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19.(2025·金华市兰溪市期末)一副三角尺如图1所示摆放,其中
$∠ EDF=∠ ACB=90°, ∠ BAC=30°, ∠ DEF=45°, GH // MN,$
且点$A,B$在直线$GH$上,点$D,F$在直线$MN$上。
(1)如图2,将三角尺$DEF$向右平移,当点$E$落在线段$AC$上时,求$∠ AEF$的度数。
(2)如图3,保持三角尺$ABC$不动,现将三角尺$DEF$绕点$D$以每秒$2°$的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为$t$秒,且$0 ≤ t ≤ 180$,若边$BC$与三角尺的一条直角边(边$DE,DF$)平行时,求所有满足条件的$t$的值。
(3)如图4,现将三角尺$ABC$绕点$A$以每秒$1°$的速度按顺时针方向旋转,同时三角尺$DEF$绕点$D$以每秒$2°$的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为$t$秒,且$0 ≤ t ≤ 150$,若边$BC$与三角尺的一条直角边(边$DE,DF$)平行时,请直接写出所有满足条件的$t$的值。
$∠ EDF=∠ ACB=90°, ∠ BAC=30°, ∠ DEF=45°, GH // MN,$
且点$A,B$在直线$GH$上,点$D,F$在直线$MN$上。
(1)如图2,将三角尺$DEF$向右平移,当点$E$落在线段$AC$上时,求$∠ AEF$的度数。
(2)如图3,保持三角尺$ABC$不动,现将三角尺$DEF$绕点$D$以每秒$2°$的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为$t$秒,且$0 ≤ t ≤ 180$,若边$BC$与三角尺的一条直角边(边$DE,DF$)平行时,求所有满足条件的$t$的值。
(3)如图4,现将三角尺$ABC$绕点$A$以每秒$1°$的速度按顺时针方向旋转,同时三角尺$DEF$绕点$D$以每秒$2°$的速度按顺时针方向旋转,设旋转时间为$t$秒,且$0 ≤ t ≤ 150$,若边$BC$与三角尺的一条直角边(边$DE,DF$)平行时,请直接写出所有满足条件的$t$的值。
答案
19.(1)解:如图1,过点E作EP//GH。因为GH//MN,所以GH//MN//EP,所以∠AEP=∠CAB=30°,∠PEF=∠EFD=45°,所以∠AEF=∠AEP+∠FEP=75°。
(2)解:由题意,得∠FDM=2t°,0≤t≤180。①如图2,当DE//BC时,延长AC交MN于点P。当DE在MN上方时,有AP//DF,所以∠FDM=∠APM=∠BAC=30°,即2t°=30°,解得t=15;当DE'在MN下方时,∠F'DP=2t°-180°,由∠F'DP=∠APM=∠BAC=30°,得2t°-180°=30°,解得t=105。②当BC//DF时,当DF在MN上方时,如图3,延长BC交MN于点T。由题意,得∠FDN=180°-2t°,由∠FDN=∠BTN=∠ABC=60°,得180°-2t°=60°,解得t=60;当DF在MN下方时,如图4,延长BC交MN于点T。由题意,得∠FDN=2t°-180°,由∠FDN=∠DTB=∠CBH=180°-∠ABC=120°,得2t°-180°=120°,解得t=150。综上所述,所有满足条件的t的值为15或105或60或150。
(3)解:所有满足条件的t的值为30或120。【解析】由题意,得∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°,∠FDM=2t°。①如图5,当DE//BC时,延长AC交MN于点P。当DE在MN上方时,有AP//DF,所以∠FDM=∠APM=∠HAC,即2t°=t°+30°,解得t=30;当DE'在MN下方时,∠F'DP=2t°-180°,有2t°-180°=t°+30°,解得t=210(舍去);②当BC//DF时,如图6,延长AC交MN于点I。当DF在MN上方时,由题意,得∠FDN=180°-2t°。因为DF//BC,AC⊥BC,所以CI⊥DF,所以∠FDN+∠MIC=180°-∠DFI=90°,即180°-2t°+t°+30°=90°,解得t=120。所以2t=240°＞180°,此时DF应该在MN下方,不符合题意,舍去;如图7,当DF在MN下方时,由题意,得∠FDN=2t°-180°。因为DF//BC,所以∠MIC=∠FDN。因为GH//MN,所以∠FDN=∠MIC=∠AQI=t°+30°-90°=t°-60°,即2t°-180°=t°-60°,解得t=120。综上所述,所有满足条件的t的值为30或120。
解析
【分析】
本题结合三角尺的固定角度，考查平行线性质、旋转性质及角度计算，解题时需利用平行线“拐点作平行线”的技巧，对旋转后直角边的位置分类讨论，建立角度关系求解。
(1) 求∠AEF时，过点E作平行线，将∠AEF拆分为与∠BAC、∠DEF相等的两个角，利用平行线内错角相等计算；
(2) 三角尺DEF绕D顺时针旋转，分BC与DE平行、BC与DF平行两种大情况，每种情况再考虑直角边在直线MN的上、下方，结合平行线角度关系列方程；
(3) 两个三角尺同时旋转，需分别分析BC与DE、DF平行时的角度变化，注意时间范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 如图1，过点E作EP//GH。
∵ GH//MN，
∴ GH//MN//EP，
∴ ∠AEP=∠BAC=30°，∠PEF=∠DEF=45°，
∴ ∠AEF=∠AEP+∠PEF=30°+45°=75°。
(2) 由题意，三角尺DEF旋转速度为2°/秒，故∠FDM=2t°（0≤t≤180）。
① 当DE//BC时：
若DE在MN上方，延长AC交MN于点P，
∵ AP//DF，
∴ ∠FDM=∠APM=∠BAC=30°，即2t=30，解得t=15；
若DE在MN下方，∠F'DP=2t°-180°，同理∠F'DP=∠BAC=30°，即2t-180=30，解得t=105；
② 当BC//DF时：
若DF在MN上方，延长BC交MN于点T，∠FDN=180°-2t°，
∵ ∠FDN=∠ABC=60°，
∴180-2t=60，解得t=60；
若DF在MN下方，∠FDN=2t°-180°，
∵ ∠FDN=180°-∠ABC=120°，
∴2t-180=120，解得t=150；
综上，t的值为15、60、105、150。
(3) 三角尺ABC旋转速度1°/秒，故∠HAC=(t+30)°；DEF旋转速度2°/秒，∠FDM=2t°（0≤t≤150）。
① 当DE//BC时：
若DE在MN上方，延长AC交MN于点P，∠FDM=∠APM=∠HAC，即2t = t+30，解得t=30；
若DE在MN下方，2t-180 = t+30，解得t=210（超出范围，舍去）；
② 当BC//DF时：
若DF在MN下方，∠FDN=2t-180，∠MIC=∠FDN，且∠MIC=∠HAC - 90°=t+30-90=t-60，故2t-180 = t-60，解得t=120；
综上，t的值为30、120。
【答案】
(1) 75°；
(2) 15或60或105或150；
(3) 30或120；
【知识点】
平行线的性质、旋转的性质、角度计算
【点评】
本题综合考查平行线与旋转的应用，核心是利用平行线内错角相等建立角度关系，需对旋转后直角边的位置分类讨论，体现分类思想，适合考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.3
本题结合三角尺的固定角度，考查平行线性质、旋转性质及角度计算，解题时需利用平行线“拐点作平行线”的技巧，对旋转后直角边的位置分类讨论，建立角度关系求解。
(1) 求∠AEF时，过点E作平行线，将∠AEF拆分为与∠BAC、∠DEF相等的两个角，利用平行线内错角相等计算；
(2) 三角尺DEF绕D顺时针旋转，分BC与DE平行、BC与DF平行两种大情况，每种情况再考虑直角边在直线MN的上、下方，结合平行线角度关系列方程；
(3) 两个三角尺同时旋转，需分别分析BC与DE、DF平行时的角度变化，注意时间范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 如图1，过点E作EP//GH。
∵ GH//MN，
∴ GH//MN//EP，
∴ ∠AEP=∠BAC=30°，∠PEF=∠DEF=45°，
∴ ∠AEF=∠AEP+∠PEF=30°+45°=75°。
(2) 由题意，三角尺DEF旋转速度为2°/秒，故∠FDM=2t°（0≤t≤180）。
① 当DE//BC时：
若DE在MN上方，延长AC交MN于点P，
∵ AP//DF，
∴ ∠FDM=∠APM=∠BAC=30°，即2t=30，解得t=15；
若DE在MN下方，∠F'DP=2t°-180°，同理∠F'DP=∠BAC=30°，即2t-180=30，解得t=105；
② 当BC//DF时：
若DF在MN上方，延长BC交MN于点T，∠FDN=180°-2t°，
∵ ∠FDN=∠ABC=60°，
∴180-2t=60，解得t=60；
若DF在MN下方，∠FDN=2t°-180°，
∵ ∠FDN=180°-∠ABC=120°，
∴2t-180=120，解得t=150；
综上，t的值为15、60、105、150。
(3) 三角尺ABC旋转速度1°/秒，故∠HAC=(t+30)°；DEF旋转速度2°/秒，∠FDM=2t°（0≤t≤150）。
① 当DE//BC时：
若DE在MN上方，延长AC交MN于点P，∠FDM=∠APM=∠HAC，即2t = t+30，解得t=30；
若DE在MN下方，2t-180 = t+30，解得t=210（超出范围，舍去）；
② 当BC//DF时：
若DF在MN下方，∠FDN=2t-180，∠MIC=∠FDN，且∠MIC=∠HAC - 90°=t+30-90=t-60，故2t-180 = t-60，解得t=120；
综上，t的值为30、120。
【答案】
(1) 75°；
(2) 15或60或105或150；
(3) 30或120；
【知识点】
平行线的性质、旋转的性质、角度计算
【点评】
本题综合考查平行线与旋转的应用，核心是利用平行线内错角相等建立角度关系，需对旋转后直角边的位置分类讨论，体现分类思想，适合考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.3
