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8. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，M为AD上一点，将△ABM沿BM折叠，若点A的对应点N恰好是BD的中点，则$\frac{BM}{AB}$的值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C
).A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
8. C 【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的"三线合一"、含30°的直角三角形的性质及勾股定理,掌握折叠的性质及等腰三角形的"三线合一"是解题的关键.
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A = 90°.由折叠,得∠BNM = ∠A = 90°,∠BMN = ∠BMA.
∵ N是BD的中点,
∴ BN = DN,
∴ MN垂直平分BD,
∴ BM = DM,
∴ ∠BMN = ∠DMN,
∴ ∠BMA = ∠BMN = ∠DMN = $\frac{1}{3}×180°=60°$,
∴ ∠ABM = 90° - ∠BMA = 30°,
∴ BM = 2AM,
∴ AB = $\sqrt{BM^2 - AM^2} = \sqrt{(2AM)^2 - AM^2} = \sqrt{3}AM$,
∴ $\frac{BM}{AB} = \frac{2AM}{\sqrt{3}AM} = \frac{2}{3}\sqrt{3}$.故选C.
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A = 90°.由折叠,得∠BNM = ∠A = 90°,∠BMN = ∠BMA.
∵ N是BD的中点,
∴ BN = DN,
∴ MN垂直平分BD,
∴ BM = DM,
∴ ∠BMN = ∠DMN,
∴ ∠BMA = ∠BMN = ∠DMN = $\frac{1}{3}×180°=60°$,
∴ ∠ABM = 90° - ∠BMA = 30°,
∴ BM = 2AM,
∴ AB = $\sqrt{BM^2 - AM^2} = \sqrt{(2AM)^2 - AM^2} = \sqrt{3}AM$,
∴ $\frac{BM}{AB} = \frac{2AM}{\sqrt{3}AM} = \frac{2}{3}\sqrt{3}$.故选C.
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形和折叠的性质，利用线段垂直平分线的性质推导边与角的关系：首先明确矩形的角为直角，折叠后对应角相等，结合N是BD中点、MN⊥BD，得出MN垂直平分BD，进而得到BM=DM，再推导角的度数，最后利用直角三角形性质和勾股定理计算比值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = 90°。
由折叠的性质得：∠BNM = ∠A = 90°，∠BMN = ∠BMA。
∵ N是BD的中点，
∴ BN = DN，
又
∵ ∠BNM = 90°，即MN⊥BD，
∴ MN垂直平分BD，
∴ BM = DM，
∴ ∠BMN = ∠DMN，
因此∠BMA = ∠BMN = ∠DMN = $\frac{1}{3}×180°=60°$，
在Rt△ABM中，∠ABM = 90° - ∠BMA = 90° - 60° = 30°，
根据含30°角的直角三角形性质，得BM = 2AM，
由勾股定理得：AB = $\sqrt{BM^2 - AM^2} = \sqrt{(2AM)^2 - AM^2} = \sqrt{3}AM$，
∴ $\frac{BM}{AB} = \frac{2AM}{\sqrt{3}AM} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、垂直平分线的性质，关键是利用折叠后MN垂直平分BD推导角的关系，结合直角三角形性质求解比值，需熟练掌握几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形和折叠的性质，利用线段垂直平分线的性质推导边与角的关系：首先明确矩形的角为直角，折叠后对应角相等，结合N是BD中点、MN⊥BD，得出MN垂直平分BD，进而得到BM=DM，再推导角的度数，最后利用直角三角形性质和勾股定理计算比值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = 90°。
由折叠的性质得：∠BNM = ∠A = 90°，∠BMN = ∠BMA。
∵ N是BD的中点，
∴ BN = DN，
又
∵ ∠BNM = 90°，即MN⊥BD，
∴ MN垂直平分BD，
∴ BM = DM，
∴ ∠BMN = ∠DMN，
因此∠BMA = ∠BMN = ∠DMN = $\frac{1}{3}×180°=60°$，
在Rt△ABM中，∠ABM = 90° - ∠BMA = 90° - 60° = 30°，
根据含30°角的直角三角形性质，得BM = 2AM，
由勾股定理得：AB = $\sqrt{BM^2 - AM^2} = \sqrt{(2AM)^2 - AM^2} = \sqrt{3}AM$，
∴ $\frac{BM}{AB} = \frac{2AM}{\sqrt{3}AM} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、垂直平分线的性质，关键是利用折叠后MN垂直平分BD推导角的关系，结合直角三角形性质求解比值，需熟练掌握几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
9. 甲、乙两车沿直路同向匀速行驶，现甲车在乙车前500米处，设$ x $秒后两车相距$ y $米，$ y $与$ x $的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（
A.3 500米
B.3 200米
C.4 375米
D.44 000米
D
）。A.3 500米
B.3 200米
C.4 375米
D.44 000米
答案
9. D 【点拨】本题考查一次函数的应用,正确从函数图象中获取信息是解题的关键.
【解析】设乙车的速度为m米/秒,甲车的速度为n米/秒,由题意,得$\begin{cases}100(m - n) = 500,\\(160 - 100)(m - n) = (175 - 160)n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 25,\\n = 20,\end{cases}$
∴ 乙车的速度为25米/秒,甲车的速度为20米/秒,
∴ 乙车在整个运动过程中行驶的路程是25×160 = 4 000(米).故选D.
【解析】设乙车的速度为m米/秒,甲车的速度为n米/秒,由题意,得$\begin{cases}100(m - n) = 500,\\(160 - 100)(m - n) = (175 - 160)n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 25,\\n = 20,\end{cases}$
∴ 乙车的速度为25米/秒,甲车的速度为20米/秒,
∴ 乙车在整个运动过程中行驶的路程是25×160 = 4 000(米).故选D.
解析
【解析】
设乙车的速度为m米/秒，甲车的速度为n米/秒：
1. 由图像可知，出发100秒后两车距离为0，即乙车100秒比甲车多行驶500米，可得方程：100(m-n)=500
2. 100秒到160秒共60秒，乙车超过甲车的距离，等于甲车在160秒到175秒共15秒行驶的距离，可得方程：(160-100)(m-n)=(175-160)n
3. 联立方程组：
$ \begin{cases}100(m - n) = 500\\60(m - n) = 15n\end{cases} $解得：$\begin{cases}m = 25\\n = 20\end{cases}4. $由图像可知乙车全程运动时间为160秒，因此乙车行驶的总路程为25×160=4000米，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用，行程问题
【点评】
本题的易错点是从函数图像中提取隐含的运动等量关系，需要结合两车的追及、远离过程建立速度方程组，重点考查从图像获取信息、结合行程规律分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
设乙车的速度为m米/秒，甲车的速度为n米/秒：
1. 由图像可知，出发100秒后两车距离为0，即乙车100秒比甲车多行驶500米，可得方程：100(m-n)=500
2. 100秒到160秒共60秒，乙车超过甲车的距离，等于甲车在160秒到175秒共15秒行驶的距离，可得方程：(160-100)(m-n)=(175-160)n
3. 联立方程组：
$ \begin{cases}100(m - n) = 500\\60(m - n) = 15n\end{cases} $解得：$\begin{cases}m = 25\\n = 20\end{cases}4. $由图像可知乙车全程运动时间为160秒，因此乙车行驶的总路程为25×160=4000米，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用，行程问题
【点评】
本题的易错点是从函数图像中提取隐含的运动等量关系，需要结合两车的追及、远离过程建立速度方程组，重点考查从图像获取信息、结合行程规律分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,正方形ABCD的边长为3,E为边BC上的动点,过点E作$EF ⊥ AE$,且$EF = AE$,在点E从点B运动到点C的过程中,点F运动的路径长为(
A.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.6
D.$6\sqrt{2}$
B
).A.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.6
D.$6\sqrt{2}$
答案
10. B 【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】如图,过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H,连接CF,则∠EHF = 90°.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠B = ∠BCD = 90°,
∴ ∠AEB + ∠BAE = 90°.
∵ EF ⊥ AE,
∴ ∠AEF = 90°,
∴ ∠AEB + ∠FEH = 90°,
∴ ∠BAE = ∠FEH.在△ABE和△EHF中,
∵ ∠B = ∠EHF = 90°,∠BAE = ∠FEH,AE = EF,
∴ △ABE ≅ △EHF(AAS),
∴ AB = EH,BE = HF.
∵ AB = BC = EH,BE + EC = BC,CH + EC = EH,
∴ BE = CH = FH,
∴ △CFH是等腰直角三角形,
∴ ∠FCH = 45°,
∴ CF平分∠DCH,即点F在∠DCH的平分线上运动.以DC为边,在DC右侧作正方形DCMG,连接CG,则∠M = 90°,在点E从点B运动到点C的过程中,点F运动的路径为正方形DCMG的对角线CG.
∵ 正方形ABCD的边长为3,
∴ CM = CD = GM = 3,
∴ CG = $\sqrt{CM^2 + MG^2} = 3\sqrt{2}$,
∴ 点F运动的路径长为$3\sqrt{2}$.故选B.
解析
【分析】
要确定点F的运动路径长，需先明确F的运动轨迹。通过作辅助线FH垂直BC延长线，利用正方形的角的性质和EF⊥AE的条件，证明△ABE与△EHF全等，推导出BE=CH=FH，进而确定F在∠DCH的平分线上，由此找到F的轨迹为正方形DCMG的对角线，计算该对角线长度即可得到路径长。
【解析】
如图，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CF，则∠EHF=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=3，
∴∠AEB + ∠BAE=90°。
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB + ∠FEH=90°，
∴∠BAE=∠FEH。
在△ABE和△EHF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠EHF \\∠BAE=∠FEH \\AE=EF\end{array} $
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，BE=HF。
∵AB=BC，
∴EH=BC，
又
∵BE + EC=BC，CH + EC=EH，
∴BE=CH，
∴CH=HF，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴∠FCH=45°，即点F在∠DCH的平分线上运动。
以DC为边，在DC右侧作正方形DCMG，连接CG，
则CM=CD=3，∠M=90°，
∴CG=$\sqrt{CM^2 + MG^2}$=$\sqrt{3^2 + 3^2}$=3$\sqrt{2}$，
即点F运动的路径长为3$\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】
本题为动点轨迹问题，通过构造全等三角形推导动点轨迹，结合正方形性质计算路径长度，关键是辅助线的添加和轨迹判断，考查几何推理能力。
【难度系数】
0.5
要确定点F的运动路径长，需先明确F的运动轨迹。通过作辅助线FH垂直BC延长线，利用正方形的角的性质和EF⊥AE的条件，证明△ABE与△EHF全等，推导出BE=CH=FH，进而确定F在∠DCH的平分线上，由此找到F的轨迹为正方形DCMG的对角线，计算该对角线长度即可得到路径长。
【解析】
如图，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CF，则∠EHF=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=3，
∴∠AEB + ∠BAE=90°。
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB + ∠FEH=90°，
∴∠BAE=∠FEH。
在△ABE和△EHF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠EHF \\∠BAE=∠FEH \\AE=EF\end{array} $
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，BE=HF。
∵AB=BC，
∴EH=BC，
又
∵BE + EC=BC，CH + EC=EH，
∴BE=CH，
∴CH=HF，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴∠FCH=45°，即点F在∠DCH的平分线上运动。
以DC为边，在DC右侧作正方形DCMG，连接CG，
则CM=CD=3，∠M=90°，
∴CG=$\sqrt{CM^2 + MG^2}$=$\sqrt{3^2 + 3^2}$=3$\sqrt{2}$，
即点F运动的路径长为3$\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】
本题为动点轨迹问题，通过构造全等三角形推导动点轨迹，结合正方形性质计算路径长度，关键是辅助线的添加和轨迹判断，考查几何推理能力。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 化简$\sqrt{(-2)^2}$的结果是________.
11. 化简$\sqrt{(-2)^2}$的结果是________.
答案
11. 2 【点拨】本题考查二次根式的化简,掌握二次根式的性质是解题的关键.
【解析】$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.故答案为2.
【解析】$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.故答案为2.
解析
【分析】
要化简$\sqrt{(-2)^2}$，可利用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），也可先计算被开方数的平方，再求算术平方根。先计算$(-2)^2$的结果，再对该结果求算术平方根即可得到答案。
【解析】
步骤1：计算被开方数的平方：$(-2)^2 = 4$；
步骤2：计算二次根式的结果：$\sqrt{4} = 2$；
因此$\sqrt{(-2)^2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式化简；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心考查二次根式的基本性质，属于初中数学的基础考点，侧重对基础知识的巩固，难度较低。
【难度系数】
0.9
要化简$\sqrt{(-2)^2}$，可利用二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），也可先计算被开方数的平方，再求算术平方根。先计算$(-2)^2$的结果，再对该结果求算术平方根即可得到答案。
【解析】
步骤1：计算被开方数的平方：$(-2)^2 = 4$；
步骤2：计算二次根式的结果：$\sqrt{4} = 2$；
因此$\sqrt{(-2)^2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式化简；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心考查二次根式的基本性质，属于初中数学的基础考点，侧重对基础知识的巩固，难度较低。
【难度系数】
0.9
12. 一次演讲比赛中,评委按演讲内容占40%,演讲能力占40%,演讲效果占20%,计算选手的综合成绩(百分制).选手甲的单项成绩如表所示,则选手甲的最后得分是
91分
.答案
12. 91分 【点拨】本题考查加权平均数,将各单项成绩乘对应的权重,再将结果相加是解题的关键.
【解析】选手甲的最后得分是90×40% + 90×40% + 95×20% = 91(分).故答案为91分.
【解析】选手甲的最后得分是90×40% + 90×40% + 95×20% = 91(分).故答案为91分.
解析
【分析】
要计算选手甲的综合成绩，需运用加权平均数的计算方法，将演讲内容、演讲能力、演讲效果的单项成绩分别乘以各自对应的权重（40%、40%、20%），再把乘积相加，就能得到最终的综合得分。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，选手甲的最后得分 = 演讲内容成绩×40% + 演讲能力成绩×40% + 演讲效果成绩×20%，代入数据计算：
90×40% + 90×40% + 95×20% = 36 + 36 + 19 = 91（分）
【答案】
91分
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题是加权平均数在实际问题中的基础应用，解题核心是明确各数据对应的权重，按公式计算即可，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
要计算选手甲的综合成绩，需运用加权平均数的计算方法，将演讲内容、演讲能力、演讲效果的单项成绩分别乘以各自对应的权重（40%、40%、20%），再把乘积相加，就能得到最终的综合得分。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，选手甲的最后得分 = 演讲内容成绩×40% + 演讲能力成绩×40% + 演讲效果成绩×20%，代入数据计算：
90×40% + 90×40% + 95×20% = 36 + 36 + 19 = 91（分）
【答案】
91分
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题是加权平均数在实际问题中的基础应用，解题核心是明确各数据对应的权重，按公式计算即可，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
13. 如图,直线$y = kx + 2$与$x$轴交于点$(-1,0)$,则不等式$kx + 2 ≥ 0$的解集是________.
答案
13. x≥-1 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系,利用数形结合是解题的关键.
【解析】由函数图象可知,当x≥-1时,函数图象不在x轴的下方,则不等式kx + 2 ≥0的解集是x≥-1.故答案为x≥-1.
【解析】由函数图象可知,当x≥-1时,函数图象不在x轴的下方,则不等式kx + 2 ≥0的解集是x≥-1.故答案为x≥-1.
解析
【分析】
要解不等式$kx + 2 ≥ 0$，需利用一次函数与一元一次不等式的关系：不等式的解集对应一次函数图象在$x$轴及上方部分的$x$取值范围。已知直线$y=kx+2$与$x$轴交于$(-1,0)$，结合图象可知函数值随$x$增大而增大，因此只需找到图象在$x$轴及上方对应的$x$范围即可得到解集。
【解析】
直线$y=kx+2$与$x$轴交于点$(-1,0)$，观察图象可知该直线呈上升趋势，即$y$随$x$的增大而增大。不等式$kx + 2 ≥ 0$的几何意义是：一次函数$y=kx+2$的图象在$x$轴及上方部分对应的$x$的取值。当$x=-1$时，$y=0$；当$x ≥ -1$时，函数图象在$x$轴及上方，此时$kx + 2 ≥ 0$，因此不等式$kx + 2 ≥ 0$的解集是$x ≥ -1$。
【答案】
$x ≥ -1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；数形结合思想
【点评】
本题通过数形结合将一次函数图象与一元一次不等式的解集关联，直观考查两者的联系，属于基础题型，需掌握函数图象与不等式的对应关系。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx + 2 ≥ 0$，需利用一次函数与一元一次不等式的关系：不等式的解集对应一次函数图象在$x$轴及上方部分的$x$取值范围。已知直线$y=kx+2$与$x$轴交于$(-1,0)$，结合图象可知函数值随$x$增大而增大，因此只需找到图象在$x$轴及上方对应的$x$范围即可得到解集。
【解析】
直线$y=kx+2$与$x$轴交于点$(-1,0)$，观察图象可知该直线呈上升趋势，即$y$随$x$的增大而增大。不等式$kx + 2 ≥ 0$的几何意义是：一次函数$y=kx+2$的图象在$x$轴及上方部分对应的$x$的取值。当$x=-1$时，$y=0$；当$x ≥ -1$时，函数图象在$x$轴及上方，此时$kx + 2 ≥ 0$，因此不等式$kx + 2 ≥ 0$的解集是$x ≥ -1$。
【答案】
$x ≥ -1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；数形结合思想
【点评】
本题通过数形结合将一次函数图象与一元一次不等式的解集关联，直观考查两者的联系，属于基础题型，需掌握函数图象与不等式的对应关系。
【难度系数】
0.7
14. 若菱形ABCD的两条对角线长为6和8，则菱形的面积是
24
.答案
14. 24 【点拨】本题考查菱形的面积计算,掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键.
【解析】
∵ 菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8,
∴ 菱形的面积为$\frac{1}{2}×6×8 = 24$.故答案为24.
【解析】
∵ 菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8,
∴ 菱形的面积为$\frac{1}{2}×6×8 = 24$.故答案为24.
解析
【分析】
要计算菱形的面积，需运用菱形的面积特殊公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，题目已给出两条对角线的具体长度，直接代入公式计算即可。
【解析】
根据菱形的面积计算公式：菱形的面积 = $\frac{1}{2}×$两条对角线长度的乘积。已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，代入公式得：$\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的面积计算
【点评】
本题直接考查菱形面积公式的基础应用，题型简单，只要牢记菱形面积与对角线的关系就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要计算菱形的面积，需运用菱形的面积特殊公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，题目已给出两条对角线的具体长度，直接代入公式计算即可。
【解析】
根据菱形的面积计算公式：菱形的面积 = $\frac{1}{2}×$两条对角线长度的乘积。已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，代入公式得：$\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的面积计算
【点评】
本题直接考查菱形面积公式的基础应用，题型简单，只要牢记菱形面积与对角线的关系就能快速解答。
【难度系数】
0.9
15. 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为函数$y=|x-2|$图象上两点,下列结论:
①函数的最小值为0;
②当$x_1 ＜ x_2 ≤ 2$时,$y_1 ＜ y_2$;
③若$x_1 + x_2 = 4$,则$y_1 = y_2$;
④若方程$|x-2| -1 = kx -4k$有两个解,且都满足$-1 ＜ x ≤ 3$,则$k$的取值范围是$0 ≤ k ＜ \frac{1}{2}$.
其中正确的结论是________.(填序号)
①函数的最小值为0;
②当$x_1 ＜ x_2 ≤ 2$时,$y_1 ＜ y_2$;
③若$x_1 + x_2 = 4$,则$y_1 = y_2$;
④若方程$|x-2| -1 = kx -4k$有两个解,且都满足$-1 ＜ x ≤ 3$,则$k$的取值范围是$0 ≤ k ＜ \frac{1}{2}$.
其中正确的结论是________.(填序号)
答案
15. ①③④ 【点拨】本题考查函数的应用,掌握一次函数的性质及绝对值的性质是解题的关键.
【解析】①当x=2时,函数y = |x - 2| = 0,故函数的最小值为0,原说法正确;②当$x_1 ＜ x_2 ≤ 2$时,y随x的增大而减小,故$y_1 ＞ y_2$,原说法错误;③函数图象对称轴为直线x=2,若$x_1 + x_2 = 4$,则$y_1 = y_2$,原说法正确;④
∵ |x - 2| - 1 = kx - 4k,
∴ |x - 2| = kx - 4k + 1,需分情况讨论:当k=0时,方程|x - 2| = 1,解得x=1或x=3,满足-1 ＜ x ≤3;当k＞0时,直线y = kx - 4k + 1与y = x - 2的图象有交点,则kx - 4k + 1 = x - 2,解得$x = \frac{3 - 4k}{1 - k}$,需满足2 ≤ x ≤3,
∴ $2 ≤ \frac{3 - 4k}{1 - k} ≤ 3$,解得$0 ≤ k ≤ \frac{1}{2}$,
∴ $0 ＜ k ≤ \frac{1}{2}$;直线y = kx - 4k + 1与y = 2 - x的图象有交点,则kx - 4k + 1 = 2 - x,解得$x = \frac{4k + 1}{k + 1}$,需满足-1 ＜ x ＜ 2,
∴ -1 ＜ $\frac{4k + 1}{k + 1}$ ＜ 2,解得$-\frac{2}{5} ＜ k ＜ \frac{1}{2}$,
∴ $0 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$;当$k = \frac{1}{2}$时,x=2,此时方程仅有一个解,故$0 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$;当k＜0时,直线与绝对值函数的图象无交点或交点超出范围.综上所述,k的取值范围为$0 ≤ k ＜ \frac{1}{2}$,原说法正确.故正确的结论有①③④.故答案为①③④.
【解析】①当x=2时,函数y = |x - 2| = 0,故函数的最小值为0,原说法正确;②当$x_1 ＜ x_2 ≤ 2$时,y随x的增大而减小,故$y_1 ＞ y_2$,原说法错误;③函数图象对称轴为直线x=2,若$x_1 + x_2 = 4$,则$y_1 = y_2$,原说法正确;④
∵ |x - 2| - 1 = kx - 4k,
∴ |x - 2| = kx - 4k + 1,需分情况讨论:当k=0时,方程|x - 2| = 1,解得x=1或x=3,满足-1 ＜ x ≤3;当k＞0时,直线y = kx - 4k + 1与y = x - 2的图象有交点,则kx - 4k + 1 = x - 2,解得$x = \frac{3 - 4k}{1 - k}$,需满足2 ≤ x ≤3,
∴ $2 ≤ \frac{3 - 4k}{1 - k} ≤ 3$,解得$0 ≤ k ≤ \frac{1}{2}$,
∴ $0 ＜ k ≤ \frac{1}{2}$;直线y = kx - 4k + 1与y = 2 - x的图象有交点,则kx - 4k + 1 = 2 - x,解得$x = \frac{4k + 1}{k + 1}$,需满足-1 ＜ x ＜ 2,
∴ -1 ＜ $\frac{4k + 1}{k + 1}$ ＜ 2,解得$-\frac{2}{5} ＜ k ＜ \frac{1}{2}$,
∴ $0 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$;当$k = \frac{1}{2}$时,x=2,此时方程仅有一个解,故$0 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$;当k＜0时,直线与绝对值函数的图象无交点或交点超出范围.综上所述,k的取值范围为$0 ≤ k ＜ \frac{1}{2}$,原说法正确.故正确的结论有①③④.故答案为①③④.
解析
【分析】首先明确函数$y=|x-2|$是顶点在$(2,0)$、对称轴为直线$x=2$的V型折线，$x≥2$时函数为$y=x-2$（递增），$x＜2$时函数为$y=2-x$（递减）。接下来逐个分析结论：①利用绝对值的非负性判断最小值；②根据$x≤2$时函数的单调性判断；③利用对称轴的对称性判断；④将方程变形为两函数交点问题，通过分类讨论$k$的取值结合交点范围求解，进而判断结论是否正确。
【解析】①对于函数$y=|x-2|$，绝对值具有非负性，故$|x-2|≥0$，当$x=2$时$y=0$，函数最小值为0，结论①正确；②当$x_1＜x_2≤2$时，函数$y=|x-2|=2-x$，此区间内$y$随$x$增大而减小，因此$y_1＞y_2$，结论②错误；③函数对称轴为直线$x=2$，若$x_1+x_2=4$，则两点关于直线$x=2$对称，对称点函数值相等，故$y_1=y_2$，结论③正确；④将方程变形为$|x-2|=k(x-4)+1$，分析直线$y=k(x-4)+1$与$y=|x-2|$的交点：
$k=0$时，方程为$|x-2|=1$，解得$x=1$或$x=3$，满足$-1＜x≤3$；
$k＞0$时，分两种情况：
1. 与$y=x-2$（$x≥2$）相交：联立得$x=\frac{3-4k}{1-k}$，需$2≤x≤3$，解得$0＜k≤\frac{1}{2}$；
2. 与$y=2-x$（$x＜2$）相交：联立得$x=\frac{4k+1}{k+1}$，需$-1＜x＜2$，解得$0＜k＜\frac{1}{2}$；
综上$k＞0$时$0＜k＜\frac{1}{2}$；
$k＜0$时，交点超出范围，不符合条件；
故$k$的取值范围为$0≤k＜\frac{1}{2}$，结论④正确。因此正确结论为①③④。
【答案】①③④
【知识点】绝对值函数的图像与性质、一次函数的应用
【点评】本题综合考查绝对值函数性质及方程解的问题，需掌握绝对值函数图像特征，通过分类讨论分析方程解，对逻辑分析能力有一定要求，是函数模块典型题型。
【难度系数】0.4
【解析】①对于函数$y=|x-2|$，绝对值具有非负性，故$|x-2|≥0$，当$x=2$时$y=0$，函数最小值为0，结论①正确；②当$x_1＜x_2≤2$时，函数$y=|x-2|=2-x$，此区间内$y$随$x$增大而减小，因此$y_1＞y_2$，结论②错误；③函数对称轴为直线$x=2$，若$x_1+x_2=4$，则两点关于直线$x=2$对称，对称点函数值相等，故$y_1=y_2$，结论③正确；④将方程变形为$|x-2|=k(x-4)+1$，分析直线$y=k(x-4)+1$与$y=|x-2|$的交点：
$k=0$时，方程为$|x-2|=1$，解得$x=1$或$x=3$，满足$-1＜x≤3$；
$k＞0$时，分两种情况：
1. 与$y=x-2$（$x≥2$）相交：联立得$x=\frac{3-4k}{1-k}$，需$2≤x≤3$，解得$0＜k≤\frac{1}{2}$；
2. 与$y=2-x$（$x＜2$）相交：联立得$x=\frac{4k+1}{k+1}$，需$-1＜x＜2$，解得$0＜k＜\frac{1}{2}$；
综上$k＞0$时$0＜k＜\frac{1}{2}$；
$k＜0$时，交点超出范围，不符合条件；
故$k$的取值范围为$0≤k＜\frac{1}{2}$，结论④正确。因此正确结论为①③④。
【答案】①③④
【知识点】绝对值函数的图像与性质、一次函数的应用
【点评】本题综合考查绝对值函数性质及方程解的问题，需掌握绝对值函数图像特征，通过分类讨论分析方程解，对逻辑分析能力有一定要求，是函数模块典型题型。
【难度系数】0.4
