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数学实践活动（二）——揭秘纸片上的数字
有一种有趣的多人猜数游戏:在4张相同的纸片上各写一个正整数,从中随机抽取2张,并将纸片上的数字相加,不断重复此操作,每次所得的和都是5,6,7,8中的某一个数,且这4个数都能取到.猜猜看,这4张纸片上各写了什么数?猜数游戏在日常生活中也有着广泛的应用.
一、活动目标
1. 通过活动,进一步熟练运用不等式(组)解决实际问题;
2. 通过活动,引导学生把所学的数学知识灵活运用到日常生活中去;
3. 在活动过程中,培养学生积极表达、动手操作与思考探究的良好习惯.
二、活动过程
1. 活动基本信息
2. 游戏内容
小丽在4张相同的纸片上各写了一个正整数,从中随机抽取2张,并将上面的数字相加,重复操作后,每次所得的和都是5,6,7,8中的一个数,并且这4个数都能取到.猜猜看,小丽在这4张纸片上各写了什么数.
有一种有趣的多人猜数游戏:在4张相同的纸片上各写一个正整数,从中随机抽取2张,并将纸片上的数字相加,不断重复此操作,每次所得的和都是5,6,7,8中的某一个数,且这4个数都能取到.猜猜看,这4张纸片上各写了什么数?猜数游戏在日常生活中也有着广泛的应用.
一、活动目标
1. 通过活动,进一步熟练运用不等式(组)解决实际问题;
2. 通过活动,引导学生把所学的数学知识灵活运用到日常生活中去;
3. 在活动过程中,培养学生积极表达、动手操作与思考探究的良好习惯.
二、活动过程
1. 活动基本信息
2. 游戏内容
小丽在4张相同的纸片上各写了一个正整数,从中随机抽取2张,并将上面的数字相加,重复操作后,每次所得的和都是5,6,7,8中的一个数,并且这4个数都能取到.猜猜看,小丽在这4张纸片上各写了什么数.
答案
解：设这4个正整数从小到大依次为$a,b,c,d$，即$a≤ b≤ c≤ d$。
根据题意，最小的两数之和为5，最大的两数之和为8，可得：
$\begin{cases}a + b = 5 \\c + d = 8\end{cases}$
因为$a,b$都是正整数，且$a≤ b$，所以$a$的可能取值为1或2：
1. 若$a=1$，则$b=5-1=4$。
由$b≤ c≤ d$，得$c≥4$，因此$b+c≥ 4+4=8$。
结合$c+d=8$且$d≥ c$，可得$c=d=4$，此时4个数为1,4,4,4，两两相加的和只有5和8，无法得到6和7，不符合题意，舍去。
2. 若$a=2$，则$b=5-2=3$。
由$b≤ c≤ d$，得$c≥3$，又$d=8-c≥ c$，解得$c≤4$，因此$c$可取3或4：
当$c=3$时，$d=8-3=5$，此时4个数为2,3,3,5，两两相加的和为5,6,7,8，全部满足条件。
当$c=4$时，$d=8-4=4$，此时4个数为2,3,4,4，两两相加的和为5,6,7,8，全部满足条件。
答：这4张纸片上写的数字为2,3,3,5或2,3,4,4。
根据题意，最小的两数之和为5，最大的两数之和为8，可得：
$\begin{cases}a + b = 5 \\c + d = 8\end{cases}$
因为$a,b$都是正整数，且$a≤ b$，所以$a$的可能取值为1或2：
1. 若$a=1$，则$b=5-1=4$。
由$b≤ c≤ d$，得$c≥4$，因此$b+c≥ 4+4=8$。
结合$c+d=8$且$d≥ c$，可得$c=d=4$，此时4个数为1,4,4,4，两两相加的和只有5和8，无法得到6和7，不符合题意，舍去。
2. 若$a=2$，则$b=5-2=3$。
由$b≤ c≤ d$，得$c≥3$，又$d=8-c≥ c$，解得$c≤4$，因此$c$可取3或4：
当$c=3$时，$d=8-3=5$，此时4个数为2,3,3,5，两两相加的和为5,6,7,8，全部满足条件。
当$c=4$时，$d=8-4=4$，此时4个数为2,3,4,4，两两相加的和为5,6,7,8，全部满足条件。
答：这4张纸片上写的数字为2,3,3,5或2,3,4,4。
解析
【分析】
首先我们可以先将4个正整数从小到大排序，记为$a≤b≤c≤d$。因为任意两个数相加的最小和是5，最大和是8，所以最小的两个数之和必然是5，最大的两个数之和必然是8。接下来我们就可以根据正整数的大小限制，分情况讨论a的取值，再依次推导b、c、d的取值，最后验证所有两两相加的和是否能覆盖5、6、7、8这四个数，排除不符合要求的情况就能得到答案。
【解析】
设这4个正整数从小到大依次为$a,b,c,d$，满足$a≤ b≤ c≤ d$。
由题意可知，任意两数相加的最小值为5，最大值为8，因此：
$\begin{cases}a + b = 5 \\c + d = 8\end{cases}$
因为a、b都是正整数，且$a≤ b$，所以a的取值只能是1或2：
1. 当$a=1$时，$b=5-1=4$。
根据$b≤ c≤ d$可得$c≥4$，因此$b+c≥4+4=8$，结合$c+d=8$且$d≥c$，可得$c=d=4$，此时四个数为1、4、4、4，两两相加的和只有5和8，无法得到6和7，不符合题意，舍去。
2. 当$a=2$时，$b=5-2=3$。
根据$b≤ c≤ d$可得$c≥3$，又因为$d=8-c≥c$，解得$c≤4$，因此c的取值为3或4：
若$c=3$，则$d=8-3=5$，此时四个数为2、3、3、5，两两相加的和为$2+3=5$、$3+3=6$、$2+5=7$、$3+5=8$，覆盖了5、6、7、8四个数，符合要求。
若$c=4$，则$d=8-4=4$，此时四个数为2、3、4、4，两两相加的和为$2+3=5$、$2+4=6$、$3+4=7$、$4+4=8$，覆盖了5、6、7、8四个数，符合要求。
【答案】
2、3、3、5或2、3、4、4
【知识点】
不等式应用，分类讨论思想，整数运算
【点评】
本题结合趣味猜数游戏场景，考察学生对不等式性质的运用能力和逻辑推理能力，解题的关键是先通过最值确定最小两数和与最大两数和，再通过分类讨论逐一验证结果，注意不要遗漏符合条件的情况，也要排除不符合题意的情况。
【难度系数】
0.6
首先我们可以先将4个正整数从小到大排序，记为$a≤b≤c≤d$。因为任意两个数相加的最小和是5，最大和是8，所以最小的两个数之和必然是5，最大的两个数之和必然是8。接下来我们就可以根据正整数的大小限制，分情况讨论a的取值，再依次推导b、c、d的取值，最后验证所有两两相加的和是否能覆盖5、6、7、8这四个数，排除不符合要求的情况就能得到答案。
【解析】
设这4个正整数从小到大依次为$a,b,c,d$，满足$a≤ b≤ c≤ d$。
由题意可知，任意两数相加的最小值为5，最大值为8，因此：
$\begin{cases}a + b = 5 \\c + d = 8\end{cases}$
因为a、b都是正整数，且$a≤ b$，所以a的取值只能是1或2：
1. 当$a=1$时，$b=5-1=4$。
根据$b≤ c≤ d$可得$c≥4$，因此$b+c≥4+4=8$，结合$c+d=8$且$d≥c$，可得$c=d=4$，此时四个数为1、4、4、4，两两相加的和只有5和8，无法得到6和7，不符合题意，舍去。
2. 当$a=2$时，$b=5-2=3$。
根据$b≤ c≤ d$可得$c≥3$，又因为$d=8-c≥c$，解得$c≤4$，因此c的取值为3或4：
若$c=3$，则$d=8-3=5$，此时四个数为2、3、3、5，两两相加的和为$2+3=5$、$3+3=6$、$2+5=7$、$3+5=8$，覆盖了5、6、7、8四个数，符合要求。
若$c=4$，则$d=8-4=4$，此时四个数为2、3、4、4，两两相加的和为$2+3=5$、$2+4=6$、$3+4=7$、$4+4=8$，覆盖了5、6、7、8四个数，符合要求。
【答案】
2、3、3、5或2、3、4、4
【知识点】
不等式应用，分类讨论思想，整数运算
【点评】
本题结合趣味猜数游戏场景，考察学生对不等式性质的运用能力和逻辑推理能力，解题的关键是先通过最值确定最小两数和与最大两数和，再通过分类讨论逐一验证结果，注意不要遗漏符合条件的情况，也要排除不符合题意的情况。
【难度系数】
0.6
3.游戏分析
设小丽在这4张纸片上写的正整数依次为$a,b,c、d$,其中$a≤b≤c≤d$.
∵最小的两个数的和为5,最大的两个数的和为8,
∴$a+b=5,c+d=8$,
∴$\begin{cases} a+a≤5, \\ d+d≥8, \end{cases}$解得$\begin{cases} a≤2.5, \\ d≥4, \end{cases}$
∴正整数$a=1$或$a=2$
当$a=1$时,$b=4$,则$c=d=4$,此时它们两两的和是;
是否符合题意? 答:.
当$a=2$时,$b=3$,取$c=d=4$,此时它们两两的和是;
是否符合题意? 答:.
当$a=2$时,$b=3$,取$c=3,d=5$,此时它们两两的和是;
是否符合题意? 答:.
综上,纸片上的数可能是,也可能是.
设小丽在这4张纸片上写的正整数依次为$a,b,c、d$,其中$a≤b≤c≤d$.
∵最小的两个数的和为5,最大的两个数的和为8,
∴$a+b=5,c+d=8$,
∴$\begin{cases} a+a≤5, \\ d+d≥8, \end{cases}$解得$\begin{cases} a≤2.5, \\ d≥4, \end{cases}$
∴正整数$a=1$或$a=2$
当$a=1$时,$b=4$,则$c=d=4$,此时它们两两的和是;
是否符合题意? 答:.
当$a=2$时,$b=3$,取$c=d=4$,此时它们两两的和是;
是否符合题意? 答:.
当$a=2$时,$b=3$,取$c=3,d=5$,此时它们两两的和是;
是否符合题意? 答:.
综上,纸片上的数可能是,也可能是.
答案
解：
当$a=1$时，$b=4$，则$c=d=4$，此时它们两两的和是$\boldsymbol{5,5,5,8,8,8}$；
是否符合题意？答：$\boldsymbol{不符合题意}$。
当$a=2$时，$b=3$，取$c=d=4$，此时它们两两的和是$\boldsymbol{5,6,6,7,7,8}$；
是否符合题意？答：$\boldsymbol{符合题意}$。
当$a=2$时，$b=3$，取$c=3$，$d=5$，此时它们两两的和是$\boldsymbol{5,5,6,7,8,8}$；
是否符合题意？答：$\boldsymbol{符合题意}$。
综上，纸片上的数可能是$\boldsymbol{2,3,4,4}$，也可能是$\boldsymbol{2,3,3,5}$。
当$a=1$时，$b=4$，则$c=d=4$，此时它们两两的和是$\boldsymbol{5,5,5,8,8,8}$；
是否符合题意？答：$\boldsymbol{不符合题意}$。
当$a=2$时，$b=3$，取$c=d=4$，此时它们两两的和是$\boldsymbol{5,6,6,7,7,8}$；
是否符合题意？答：$\boldsymbol{符合题意}$。
当$a=2$时，$b=3$，取$c=3$，$d=5$，此时它们两两的和是$\boldsymbol{5,5,6,7,8,8}$；
是否符合题意？答：$\boldsymbol{符合题意}$。
综上，纸片上的数可能是$\boldsymbol{2,3,4,4}$，也可能是$\boldsymbol{2,3,3,5}$。
解析
【分析】
解题时先结合四个数的大小关系$a≤b≤c≤d$，以及已知条件“最小两数和为5、最大两数和为8”，推导得$2a≤a+b=5$、$2d≥c+d=8$，结合a、d是正整数，确定a的取值仅为1或2；再分三种情况计算对应四个数的两两之和，判断是否符合题意，最后归纳出所有符合条件的数组。
【解析】
1. 当$a=1$时，$b=5-1=4$，结合$b≤c≤d$且$c+d=8$，可得$c=d=4$，四个数为1、4、4、4。
两两求和：$1+4=5$，$1+4=5$，$1+4=5$，$4+4=8$，$4+4=8$，$4+4=8$，即两两的和是5,5,5,8,8,8，不符合题意。
2. 当$a=2$时，$b=5-2=3$，取$c=d=4$，四个数为2、3、4、4。
两两求和：$2+3=5$，$2+4=6$，$2+4=6$，$3+4=7$，$3+4=7$，$4+4=8$，即两两的和是5,6,6,7,7,8，符合题意。
3. 当$a=2$时，$b=3$，取$c=3,d=5$，满足$b≤c≤d$且$c+d=8$，四个数为2、3、3、5。
两两求和：$2+3=5$，$2+3=5$，$2+5=7$，$3+3=6$，$3+5=8$，$3+5=8$，即两两的和是5,5,6,7,8,8，符合题意。
综上可得到两组符合条件的数。
【答案】
当$a=1$时，两两的和是$\boldsymbol{5,5,5,8,8,8}$；答：$\boldsymbol{不符合题意}$。
当$a=2,c=d=4$时，两两的和是$\boldsymbol{5,6,6,7,7,8}$；答：$\boldsymbol{符合题意}$。
当$a=2,c=3,d=5$时，两两的和是$\boldsymbol{5,5,6,7,8,8}$；答：$\boldsymbol{符合题意}$。
综上，纸片上的数可能是$\boldsymbol{2,3,4,4}$，也可能是$\boldsymbol{2,3,3,5}$。
【知识点】
不等式的应用；分类讨论思想；有理数加法
【点评】
本题需要结合数的大小限制和正整数的属性确定参数的可能取值，通过分类讨论逐一验证每种情况，解题时要注意不要遗漏符合大小关系的数组，同时计算两两和时要避免重复或漏算。
【难度系数】
0.7
解题时先结合四个数的大小关系$a≤b≤c≤d$，以及已知条件“最小两数和为5、最大两数和为8”，推导得$2a≤a+b=5$、$2d≥c+d=8$，结合a、d是正整数，确定a的取值仅为1或2；再分三种情况计算对应四个数的两两之和，判断是否符合题意，最后归纳出所有符合条件的数组。
【解析】
1. 当$a=1$时，$b=5-1=4$，结合$b≤c≤d$且$c+d=8$，可得$c=d=4$，四个数为1、4、4、4。
两两求和：$1+4=5$，$1+4=5$，$1+4=5$，$4+4=8$，$4+4=8$，$4+4=8$，即两两的和是5,5,5,8,8,8，不符合题意。
2. 当$a=2$时，$b=5-2=3$，取$c=d=4$，四个数为2、3、4、4。
两两求和：$2+3=5$，$2+4=6$，$2+4=6$，$3+4=7$，$3+4=7$，$4+4=8$，即两两的和是5,6,6,7,7,8，符合题意。
3. 当$a=2$时，$b=3$，取$c=3,d=5$，满足$b≤c≤d$且$c+d=8$，四个数为2、3、3、5。
两两求和：$2+3=5$，$2+3=5$，$2+5=7$，$3+3=6$，$3+5=8$，$3+5=8$，即两两的和是5,5,6,7,8,8，符合题意。
综上可得到两组符合条件的数。
【答案】
当$a=1$时，两两的和是$\boldsymbol{5,5,5,8,8,8}$；答：$\boldsymbol{不符合题意}$。
当$a=2,c=d=4$时，两两的和是$\boldsymbol{5,6,6,7,7,8}$；答：$\boldsymbol{符合题意}$。
当$a=2,c=3,d=5$时，两两的和是$\boldsymbol{5,5,6,7,8,8}$；答：$\boldsymbol{符合题意}$。
综上，纸片上的数可能是$\boldsymbol{2,3,4,4}$，也可能是$\boldsymbol{2,3,3,5}$。
【知识点】
不等式的应用；分类讨论思想；有理数加法
【点评】
本题需要结合数的大小限制和正整数的属性确定参数的可能取值，通过分类讨论逐一验证每种情况，解题时要注意不要遗漏符合大小关系的数组，同时计算两两和时要避免重复或漏算。
【难度系数】
0.7
