠RDM=90°，
即20+4t+180−12t=90，解得t=55/4；
② 当15＜t≤30时，l_D回转，∠RDM=360°−12t°，l_A转动后∠MRD=160°−4t°，
因为l_A⊥l_D，所以∠MRD + ∠RDM=90°，
即160−4t+360−12t=90，解得t=215/8；
综上，t的值为55/4或215/8。
【答案】
(1) $20°$
(2) 证明见解析
(3) $t=\frac{55}{4}$或$\frac{215}{8}$
【知识点】
平行线的性质与判定、角平分线的定义、旋转问题
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线及旋转的知识，需分情况讨论旋转过程，关键是理清角度关系，正确建立方程，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
本题是平行线、角平分线与旋转的综合几何题，解题思路如下：
(1) 利用平行线的内错角性质、角平分线的定义，结合已知∠EAP=100°，先求出相关角的度数，进而推导∠C的度数；
(2) 通过设角参数，利用角平分线性质、平行线性质，结合已知的角度和为180°，推导内错角相等，证明两直线平行；
(3) 分析探照灯的旋转周期，确定时间范围，分探照灯D逆时针旋转和回转两种情况，根据垂直时角度和为90°列方程求解t。
【解析】
(1) 因为PQ//CN，AD平分∠CAB，AF平分∠BAD，∠EAP=100°，
所以∠PAB=180°−∠EAP=80°，
由AD平分∠CAB得∠BAD=∠CAD，
又PQ//CN，故∠ADC=∠BAD，
结合角的关系可得∠C=20°；
(2) 证明：设∠GAD=x，则∠ADC=2∠GAD=2x，
因为PQ//CN，所以∠ADC=∠BAD=2x，
因为AF平分∠BAD，AD平分∠CAB，
所以∠EAF=1/2∠BAD=x，∠CAD=∠BAD=2x，
因此∠GAF=∠GAD+∠EAF=x+x=2x，
已知∠BED+∠GAF=180°，又∠BED+∠AEF=180°，
所以∠AEF=∠GAF=2x，
故∠CAD=∠AEF，根据内错角相等，两直线平行，得AC//BE；
(3) 解：探照灯D从DN旋转到DC需180°÷12°=15秒，回到DN总时间为30秒，分两种情况：
① 当0＜t≤15时，l_D逆时针旋转，∠RDM=180°−12t°，l_A转动后∠PAR=20°+4t°，
因为l_A⊥l_D，所以∠PAR + ∠RDM=90°，
即20+4t+180−12t=90，解得t=55/4；
② 当15＜t≤30时，l_D回转，∠RDM=360°−12t°，l_A转动后∠MRD=160°−4t°，
因为l_A⊥l_D，所以∠MRD + ∠RDM=90°，
即160−4t+360−12t=90，解得t=215/8；
综上，t的值为55/4或215/8。
【答案】
(1) $20°$
(2) 证明见解析
(3) $t=\frac{55}{4}$或$\frac{215}{8}$
【知识点】
平行线的性质与判定、角平分线的定义、旋转问题
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线及旋转的知识，需分情况讨论旋转过程，关键是理清角度关系，正确建立方程，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
