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1. (南京中考)某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34，若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为
35
。答案
1. 35
解析
【分析】
解题时首先回忆众数和中位数的定义：①先根据众数是一组数据中出现次数最多的数，结合题目给出的众数为32，确定未知参数a的取值；②再将所有数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是8（偶数个），中位数取排序后第4个和第5个数据的平均数，计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定a的值：
观察已知数据：37，32，36，37，32，38，34，其中32和37都各出现2次，其余数各出现1次。
因为这组数据的众数为32，说明32的出现次数最多，因此$a=32$，此时32共出现3次，是出现次数最多的数。
2. 计算中位数：
将所有数据从小到大排列：32，32，32，34，36，37，37，38。
数据总共有8个，为偶数个，中位数为排序后第4个和第5个数据的平均数，即：
$\frac{34+36}{2}=35$
【答案】
35
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查众数和中位数的基础应用，解题关键是先根据众数的性质求出未知参数a，注意计算中位数前必须先将数据按顺序排列，避免直接取原数据中间的数计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆众数和中位数的定义：①先根据众数是一组数据中出现次数最多的数，结合题目给出的众数为32，确定未知参数a的取值；②再将所有数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是8（偶数个），中位数取排序后第4个和第5个数据的平均数，计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定a的值：
观察已知数据：37，32，36，37，32，38，34，其中32和37都各出现2次，其余数各出现1次。
因为这组数据的众数为32，说明32的出现次数最多，因此$a=32$，此时32共出现3次，是出现次数最多的数。
2. 计算中位数：
将所有数据从小到大排列：32，32，32，34，36，37，37，38。
数据总共有8个，为偶数个，中位数为排序后第4个和第5个数据的平均数，即：
$\frac{34+36}{2}=35$
【答案】
35
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查众数和中位数的基础应用，解题关键是先根据众数的性质求出未知参数a，注意计算中位数前必须先将数据按顺序排列，避免直接取原数据中间的数计算出错。
【难度系数】
0.7
2. 两组数据：$3,m,2n,5$ 与 $m,6,n$ 的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一组数据，求这组新数据的中位数和众数。
答案
2.
∵两组数据:3,m,2n,5与m,6,n的平均数都是6，
∴$\begin{cases} m+2n=24-3-5,\\ m+n=18-6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=8,\\ n=4. \end{cases}$
若将这两组数据合并为一组数据,按从小到大的顺序排列为3,4,5,6,8,8,8，
一共7个数,第四个数是6，
∴这组数据的中位数是6.
∵数据8出现了3次,次数最多，
∴众数是8。
∵两组数据:3,m,2n,5与m,6,n的平均数都是6，
∴$\begin{cases} m+2n=24-3-5,\\ m+n=18-6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=8,\\ n=4. \end{cases}$
若将这两组数据合并为一组数据,按从小到大的顺序排列为3,4,5,6,8,8,8，
一共7个数,第四个数是6，
∴这组数据的中位数是6.
∵数据8出现了3次,次数最多，
∴众数是8。
解析
【分析】
解题时首先根据平均数的定义：一组数据的总和等于平均数乘数据个数，结合两组数据的平均数均为6，列出关于m、n的二元一次方程组，求解得到m和n的具体值；随后将两组数据合并，按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义（数据个数为奇数时，取排序后最中间的数为中位数）找到中位数；再统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数即为众数。
【解析】
解：
∵两组数据$3,m,2n,5$与$m,6,n$的平均数都是6，
∴根据平均数公式可得：
$\begin{cases} 3+m+2n+5=4×6 \\ m+6+n=3×6 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} m+2n=16 \\ m+n=12 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$n=4$，
将$n=4$代入$m+n=12$，得$m=8$，
解得$\begin{cases} m=8 \\ n=4 \end{cases}$。
将两组数据合并为一组数据为：$3,8,8,5,8,6,4$，
按从小到大的顺序排列为：$3,4,5,6,8,8,8$，
这组数据共有7个，为奇数个，最中间的是第4个数，即6，
∴这组新数据的中位数是6。
又
∵数据8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组新数据的众数是8。
【答案】
中位数为6，众数为8
【知识点】
平均数的计算，二元一次方程组的应用，中位数与众数的判定
【点评】
本题是统计知识与方程知识的结合应用，解题的核心是先利用平均数的性质求出未知参数的值，合并数据后要正确排序，再根据中位数、众数的定义求解，做题时需注意不要遗漏合并后的数据，保证排序准确。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据平均数的定义：一组数据的总和等于平均数乘数据个数，结合两组数据的平均数均为6，列出关于m、n的二元一次方程组，求解得到m和n的具体值；随后将两组数据合并，按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义（数据个数为奇数时，取排序后最中间的数为中位数）找到中位数；再统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数即为众数。
【解析】
解：
∵两组数据$3,m,2n,5$与$m,6,n$的平均数都是6，
∴根据平均数公式可得：
$\begin{cases} 3+m+2n+5=4×6 \\ m+6+n=3×6 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} m+2n=16 \\ m+n=12 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$n=4$，
将$n=4$代入$m+n=12$，得$m=8$，
解得$\begin{cases} m=8 \\ n=4 \end{cases}$。
将两组数据合并为一组数据为：$3,8,8,5,8,6,4$，
按从小到大的顺序排列为：$3,4,5,6,8,8,8$，
这组数据共有7个，为奇数个，最中间的是第4个数，即6，
∴这组新数据的中位数是6。
又
∵数据8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组新数据的众数是8。
【答案】
中位数为6，众数为8
【知识点】
平均数的计算，二元一次方程组的应用，中位数与众数的判定
【点评】
本题是统计知识与方程知识的结合应用，解题的核心是先利用平均数的性质求出未知参数的值，合并数据后要正确排序，再根据中位数、众数的定义求解，做题时需注意不要遗漏合并后的数据，保证排序准确。
【难度系数】
0.7
3. 某校男子足球队的年龄分布如图所示,试根据图中信息确定这些队员年龄的平均数和中位数.
答案
3. 根据图中信息计算可得,这些队员年龄的平均数为15岁，
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22(人)，
则第11名和第12名队员的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁。
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22(人)，
则第11名和第12名队员的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁。
解析
【分析】
要计算队员年龄的平均数，需用加权平均数的计算方法：先计算所有队员的年龄总和，再除以总人数即可。要计算中位数，首先先求出总人数，再将所有队员的年龄按从小到大的顺序排列，若总人数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，若为奇数，取中间的数作为中位数。本题中先从条形统计图中读取各年龄对应的人数，再按上述步骤分别计算即可。
【解析】
1. 计算总人数：
从统计图中读取各年龄的人数，总人数为 $2+6+8+3+2+1=22$（人）
2. 计算平均数：
年龄总和为 $13×2 + 14×6 + 15×8 + 16×3 + 17×2 + 18×1$
$=26+84+120+48+34+18=330$（岁）
平均数为 $\frac{330}{22}=15$（岁）
3. 计算中位数：
总共有22个数据，按年龄从小到大排列后，中位数是第11个和第12个数据的平均数。
按年龄从小到大累计人数：13岁共2人，14岁共6人（累计到第8人），15岁共8人（累计到第16人），因此第11个和第12个数据均为15岁，所以中位数为 $\frac{15+15}{2}=15$（岁）
【答案】
平均数为15岁，中位数为15岁
【知识点】
加权平均数，中位数，条形统计图
【点评】
本题结合条形统计图考查统计中集中趋势指标的计算，解题的关键是正确读取统计图中的数据，熟练掌握加权平均数和中位数的计算方法，属于统计部分的基础常规题。
【难度系数】
0.8
要计算队员年龄的平均数，需用加权平均数的计算方法：先计算所有队员的年龄总和，再除以总人数即可。要计算中位数，首先先求出总人数，再将所有队员的年龄按从小到大的顺序排列，若总人数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，若为奇数，取中间的数作为中位数。本题中先从条形统计图中读取各年龄对应的人数，再按上述步骤分别计算即可。
【解析】
1. 计算总人数：
从统计图中读取各年龄的人数，总人数为 $2+6+8+3+2+1=22$（人）
2. 计算平均数：
年龄总和为 $13×2 + 14×6 + 15×8 + 16×3 + 17×2 + 18×1$
$=26+84+120+48+34+18=330$（岁）
平均数为 $\frac{330}{22}=15$（岁）
3. 计算中位数：
总共有22个数据，按年龄从小到大排列后，中位数是第11个和第12个数据的平均数。
按年龄从小到大累计人数：13岁共2人，14岁共6人（累计到第8人），15岁共8人（累计到第16人），因此第11个和第12个数据均为15岁，所以中位数为 $\frac{15+15}{2}=15$（岁）
【答案】
平均数为15岁，中位数为15岁
【知识点】
加权平均数，中位数，条形统计图
【点评】
本题结合条形统计图考查统计中集中趋势指标的计算，解题的关键是正确读取统计图中的数据，熟练掌握加权平均数和中位数的计算方法，属于统计部分的基础常规题。
【难度系数】
0.8
4. 某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录. 甲、乙、丙三个小组各项得分如表(单位:分)：
(1)计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序.
(2)如果研究报告、小组展示、答辩按照$5:3:2$的权重确定各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
(1)计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序.
(2)如果研究报告、小组展示、答辩按照$5:3:2$的权重确定各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
答案
4. (1)$\because \overline{x}_甲=\frac{90+85+74}{3}=83$(分)，
$\overline{x}_乙=\frac{83+79+84}{3}=82$(分)，
$\overline{x}_丙=\frac{79+82+91}{3}=84$(分)，
∴从高分到低分确定小组的排名顺序为丙、甲、乙。
(2)$\overline{x}_甲=\frac{90×5+85×3+74×2}{5+3+2}=85.3$(分)，
$\overline{x}_乙=\frac{83×5+79×3+84×2}{5+3+2}=82$(分)，
$\overline{x}_丙=\frac{79×5+82×3+91×2}{5+3+2}=82.3$(分)。
$\because \overline{x}_甲＞\overline{x}_丙＞\overline{x}_乙$，
∴甲组成绩最高。
$\overline{x}_乙=\frac{83+79+84}{3}=82$(分)，
$\overline{x}_丙=\frac{79+82+91}{3}=84$(分)，
∴从高分到低分确定小组的排名顺序为丙、甲、乙。
(2)$\overline{x}_甲=\frac{90×5+85×3+74×2}{5+3+2}=85.3$(分)，
$\overline{x}_乙=\frac{83×5+79×3+84×2}{5+3+2}=82$(分)，
$\overline{x}_丙=\frac{79×5+82×3+91×2}{5+3+2}=82.3$(分)。
$\because \overline{x}_甲＞\overline{x}_丙＞\overline{x}_乙$，
∴甲组成绩最高。
解析
【分析】
(1) 第一问求各小组平均成绩属于算术平均数计算，三项成绩权重相同，解题时先将每个小组三项得分求和，再除以3得到平均成绩，最后比较三个平均成绩的大小，按从高到低排序即可得到排名。
(2) 第二问按5:3:2的权重计算成绩属于加权平均数计算，解题时先将每个小组的三项成绩分别乘以对应的权重，求和后除以总权重（5+3+2=10）得到加权平均成绩，再比较三个成绩的大小，即可确定成绩最高的小组。
【解析】
(1) 计算各小组算术平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{90+85+74}{3}=83$(分)
$\overline{x}_乙=\frac{83+79+84}{3}=82$(分)
$\overline{x}_丙=\frac{79+82+91}{3}=84$(分)
因为$84＞83＞82$，所以从高分到低分的排名顺序为丙、甲、乙。
(2) 总权重为$5+3+2=10$，计算各小组加权平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{90×5+85×3+74×2}{10}=85.3$(分)
$\overline{x}_乙=\frac{83×5+79×3+84×2}{10}=82$(分)
$\overline{x}_丙=\frac{79×5+82×3+91×2}{10}=82.3$(分)
因为$85.3＞82.3＞82$，所以甲组成绩最高。
【答案】
(1) 甲平均成绩83分，乙平均成绩82分，丙平均成绩84分，排名顺序为丙、甲、乙；
(2) 甲组成绩最高。
【知识点】
算术平均数；加权平均数；数据大小比较
【点评】
本题考查平均数的相关计算，需要区分算术平均数和加权平均数的应用场景：各项权重相同时用算术平均数，权重不同时用加权平均数，计算时注意核对数值，属于统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问求各小组平均成绩属于算术平均数计算，三项成绩权重相同，解题时先将每个小组三项得分求和，再除以3得到平均成绩，最后比较三个平均成绩的大小，按从高到低排序即可得到排名。
(2) 第二问按5:3:2的权重计算成绩属于加权平均数计算，解题时先将每个小组的三项成绩分别乘以对应的权重，求和后除以总权重（5+3+2=10）得到加权平均成绩，再比较三个成绩的大小，即可确定成绩最高的小组。
【解析】
(1) 计算各小组算术平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{90+85+74}{3}=83$(分)
$\overline{x}_乙=\frac{83+79+84}{3}=82$(分)
$\overline{x}_丙=\frac{79+82+91}{3}=84$(分)
因为$84＞83＞82$，所以从高分到低分的排名顺序为丙、甲、乙。
(2) 总权重为$5+3+2=10$，计算各小组加权平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{90×5+85×3+74×2}{10}=85.3$(分)
$\overline{x}_乙=\frac{83×5+79×3+84×2}{10}=82$(分)
$\overline{x}_丙=\frac{79×5+82×3+91×2}{10}=82.3$(分)
因为$85.3＞82.3＞82$，所以甲组成绩最高。
【答案】
(1) 甲平均成绩83分，乙平均成绩82分，丙平均成绩84分，排名顺序为丙、甲、乙；
(2) 甲组成绩最高。
【知识点】
算术平均数；加权平均数；数据大小比较
【点评】
本题考查平均数的相关计算，需要区分算术平均数和加权平均数的应用场景：各项权重相同时用算术平均数，权重不同时用加权平均数，计算时注意核对数值，属于统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
