1. 解不等式：$x - 3(x - 2) ≥ 4$，并将它的解集在数轴上表示出来。

1. $x-3(x-2)≥4$,
$x-3x+6≥4$,
$-2x≥-2$,
$x≤1.$

【分析】
解该一元一次不等式可类比一元一次方程的解题步骤思考：第一步先去括号，注意括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号；第二步合并同类项整理不等式；第三步系数化为1，此时要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变；最后在数轴上表示解集时，$x≤1$包含1这个端点，要用实心圆点标记，再向左画出表示解集的射线即可。
【解析】
解：$x - 3(x - 2) ≥ 4$
去括号，得：$x - 3x + 6 ≥ 4$
合并同类项，得：$-2x ≥ -2$
系数化为1（不等式两边同时除以-2，不等号方向改变），得：$x ≤ 1$
数轴表示方法：在数轴上定位到表示1的点，绘制实心圆点，从该点向左画一条射线，即为该不等式解集的数轴表示。
【答案】
$x ≤ 1$
【知识点】
1.一元一次不等式的解法
2.不等式的基本性质
3.不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题，解题核心易错点为系数化为1时，若系数为负需要改变不等号方向；数轴表示解集时要区分实心圆点和空心圆圈的用法，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，AE平分$∠ BAD$交DC于点E，AD=6 cm，AB=9 cm，求CE的长。

2. 解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD,AB=CD=9 cm，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=6 cm，
∴CE=CD-DE=9-6=3(cm).

【分析】
要求CE的长，已知平行四边形中CD=AB，因此只需求出DE的长度，即可通过CE=CD-DE计算结果。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、CD=AB=9cm，由平行线的内错角相等推出∠DEA=∠EAB；再结合AE平分∠BAD的条件，可通过等量代换得到∠DAE=∠DEA，进而判定△ADE为等腰三角形，得到DE=AD=6cm，最后代入计算即可求出CE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD，AB=CD=9 cm，
∴∠DEA=∠EAB（两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB（角平分线的定义），
∴∠DAE=∠DEA（等量代换），
∴DE=AD=6 cm（等角对等边），
∴CE=CD-DE=9-6=3(cm)。
【答案】
3 cm
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，解题核心是结合平行线性质与角平分线定义推导等角，进而得到等腰三角形，将未知线段转化为已知线段的差求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD,BC上的点,且$DE=BF$,$AC ⊥ EF$,求证:四边形AECF是菱形.

3. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∵DE=BF,
∴AE=CF，
∵AE//CF,
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.

【分析】
要证明四边形AECF是菱形，可按两步思路推导：第一步先证它是平行四边形，首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，结合已知DE=BF的条件，可推出AE和CF平行且相等，根据平行四边形的判定定理就能先判定AECF是平行四边形；第二步再利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，结合已知AC⊥EF的条件，即可完成菱形的证明。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∵DE=BF,
∴AE=CF，
∵AE//CF,
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC，
∵DE=BF,
∴AE=CF，
∵AE//CF,
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，核心考查平行四边形、菱形相关判定定理的应用，解题逻辑链条清晰，只要熟练掌握基础定理，结合已知条件逐步推导即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°,求∠B的度数.

4. 解:(1)连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC；
(2)设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴由三角形的外角的性质,∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在三角形ABC中,3x°+75°=180°，
x°=35°，
∴∠B=35°.

【分析】
(1) 要证AD⊥BC，可借助等腰三角形三线合一的性质推导：首先EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接AE可得AE=BE，结合已知BE=AC，可推出AE=AC，即△AEC为等腰三角形，已知D是CE中点，根据等腰三角形三线合一即可得到AD⊥BC。
(2) 求∠B的度数可采用设未知数列方程的方法：由AE=BE可得∠BAE=∠B，结合三角形外角性质可得∠AEC=2∠B，再由AE=AC得∠C=∠AEC=2∠B，最后根据△ABC内角和为180°，代入已知∠BAC=75°列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
又
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是CE的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。
(2) 解：设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
根据三角形外角的性质，∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
代入∠BAC=75°得：x+2x+75=180，
解得x=35。
【答案】
(1) AD⊥BC得证；
(2) $∠ B=35°$

【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是合理添加辅助线构造等腰三角形，结合线段垂直平分线、等腰三角形的性质推导边和角的关系，角度计算时运用方程思想可简化思路，属于几何常考基础题型。
【难度系数】
0.7