3. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,过点 $D$ 分别作 $x$ 轴,$y$ 轴的垂线,分别交 $x$ 轴,$y$ 轴于点 $E,F$.点 $E$,$F$ 在其所在的坐标轴上对应的数都是 $1$.连接 $OD$.
(1)求三角形 $ODF$ 的面积.
(2)$M$ 是 $y$ 轴上一点,连接 $DM$.
①若三角形 $DFM$ 的面积等于三角形 $ODF$ 的面积的一半,求 $M$ 的坐标;
②在①的条件下,若直线 $DM$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $P$,求三角形 $OPM$ 的面积和三角形 $DEP$ 的面积的比值.

3. (1)由题可知 $D(1,1),F(0,1),E(1,0),DE=DF=OE=OF=1$,三角形 $ODF$ 的面积为 $\frac{1}{2}× OF× DF=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}.$
(2)①$\because M$ 是 $y$ 轴上一点,$\therefore$ 三角形 $DFM$ 的面积为 $\frac{1}{2}× DF× MF=\frac{1}{2}×1× MF=\frac{1}{2}MF.$
$\because$ 三角形 $DFM$ 的面积等于三角形 $ODF$ 的面积的一半,三角形 $ODF$ 的面积为 $\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{1}{2}MF=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$,$\therefore MF=\frac{1}{2}.\because F(0,1)$,$M$ 是 $y$ 轴上一点,$\therefore OM=OF-MF=\frac{1}{2}$ 或 $OM=OF+MF=\frac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,\frac{1}{2})$ 或 $(0,\frac{3}{2}).$
②设点 $P$ 的坐标为 $(b,0)$,$\because$ 直线 $DM$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $P$,$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,\frac{3}{2})$,此时点 $P$ 的位置如图所示,
$\therefore OP=b,OM=\frac{3}{2}$,$\therefore$ 三角形 $OPM$ 的面积为 $\frac{1}{2}× OP× OM=\frac{1}{2}× b×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}b$,三角形 $OMD$ 的面积为 $\frac{1}{2}× DF× OM=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$,三角形 $OPD$ 的面积为 $\frac{1}{2}× OP× DE=\frac{1}{2}× b×1=\frac{1}{2}b$,$\because$ 三角形 $OPM$ 的面积=三角形 $OMD$ 的面积+三角形 $OPD$ 的面积,
$\therefore \frac{3}{4}b=\frac{1}{2}b+\frac{3}{4}$,解得 $b=3$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,0)$,$\therefore PE=3-1=2$,$\therefore$ 三角形 $OPM$ 的面积为 $\frac{3}{4}b=\frac{3}{4}×3=\frac{9}{4}$,三角形 $DEP$ 的面积为 $\frac{1}{2}× DE× PE=\frac{1}{2}×1×2=1$,$\therefore$ 三角形 $OPM$ 的面积和三角形 $DEP$ 的面积的比值为 $\frac{9}{4}.$

4. 在平面直角坐标系中，$A(0,a)$，$B(b,a)$，$C(c,0)$，且$|a - 5| + (b - 3)^2 = -\sqrt{c - 8}$。
(1) 请直接写出点$A$，$B$，$C$的坐标。
(2) 如图①，点$D(m,-m+8)$在线段$BC$上，线段$EF // x$轴，$EF=2$，点$E$从点$D$出发沿$x$轴负方向平移。
①当线段$BE$最短时，求三角形$AFO$的面积；
②若$S_{\mathrm{四边形}AFEB} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}OFEC}$，求点$D$的坐标。
(3) 如图②，若点$D(m,n)$是$x$轴上方一点，且$S_{\mathrm{三角形}BDC} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}ABCO}$，求$m$与$n$之间的关系式。
[提示：$(3 - m)(5 - n) = 15 - 3n - 5m + mn$；$(m - 3)(5 - n) = 5m + 3n - 15 - mn]$

$\gg$ 进一步挑战进阶专题·P128 专题 12、P129 专题 13

4. (1)$A(0,5),B(3,5),C(8,0)$ 解析:$\because |a-5|+(b-3)^2=-\sqrt{c-8},\therefore |a-5|+(b-3)^2+\sqrt{c-8}=0.\because |a-5|≥0,(b-3)^2≥0,\sqrt{c-8}≥0,\therefore a=5,b=3,c=8,\therefore$ 坐标分别为$A(0,5),B(3,5),C(8,0).$
(2)①如图①,过点 $B$ 作 $BH⊥ OC$,垂足为点 $H$,交 $DF$ 于点 $Q$,则 $Q$ 为 $(3,-m+8)$,根据垂线段最短,当点 $E$ 与点 $Q$ 重合时,$BE$ 最短,$\therefore x_B=x_E=3.\because EF=2,\therefore x_F=1,\therefore S_{\mathrm{三角形}AFO}=\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}.$
②$\because S_{\mathrm{四边形}AFEB}=\frac{1}{2}(AB+FE)(y_B-y_E),S_{\mathrm{四边形}OFEC}=\frac{1}{2}(OC+FE)·(y_E-y_C),S_{\mathrm{四边形}AFEB}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}OFEC},\therefore (3+2)(5+m-8)=\frac{1}{2}(8+2)(-m+8)$,解得 $m=\frac{11}{2}$,$\therefore -m+8=-\frac{11}{2}+8=\frac{5}{2}$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(\frac{11}{2},\frac{5}{2}).$
(3)如图②,当点 $D$ 在 $BC$ 左侧时,过点 $D$ 作 $DM⊥ OC$,垂足为点 $M$,交 $AB$ 于点 $N$,
$\because S_{\mathrm{四边形}ABCO}=\frac{1}{2}×(3+8)×5=\frac{55}{2}$,$\therefore S_{\mathrm{三角形}BDC}=S_{\mathrm{四边形}NMCB}-S_{\mathrm{三角形}CMD}-S_{\mathrm{三角形}BDN}=\frac{1}{2}×\frac{55}{2}$,$\therefore \frac{1}{2}(3-m+8-m)×5-\frac{1}{2}×(8-m)n-\frac{1}{2}×(3-m)(5-n)=\frac{1}{2}×\frac{55}{2}$,$\therefore m+n=\frac{5}{2}$;
如图③,当点 $D$ 在 $BC$ 右侧时,过点 $D$ 作 $DM⊥ OC$,垂足为点 $M$,交 $AB$ 延长线于点 $N$,
$\therefore S_{\mathrm{三角形}BDC}=S_{\mathrm{四边形}NMCB}-S_{\mathrm{三角形}CMD}-S_{\mathrm{三角形}BDN}=\frac{1}{2}×\frac{55}{2}$,$\therefore \frac{1}{2}(m-3+m-8)×5-\frac{1}{2}×(m-8)n-\frac{1}{2}×(m-3)(5-n)=\frac{1}{2}×\frac{55}{2}$,$\therefore m+n=\frac{27}{2}$.综上分析可知:$m+n=\frac{5}{2}$ 或 $m+n=\frac{27}{2}.$