1. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-2,4),B(4,1)$,直线$AB$交$x$轴于点$C$,点$C$的坐标为.

1. $(6,0)$

2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,4)$,$B(3,0)$,点$P$在线段$AB$上,若点$P$到$x$轴与$y$轴的距离相等,则点$P$的坐标为________.

2. $(\frac{12}{7},\frac{12}{7})$

3. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-4,0)$,$B(0,2)$,点$P(m,-2m+7)$为第一象限内的一点,若点$P$在直线$AB$上,则$m=$.

3. 2

4. ||改编题 (1)如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,点$C$为线段$AB$的中点,求点$C$的坐标.(证明中点坐标公式)
(2)请利用以上结论解决问题:若点$E(a,b),F(b,a-b)$,线段$EF$的中点$M$恰好位于$y$轴上,且到$x$轴的距离是$3$,则点$E$的坐标为________.

4. (1)如图,过点 A 作 AD//x 轴,过点 B 作 BD//y 轴,与 AD交于点 D. $\because AC = CB, \therefore S_{△ ACD} = S_{△ BCD} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} =\frac{1}{4}(x_2-x_1)(y_2-y_1).\because S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· a=\frac{1}{2}(x_2-x_1)a,\therefore a=\frac{1}{2}(y_2-y_1)$,同理$b=\frac{1}{2}(x_2-x_1),\therefore$ 点 C 横坐标为$x_2-b=\frac{x_1+x_2}{2}$,纵坐标为$y_1+a=\frac{y_1+y_2}{2}$,$\therefore$ 点 C 的坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.

(2)$(6,-6)$或$(-6,6)$ 解析:根据题意得 $M(\frac{a+b}{2},\frac{b+a-b}{2})$,$\because$ 线段 EF 的中点 M 恰好位于 y 轴上,且到 x 轴的距离是 3,$\therefore \begin{cases}\frac{a+b}{2}=0,\\\left|\frac{b+a-b}{2}\right|=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=6,\\b=-6\end{cases}$或$\begin{cases}a=-6,\\b=6,\end{cases}$ $\therefore E(6,-6)$或$(-6,6)$.

5. 已知点$A(0,5)$，$B(4,0)$，点$C$在直线$AB$上，且$BC=3AC$，则点$C$的坐标为________。

5. $(1,\frac{15}{4})$或$(-2,\frac{15}{2})$ 解析:如图,连接 OC,若点 C 在点 A左侧, $\because BC = 3AC, \therefore BC = \frac{3}{2}AB, S_{△ OBC} = \frac{3}{2}S_{△ OAB}$,$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}S_{△ OAB},\therefore \frac{1}{2}OB× y_C=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}× OA× OB,\therefore y_C=\frac{15}{2}$.过 C 作 $CE⊥ y$ 轴于点 E, $\therefore \frac{1}{2}OA× CE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× OB× OA$,$\therefore CE=2.\therefore C(-2,\frac{15}{2})$.若点 C 在点 A 右侧,同理可得 $C(1,\frac{15}{4})$.综上,点 C 的坐标为 $(1,\frac{15}{4})$或$(-2,\frac{15}{2})$.

➡ 进一步挑战进阶专题：PH299专题133

解：
已知平面直角坐标系中，A(-1, 0)，B(0, 2)，点C在坐标轴上，△ABC的面积为2，求点C的坐标。
分两种情况讨论：
1. 点C在x轴上，设C(x, 0)
AC边上的高为点B到x轴的距离，即h=OB=2
由三角形面积公式：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · h = 2$
代入h=2，得$\frac{1}{2} × AC × 2 = 2$，解得AC=2
已知A(-1, 0)，则：
当点C在点A右侧时，$x - (-1) = 2$，得x=1，即C(1, 0)
当点C在点A左侧时，$-1 - x = 2$，得x=-3，即C(-3, 0)
2. 点C在y轴上，设C(0, y)
BC边上的高为点A到y轴的距离，即h=OA=1
由三角形面积公式：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · h = 2$
代入h=1，得$\frac{1}{2} × BC × 1 = 2$，解得BC=4
已知B(0, 2)，则：
当点C在点B上方时，$y - 2 = 4$，得y=6，即C(0, 6)
当点C在点B下方时，$2 - y = 4$，得y=-2，即C(0, -2)
综上，满足条件的点C的坐标为$(1, 0)$、$(-3, 0)$、$(0, 6)$、$(0, -2)$。