名师指导
三国时期吴国的数学家赵爽,创制了一幅“勾股圆方图”(如图),用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.
我们把赵爽弦图称为外弦图,毕达哥拉斯弦图称为内弦图.
(1)外弦图模型:如图①,在正方形$ABCD$中,$AE ⊥ BF$于点$E$,$BF ⊥ CG$于点$F$,$CG ⊥ DH$于点$G$,$DH ⊥ AE$于点$H$,则有结论:①$△ ABE ≌ △ BCF ≌ △ CDG ≌ △ DAH$;②$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4S_{△ EAB}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$.


(2)内弦图模型:如图②,在正方形$ABCD$中,$E,F,G,H$分别是正方形$ABCD$各边上的点,且四边形$EFGH$是正方形,则有结论:①$△ AHE ≌ △ BEF ≌ △ CFG ≌ △ DGH$;②$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4S_{△ EAH}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$.
(3)内外弦图组合型:如图③,将内弦图、外弦图组合在一起,则有结论:①四边形$EFGH$是正方形;②四边形$IJKL$是正方形;③正方形$IJKL$的边长为$HI-HL$;④$S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{\mathrm{正方形}EFGH}=S_{\mathrm{正方形}EFGH}-S_{\mathrm{正方形}IJKL}$;⑤$2S_{\mathrm{正方形}EFGH}=S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{\mathrm{正方形}IJKL}$.

(1) 外弦图模型结论证明
证明：①
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°$
∴ $∠ ABE + ∠ FBC = 90°$
∵ $AE⊥ BF$
∴ $∠ AEB=90°$
∴ $∠ ABE + ∠ BAE = 90°$
∴ $∠ BAE = ∠ FBC$
又∵ $∠ AEB=∠ BFC=90°$，$AB=BC$
∴ $△ ABE ≌ △ BCF \ (\mathrm{AAS})$
同理可证 $△ BCF ≌ △ CDG ≌ △ DAH$
∴ $△ ABE ≌ △ BCF ≌ △ CDG ≌ △ DAH$
② 由图形拼接关系，正方形ABCD的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间正方形EFGH的面积之和
∴ $S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4S_{△ EAB}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$
---
(2) 内弦图模型结论证明
证明：①
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$
∵ 四边形EFGH是正方形
∴ $EH=EF=FG=GH$，$∠ HEF=90°$
∴ $∠ AHE + ∠ AEH = 90°$，$∠ AEH + ∠ BEF = 180°-∠ HEF=90°$
∴ $∠ AHE = ∠ BEF$
在$△ AHE$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AHE=∠ BEF \\EH=EF\end{cases}$
∴ $△ AHE ≌ △ BEF \ (\mathrm{AAS})$
同理可证 $△ BEF ≌ △ CFG ≌ △ DGH$
∴ $△ AHE ≌ △ BEF ≌ △ CFG ≌ △ DGH$
② 由图形拼接关系，正方形ABCD的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间正方形EFGH的面积之和
∴ $S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4S_{△ EAH}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$
---
(3) 内外弦图组合型结论证明
证明：① 由内弦图模型结论可得$EF=FG=GH=HE$，且$∠ HEF=90°$
∴ 四边形EFGH是正方形
② 由外弦图模型结论可得四个直角三角形$△ HLE、△ EIF、△ FJG、△ GKH$全等，即$HL=EI=FJ=GK$，$LE=IF=JG=KH$
∴ $LI=IJ=JK=KL$，且$∠ LIJ=90°$
∴ 四边形IJKL是正方形
③ 由点H、L、I共线，得$HI=HL+LI$，变形得$LI=HI-HL$
即正方形IJKL的边长为$HI-HL$
④ 由内弦图结论得：$S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{\mathrm{正方形}EFGH}=4S_{△ EAH}$
由外弦图结论得：$S_{\mathrm{正方形}EFGH}-S_{\mathrm{正方形}IJKL}=4S_{△ HLE}$
由组合图的直角三角形全等，得$S_{△ EAH}=S_{△ HLE}$
∴ $S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{\mathrm{正方形}EFGH}=S_{\mathrm{正方形}EFGH}-S_{\mathrm{正方形}IJKL}$
⑤ 将④中等式移项整理，可得$2S_{\mathrm{正方形}EFGH}=S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{\mathrm{正方形}IJKL}$

1. 如图①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在弦图中(如图②),连接AF,DE,并延长DE交AF于点K,连接KG.若$DH=\frac{1}{2}AH=1$,则KG的长为________.

1. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

2. 🀄 | 数学文化 公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将两个“赵爽弦图”(如图①)中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形 $ MNPQ $,记空隙处正方形 $ ABCD $,正方形 $ EFGH $ 的面积分别为 $ S_1,S_2(S_1 ＞ S_2) $,则下列四个结论:① $ S_1 + S_2 = \frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}MNPQ} $;② $ DG = 2AF $;③若 $ ∠ EMH = 30° $,则 $ S_1 = 3S_2 $;④若点 $ A $ 是线段 $ GF $ 的中点,则 $ 3S_1 = 4S_2 $,其中正确的序号是.

2. ①②③