16. 如图,在矩形ABCD中,AD = 2AB,E为DB延长线上一点,且满足∠AEB = 2∠DBC,则$\frac{BE}{BD}$的值为.

16. $\frac{1}{10}$ 【点拨】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及三角形面积公式,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】如题图,连接AC交BD于点O,过点A作AF⊥BD于点F,设AB = a,则AD = 2AB = 2a.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ OA = OD = OB = OC = $\frac{1}{2}BD$,∠BAD = 90°,
∴ ∠DBC = ∠OCB.
∵ ∠AOE是△OBC的外角,
∴ ∠AOE = ∠DBC + ∠OCB = 2∠DBC.
∵ ∠AEB = 2∠DBC,
∴ ∠AOE = ∠AEB,
∴ OA = EA.
∵ AF ⊥ BD,
∴ OF = EF.在Rt△ABD中,AB = a,AD = 2a,由勾股定理,得BD = $\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5}a$,
∴ OA = OB = OD = $\frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{5}}{2}a$,
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}BD · AF = \frac{1}{2}AB · AD$,
∴ AF = $\frac{AB · AD}{BD} = \frac{a · 2a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5}a$,
∴ OF = $\sqrt{OA^2 - AF^2} = \frac{3\sqrt{5}}{10}a$,
∴ EF = OF = $\frac{3\sqrt{5}}{10}a$,
∴ OE = OF + EF = $\frac{3\sqrt{5}}{5}a$,
∴ BE = OE - OB = $\frac{\sqrt{5}}{10}a$,
∴ $\frac{BE}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{10}a}{\sqrt{5}a} = \frac{1}{10}$.故答案为$\frac{1}{10}$.

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过矩形的性质推导角度关系，结合等腰三角形的判定得到边的等量关系，再利用勾股定理和面积法计算线段长度，最终求出比值。具体思路：1. 设AB=a，AD=2a，用勾股定理算出BD的长度；2. 连接矩形对角线AC交BD于O，利用矩形性质得到OA=OB，结合外角性质推出∠AOE=∠AEB，得到AE=OA；3. 作AF⊥BD，利用等腰三角形三线合一得OF=EF，通过三角形面积公式求出AF；4. 在Rt△AOF中用勾股定理算OF，进而得到OE，算出BE，最后求BE与BD的比值。
【解析】
如题图，连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，设AB = a，则AD = 2AB = 2a。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA = OB = OC = OD = $\frac{1}{2}BD$，∠BAD = 90°，OB=OC，
∴ ∠DBC = ∠OCB，
∵ ∠AOE是△OBC的外角，
∴ ∠AOE = ∠DBC + ∠OCB = 2∠DBC，
又
∵ ∠AEB = 2∠DBC，
∴ ∠AOE = ∠AEB，
∴ OA = EA。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD = $\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a$，
∴ OA = OB = $\frac{\sqrt{5}}{2}a$。
∵ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}BD·AF = \frac{1}{2}AB·AD$，
∴ AF = $\frac{AB·AD}{BD} = \frac{a·2a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5}a$。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
OF = $\sqrt{OA^2 - AF^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2}a)^2 - (\frac{2\sqrt{5}}{5}a)^2} = \frac{3\sqrt{5}}{10}a$。
∵ OA=EA，AF⊥BD，
∴ OF=EF = $\frac{3\sqrt{5}}{10}a$，
∴ OE = OF + EF = $\frac{3\sqrt{5}}{5}a$，
∴ BE = OE - OB = $\frac{3\sqrt{5}}{5}a - \frac{\sqrt{5}}{2}a = \frac{\sqrt{5}}{10}a$，
∴ $\frac{BE}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{10}a}{\sqrt{5}a} = \frac{1}{10}$。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，需添加辅助线（连接对角线、作高），利用矩形性质转化角度，结合等腰三角形性质和面积、勾股定理计算线段，对学生的逻辑推导和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

17. (8分)计算:
(1) $\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}$;
(2) $(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$.

17. 【点拨】本题考查二次根式的运算,掌握二次根式的减法法则和平方差公式是解题的关键.
【解析】(1)$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$.
(2)$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7}) = 16 - 7 = 9$.

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路：第(1)问先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第(2)问利用平方差公式简化计算，直接套用公式即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{27} = \sqrt{9×3} = 3\sqrt{3}$，$\sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$，
则原式$=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = (3-2-1)\sqrt{3} = 0$；
(2) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，其中$a=4$，$b=\sqrt{7}$，
则原式$=4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$。
【答案】
(1)0；(2)9
【知识点】
二次根式的加减、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，考查最简二次根式化简、同类二次根式合并及平方差公式的应用，侧重基础运算能力的巩固。
【难度系数】
0.8

18. (8分)如图,$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,E,F,G,H$ 分别是 $AO,BO,CO,DO$ 的中点.
(1)求证:四边形 $EFGH$ 是平行四边形;
(2)若 $□ EFGH$ 的周长为 $2$,则 $□ ABCD$ 的周长是________.

18. 【点拨】本题考查三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质,掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.
【解析】(1)证明:
∵ E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,
∴ EF,GH分别为△AOB,△COD的中位线,
∴ EF // AB,EF = $\frac{1}{2}AB$,GH // CD,GH = $\frac{1}{2}CD$.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AB = CD,AB // CD,
∴ EF = GH,EF // GH.
∴ 四边形EFGH是平行四边形.
(2)由(1)知,EF = $\frac{1}{2}AB$,GH = $\frac{1}{2}CD$,
同理可得,FG = $\frac{1}{2}BC$,EH = $\frac{1}{2}AD$.
∵ ▱EFGH的周长为2,
∴ EF + FG + GH + EH = 2,
∴ ▱ABCD的周长为AB + BC + CD + AD = 2×(EF + FG + GH + EH) = 4.
故答案为4.

【分析】
要证明四边形EFGH是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。已知E、F、G、H是AO、BO、CO、DO的中点，结合三角形中位线定理，可得到EF、GH分别是△AOB、△COD的中位线，再利用平行四边形ABCD中AB与CD平行且相等的性质，推出EF与GH平行且相等，完成第一问证明。对于第二问，同理可得FG、EH是△BOC、△AOD的中位线，进而得出平行四边形EFGH与ABCD的周长关系，计算出ABCD的周长。
【解析】
(1)证明：
∵ E，F分别是AO，BO的中点，
∴ EF是△AOB的中位线，根据三角形中位线定理，得EF//AB，EF = $\frac{1}{2}AB$。
同理，G，H分别是CO，DO的中点，
∴ GH是△COD的中位线，得GH//CD，GH = $\frac{1}{2}CD$。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB//CD，
∴ EF = GH，且EF//GH。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形EFGH是平行四边形。
(2)由(1)的方法，同理可得：FG是△BOC的中位线，故FG = $\frac{1}{2}BC$；EH是△AOD的中位线，故EH = $\frac{1}{2}AD$。
已知平行四边形EFGH的周长为2，即EF + FG + GH + EH = 2。
平行四边形ABCD的周长为AB + BC + CD + AD = $2EF + 2FG + 2GH + 2EH = 2×(EF + FG + GH + EH) = 2×2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型基础题，结合三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质考查，解题关键在于利用中位线定理推导线段的数量和位置关系，重点考查学生对核心定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6

19. (8分)在“4·23世界读书日”来临之际,某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动,为了解学生的参与程度,从全校随机抽取部分学生进行问卷调查,获取了每人平均每天阅读时间t(单位:分钟),将收集的数据分为A,B,C,D,E五个等级,绘制成如下不完整统计图表.
平均每天阅读时间统计表
平均每天阅读时间扇形统计图


请根据图表中的信息,解答下列问题:
(1)直接写出$a=$,$b=$;
(2)这组数据的中位数所在的等级是;
(3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”,若该校共有2 000名学生,请你估计可评为“阅读达人”的学生人数.

19. 【点拨】本题考查扇形统计图、统计表、中位数及用样本估计总体,正确从统计图表中获取信息是解题的关键.
【解析】(1)
∵ D等级的人数为80人,占比为40%,
∴ 调查的总人数为80÷40% = 200(人).
∵ C等级人数的占比为20%,
∴ a = 200×20% = 40,
∴ b = 200 - 5 - 10 - 40 - 80 = 65.
故答案为40,65.
(2)
∵ 将这200个数据从小到大排列后,第100个、第101个数据均在D等级,
∴ 这组数据的中位数所在的等级是D.
故答案为D.
(3)$2000×\frac{65}{200} = 650$(人).
答:估计可评为"阅读达人"的学生人数为650人.

【分析】
本题属于统计类综合题，解题思路如下：①先根据扇形统计图中D等级的人数及占比，计算出调查的总人数；②利用总人数和C等级的占比求出a，再通过总人数减去A、B、C、D等级的人数得到E等级的b；③将200个数据从小到大排列，确定中位数的位置，判断其所在等级；④根据样本中“阅读达人”的占比，用样本估计总体，计算全校“阅读达人”的人数。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知，D等级人数为80人，占比40%，因此调查的总人数为：$80 ÷ 40\% = 200$（人）。
已知C等级人数占比为20%，则$a = 200 × 20\% = 40$；
总人数为200人，因此$b = 200 - 5 - 10 - 40 - 80 = 65$。
(2) 将200个数据从小到大排列，中位数是第100个和第101个数据的平均数。
A等级有5人，B等级有10人，C等级有40人，前三个等级总人数为$5 + 10 + 40 = 55$人；
D等级有80人，对应第56到135个数据，因此第100个、第101个数据均在D等级，故中位数所在等级是D。
(3) 样本中“阅读达人”（平均每天阅读时间不低于50分钟，对应E等级）的人数为65人，占样本的比例为$\frac{65}{200}$。
全校共有2000名学生，估计“阅读达人”人数为：$2000 × \frac{65}{200} = 650$（人）。
【答案】
(1) 40，65；(2) D；(3) 650人
【知识点】
扇形统计图、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是从扇形统计图和统计表中提取有效信息，掌握中位数的确定方法及用样本估计总体的统计思想，属于基础题型，需注意等级划分与数据的对应关系。
【难度系数】
0.6