5.如图,在平行四边形ABCD中,P是AB边上一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,连接CQ.
(1)若∠BPC=∠AQP,求证:四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下,当AP=4,AD=12时,求AQ的长.

5. (1)证明:
∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，
∠BPC=∠AQP，
∴∠CPQ=∠A，
∵PQ⊥CP,
∴∠A=∠CPQ=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠CPQ=90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,$\begin{cases}CQ=CQ,\\CD=CP,\end{cases}$
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)，
∴DQ=PQ，
设AQ=x,则DQ=PQ=12−x，
在Rt△APQ中,$AQ^2+AP^2=PQ^2$，
∴$x^2+4^2=(12−x)^2$,解得$x=\frac{16}{3}$，
∴AQ的长是$\frac{16}{3}$.

【分析】
(1) 要证明平行四边形ABCD是矩形，只需证明其有一个内角为90°。利用三角形外角的性质可知∠BPQ既等于∠BPC+∠CPQ，也等于∠A+∠AQP，结合已知∠BPC=∠AQP，可推出∠A=∠CPQ，再由PQ⊥CP得∠CPQ=90°，即可得到∠A=90°，完成矩形判定。
(2) 求AQ的长度时，先利用HL证明Rt△CDQ和Rt△CPQ全等，得到DQ=PQ，设AQ为x，将PQ用含x的代数式表示，再在Rt△APQ中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BPQ = ∠BPC + ∠CPQ = ∠A + ∠AQP（三角形外角等于不相邻两个内角的和），
已知∠BPC=∠AQP，
∴ ∠CPQ = ∠A，
∵ PQ⊥CP，
∴ ∠CPQ=90°，
∴ ∠A=90°，
∴ 有一个内角为直角的平行四边形ABCD是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=90°，即∠D=∠CPQ=90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中：
$\begin{cases}CQ=CQ \\ CD=CP\end{cases}$
∴ Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴ DQ=PQ，
设AQ=x，则DQ=AD-AQ=12-x，即PQ=12-x，
在Rt△APQ中，由勾股定理得$AQ^2+AP^2=PQ^2$，
代入数值：$x^2+4^2=(12-x)^2$，
展开整理得：24x=128，
解得$x=\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形，证明成立；
(2) AQ的长为$\frac{16}{3}$。
【知识点】
矩形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考察了平行四边形性质、矩形判定、全等三角形和勾股定理的应用，解题时需先通过角的数量关系推导特殊角，再利用全等转化边的关系，最后用勾股定理建立方程求解，侧重基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7

6. 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD.
(1)当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
(2)求∠DAO的度数；
(3)请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

6. (1)证明:由旋转的性质得:
OC=CD,∠DCO=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠DCO=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC,∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△BOC≌△ADC(SAS)，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形.
(2)解:
∵△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵∠AOB=110°,∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，
由(1)知:△ADC≌△BOC，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ADO=α−60°，
在△ADO中，
∠DAO=180°−∠ADO−∠AOD
=180°−(α−60°)−(190°−α)=50°.
(3)解:分三种情况：
①当AO=AD时,∠AOD=∠ADO.
∵∠AOD=360°−∠AOB−∠COD−α
=360°−110°−60°−α=190°−α,∠ADO
=α−60°，
∴190°−α=α−60°，
∴α=125°；
②当OA=OD时,∠OAD=∠ADO.
∵∠AOD=190°−α,∠ADO=α−60°，
∴∠OAD=180°−(∠AOD+∠ADO)=50°，
∴α−60°=50°，
∴α=110°；
③当OD=AD时,∠OAD=∠AOD.
∵190°−α=50°，
∴α=140°.
综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.

【分析】
(1)要证△AOD是直角三角形，需推导得其中一个内角为90°。首先根据旋转性质可得OC=CD、∠DCO=60°，先判定△COD是等边三角形，得∠ODC=60°；再结合等边△ABC的边、角性质，证明△BOC≌△ADC，将∠BOC=150°转化为∠ADC=150°，减去∠ODC即可得到∠ADO=90°。
(2)求∠DAO可利用三角形内角和定理，先分别用α表示出△AOD的另外两个内角∠AOD和∠ADO，代入内角和公式计算，可消去α得到固定的∠DAO度数。
(3)△AOD是等腰三角形时没有指定腰和底，需分三种情况讨论：①AO=AD；②OA=OD；③OD=AD，结合等边对等角的性质分别列方程求解α，验证角度合理性即可。
【解析】
(1)证明：由旋转的性质得：$OC=CD$，$∠ DCO=60°$，
∴$△ COD$是等边三角形，
∴$∠ ODC=60°$，
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$AC=BC$，$∠ ACB=60°$，
∴$∠ ACB - ∠ ACO = ∠ DCO - ∠ ACO$，即$∠ ACD=∠ BCO$，
在$△ BOC$和$△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l}OC=DC\\ ∠ BCO=∠ ACD\\ BC=AC\end{array} $
∴$△ BOC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ ADC=∠ BOC=150°$，
∴$∠ ADO=∠ ADC - ∠ ODC=150°-60°=90°$，
即$△ AOD$是直角三角形。
(2)解：
∵$△ COD$是等边三角形，
∴$∠ COD=60°$，
∵$∠ AOB=110°$，$∠ BOC=α$，
∴$∠ AOD=360°−∠ AOB−∠ BOC−∠ COD=360°−110°−α−60°=190°−α$，
由(1)知$△ ADC≌△ BOC$，
∴$∠ ADC=∠ BOC=α$，
∴$∠ ADO=∠ ADC−∠ ODC=α−60°$，
在$△ ADO$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DAO=180°−∠ ADO−∠ AOD$
$=180°−(α−60°)−(190°−α)=50°$。
(3)解：$△ AOD$为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$AO=AD$时，$∠ AOD=∠ ADO$，
∵$∠ AOD=190°−α$，$∠ ADO=α−60°$，
∴$190°−α=α−60°$，
解得$α=125°$；
②当$OA=OD$时，$∠ OAD=∠ ADO$，
∵$∠ OAD=50°$，$∠ ADO=α−60°$，
∴$α−60°=50°$，
解得$α=110°$；
③当$OD=AD$时，$∠ OAD=∠ AOD$，
∵$∠ OAD=50°$，$∠ AOD=190°−α$，
∴$190°−α=50°$，
解得$α=140°$。
综上所述：当$α$的度数为$125°$或$110°$或$140°$时，$△ AOD$是等腰三角形。
【答案】
(1)证明成立，$△ AOD$为直角三角形；
(2)$∠ DAO=50°$；
(3)当$α$为$110°$或$125°$或$140°$时，$△ AOD$是等腰三角形。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的性质
【点评】
本题综合考查了旋转、全等三角形、特殊三角形的相关知识，解题突破口是利用旋转的性质构造全等三角形实现角度的转化，第三问需运用分类讨论思想，对等腰三角形的边的三种情况分别分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6