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16. 数学文化起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理。图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，使点A落在点A'的位置上，A'E与DC交于点F（如图2）；第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分别落在直线EF的右侧点B'，C'的位置上（如图3）。若$∠ AED=34°$，$ED// B'C'$，则$∠ EGF=$
28°
。答案
16.$28°$ 【解析】因为四边形ABCD是长方形,所以AB//CD,∠B=90°,所以∠EDF=∠AED=34°,∠EGF=∠GEB。由折叠的性质,得∠B'=∠B=90°,∠GEB'=∠GEB,所以∠EGF=∠GEB'。因为ED//B'C',所以∠DEB'=∠B'=90°。因为在三角形EDG中,∠EDF+∠DEB'+∠GEB'+∠EGF=180°,即34°+90°+∠EGF+∠EGF=180°,所以$∠EGF=\frac{1}{2}×(180°-90°-34°)=28°$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合长方形的性质、折叠的性质以及平行线的角度关系推导：先利用长方形对边平行得到内错角相等，求出∠EDF的度数；再根据折叠性质得到对应角相等，结合ED与B'C'平行的条件，通过角度和的关系计算∠EGF。
【解析】
因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，∠B=90°，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠EDF=∠AED=34°。
由折叠的性质可知，第二次折叠后∠B'=∠B=90°，且∠GEB'=∠GEB；又因AB//CD，所以∠EGF=∠GEB，因此∠EGF=∠GEB'。
已知ED//B'C'，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠DEB' + ∠B' =180°，所以∠DEB'=180°-90°=90°。
观察图形，∠EDF、∠DEB'、∠GEB'、∠EGF的和为180°，即：
∠EDF + ∠DEB' + ∠GEB' + ∠EGF =180°，
代入已知角度：
34° + 90° + ∠EGF + ∠EGF =180°，
整理得：2∠EGF=56°，
解得∠EGF=28°。
【答案】
28°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质
【点评】
本题结合折纸折叠的几何问题，综合考查长方形、平行线、折叠的核心性质，需要学生熟练运用折叠前后对应角相等、平行线的角度关系进行推导，属于中等难度的几何角度计算题，能考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合长方形的性质、折叠的性质以及平行线的角度关系推导：先利用长方形对边平行得到内错角相等，求出∠EDF的度数；再根据折叠性质得到对应角相等，结合ED与B'C'平行的条件，通过角度和的关系计算∠EGF。
【解析】
因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，∠B=90°，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠EDF=∠AED=34°。
由折叠的性质可知，第二次折叠后∠B'=∠B=90°，且∠GEB'=∠GEB；又因AB//CD，所以∠EGF=∠GEB，因此∠EGF=∠GEB'。
已知ED//B'C'，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠DEB' + ∠B' =180°，所以∠DEB'=180°-90°=90°。
观察图形，∠EDF、∠DEB'、∠GEB'、∠EGF的和为180°，即：
∠EDF + ∠DEB' + ∠GEB' + ∠EGF =180°，
代入已知角度：
34° + 90° + ∠EGF + ∠EGF =180°，
整理得：2∠EGF=56°，
解得∠EGF=28°。
【答案】
28°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质
【点评】
本题结合折纸折叠的几何问题，综合考查长方形、平行线、折叠的核心性质，需要学生熟练运用折叠前后对应角相等、平行线的角度关系进行推导，属于中等难度的几何角度计算题，能考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
17.(2025·台州市临海市期末)如图,E是长方形纸条ABCD(对边平行,四个角是直角)的边AD上的一个动点,把长方形纸条ABCD沿着直线BE折叠,BC'交AD于点F,则有$∠C'BE=∠CBE$。
(1)$∠FBE$与$∠FEB$相等吗?请说明理由。
(2)联结$FD'$,若$FD'$平分$∠C'FD$,请解答以下问题:
①BE与$FD'$平行吗?请说明理由。
②$∠EBF$与$∠ED'F$相等吗?请说明理由。
(1)$∠FBE$与$∠FEB$相等吗?请说明理由。
(2)联结$FD'$,若$FD'$平分$∠C'FD$,请解答以下问题:
①BE与$FD'$平行吗?请说明理由。
②$∠EBF$与$∠ED'F$相等吗?请说明理由。
答案
17.(1)解:$∠FBE=∠FEB$。理由如下:因为AD//BC,所以∠FEB=∠EBC。由折叠的性质,得∠FBE=∠EBC,所以∠FBE=∠FEB。
(2)解:①BE//FD'。理由如下:因为FD'平分∠C'FD,所以$∠C'FD'=\frac{1}{2}∠C'FD$。因为AD//BC,所以∠C'FD=∠FBC。由折叠的性质,得$∠FBE=\frac{1}{2}∠FBC$,所以∠C'FD'=∠FBE,所以BE//FD'。
②∠EBF=∠ED'F。理由如下:因为BC'//ED',所以∠C'FD'=∠ED'F。因为∠EBF=∠C'FD',所以∠EBF=∠ED'F。
(2)解:①BE//FD'。理由如下:因为FD'平分∠C'FD,所以$∠C'FD'=\frac{1}{2}∠C'FD$。因为AD//BC,所以∠C'FD=∠FBC。由折叠的性质,得$∠FBE=\frac{1}{2}∠FBC$,所以∠C'FD'=∠FBE,所以BE//FD'。
②∠EBF=∠ED'F。理由如下:因为BC'//ED',所以∠C'FD'=∠ED'F。因为∠EBF=∠C'FD',所以∠EBF=∠ED'F。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合长方形对边平行的性质、折叠的性质以及角平分线的定义推导。对于(1)，先利用AD//BC得到内错角相等，再结合折叠性质等量代换判断两角关系；对于(2)的①，利用角平分线定义、平行线性质和折叠性质，推出同位角相等判定平行；对于②，由平行线性质和①的结论等量代换得到两角相等。
【解析】
(1) ∠FBE与∠FEB相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠FEB = ∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知，∠FBE = ∠EBC，
∴ ∠FBE = ∠FEB（等量代换）。
(2) ① BE与FD'平行，理由如下：
∵ FD'平分∠C'FD，
∴ ∠C'FD' = $\frac{1}{2}$∠C'FD（角平分线的定义）。
∵ AD//BC，
∴ ∠C'FD = ∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知，∠FBE = $\frac{1}{2}$∠FBC，
∴ ∠C'FD' = ∠FBE（等量代换），
∴ BE//FD'（同位角相等，两直线平行）。
② ∠EBF与∠ED'F相等，理由如下：
由①知BE//FD'，
∴ ∠C'FD' = ∠ED'F（两直线平行，同位角相等）。
又由①知∠EBF = ∠C'FD'，
∴ ∠EBF = ∠ED'F（等量代换）。
【答案】
(1) ∠FBE=∠FEB，理由见解析；
(2) ① BE//FD'，理由见解析；② ∠EBF=∠ED'F，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角平分线的定义
【点评】
本题以长方形折叠为背景，综合考查平行线、折叠、角平分线的相关性质，解题核心是通过性质进行角的等量代换，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合长方形对边平行的性质、折叠的性质以及角平分线的定义推导。对于(1)，先利用AD//BC得到内错角相等，再结合折叠性质等量代换判断两角关系；对于(2)的①，利用角平分线定义、平行线性质和折叠性质，推出同位角相等判定平行；对于②，由平行线性质和①的结论等量代换得到两角相等。
【解析】
(1) ∠FBE与∠FEB相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠FEB = ∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知，∠FBE = ∠EBC，
∴ ∠FBE = ∠FEB（等量代换）。
(2) ① BE与FD'平行，理由如下：
∵ FD'平分∠C'FD，
∴ ∠C'FD' = $\frac{1}{2}$∠C'FD（角平分线的定义）。
∵ AD//BC，
∴ ∠C'FD = ∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知，∠FBE = $\frac{1}{2}$∠FBC，
∴ ∠C'FD' = ∠FBE（等量代换），
∴ BE//FD'（同位角相等，两直线平行）。
② ∠EBF与∠ED'F相等，理由如下：
由①知BE//FD'，
∴ ∠C'FD' = ∠ED'F（两直线平行，同位角相等）。
又由①知∠EBF = ∠C'FD'，
∴ ∠EBF = ∠ED'F（等量代换）。
【答案】
(1) ∠FBE=∠FEB，理由见解析；
(2) ① BE//FD'，理由见解析；② ∠EBF=∠ED'F，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角平分线的定义
【点评】
本题以长方形折叠为背景，综合考查平行线、折叠、角平分线的相关性质，解题核心是通过性质进行角的等量代换，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6
