5. 三个边长分别为 $a,b,c$ 的正方形，拼成如图所示的形状，$I,C,A$ 三点共线.

《几何原本》的证法：

5. 如图,过点C作AB的垂线,分别交AB和FE于点D,G.连接BJ,CE,
∵BH=BC,∠HBA=∠CBF=90°+∠CBA,BA=BF,
∴△HBA≌△CBF,
∴AH=FC,S△ABH=S△FBC.
∵四边形BCIH是正方形,四边形BFGD是长方形,
∴S△ABH=1/2S正方形BCIH,S△FBC=1/2×S长方形BFGD,
∴S正方形BCIH=S长方形BFGD=a²,同理可得:△BAJ≌△EAC,
∴S△BAJ=1/2S正方形ACKJ,S△EAC=1/2S长方形AEGD,
∴S正方形ACKJ=S长方形AEGD=b².
∵S长方形BFGD+S长方形AEGD=S正方形ABFE=c²,
∴a²+b²=c².

6. 以$ a,b $为直角边，$ c $为斜边的四个全等的直角三角形，拼成如图所示形状，$ B,F,C $三点共线.

梅文鼎的证法：

6. 如图所示,延长EN交BC于点G,先将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF,△CDF拼成,则S五边形ABCDE=c²+2×1/2ab=c²+ab;再将五边形ABCDE看成是由正方形ABGM,正方形CDNG,△AME,△DEN拼成,则S五边形ABCDE=a²+b²+2×1/2ab=a²+b²+ab,根据面积相等可以得到a²+b²+ab=c²+ab,即a²+b²=c².

7. 以a,b为直角边,c为斜边的两个全等的直角三角形,一个边长为c的正方形,拼成如图所示形状,E,A,C三点共线.

项明达的证法:

7. 如图,过点Q作QP//BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵∠BCA=90°,QP//BC,
∴∠MPC=90°.
∵BM⊥PQ,
∴∠BMP=90°,
∴四边形BCPM是长方形,即∠MBC=90°.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°,∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°,
∴∠QBM=∠ABC.又
∵∠BMQ=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c,
∴△BMQ≌△BCA.同理可证△QNF≌△AEF.从而将问题转化为上一题中的梅文鼎证法,利用两种不同的方法表示出五边形BCEFQ的面积,S=c²+2×1/2ab,S=a²+b²+2×1/2ab,进而利用面积相等得到a²+b²=c².

8. 以a,b为直角边,c为斜边的两个全等的直角三角形,拼成如图所示形状,A,E,C三点共线.

8. 如图,连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a,
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=1/2b²+1/2ab,又由题意可证得∠DAB=90°,
∴S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=1/2c²+1/2a(b-a),
∴1/2b²+1/2ab=1/2c²+1/2a(b-a),
∴a²+b²=c².