1. 如图,在平面直角坐标系中,$A(-1,-2)$,$B(-2,-4)$,$C(-4,-1)$.
(1)把$△ ABC$向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后得到$△ A_1B_1C_1$,请画出$△ A_1B_1C_1$,并写出点$A$的对应点的坐标;
(2)$△ A_1B_1C_1$的面积为________;
(3)点$P$在坐标轴上,且$△ A_1B_1P$的面积是2,求点$P$的坐标.

(1) ，点A的对应点$A_1$的坐标为$(0,0)$。
(2) $\dfrac{7}{2}$，解析：$△ A_1 B_1 C_1$的面积为 $3×3-\dfrac{1}{2}×1×3-\dfrac{1}{2}×2×3-\dfrac{1}{2}×1×2=\dfrac{7}{2}$。
(3) 点$A_1$的坐标为$(0,0)$,点$B_1$的坐标为$(-1,-2)$,若点$P$在$x$轴上,设点$P$的坐标为$(m,0)$,则 $S_{△ A_1B_1P}=\dfrac{1}{2}A_1P×2=\dfrac{1}{2}×|m-0|×2=2$,解得 $m=\pm2$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(2,0),(-2,0)$;
若点 $P$ 在 $y$ 轴上,设点 $P$ 的坐标为$(0,n)$,则 $S_{△ A_1B_1P}=\dfrac{1}{2}A_1P×1=\dfrac{1}{2}×|n-0|=2$,解得 $n=\pm4$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$.
综上所述,点 $P$ 坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$或$(0,4)$或$(0,-4)$。

2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B的坐标分别为$A(a,0),B(b,0)$,且$a,b$满足$\sqrt{a+6}+(a+b+2)^2=0$.现将线段AB先向上平移4个单位长度,再向右平移6个单位长度得到线段CD,其中点A的对应点为C,点B的对应点为D,连接AC,BD.
(1)求点A,B,C,D的坐标.
(2)若M是线段AC上的一个动点,N是线段CD上的一个定点,连接MN,MO,当点M在线段AC上移动时(不与点A,C重合),探究$∠DNM,∠OMN,∠MOB$之间的数量关系,并说明理由.
(3)动点P从点O出发,以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向上运动,设运动时间为t秒.问:是否存在这样的t,使得四边形OBDP的面积等于13?若存在,请求出t的值和点P的坐标;若不存在,请说明理由.

5星数学 八上(SK)
类型二 已知两个图形的面积比,求点的坐标

(1) $\because \sqrt{a+6}+(a+b+2)^2=0$,$\therefore a+6=0$,$a+b+2=0$,$\therefore a=-6$,$b=4$,$\therefore A(-6,0)$,$B(4,0)$.$\because$ 线段 $AB$ 先向上平移 4 个单位长度,再向右平移 6 个单位长度得到线段 $CD$,其中点 $A$ 对应点为 $C$,点 $B$ 对应点为 $D$,$\therefore C(0,4)$,$D(10,4)$.
(2) $∠ DNM + ∠ OMN + ∠ MOB = 360°$. 理由如下: ,过点 $M$,作直线 $ME// AB$.
$\therefore ∠ OME + ∠ MOB = 180°$.$\because CD$ 是由 $AB$ 平移得到的,$\therefore AB// CD$,$\therefore ME// CD$,$\therefore ∠ DNM + ∠ NME = 180°$,$\therefore ∠ DNM + ∠ OMN + ∠ MOB = 180°+180°=360°$.
(3) 存在.$\because B(4,0)$,$C(0,4)$,$D(10,4)$,$\therefore OB=4$,$CD=10$,$OC=4$,$\therefore$ 四边形 $OBDC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}(OB+CD)× OC=\dfrac{1}{2}×(4+10)×4=28$.$\because$ 四边形 $OBDP$ 的面积等于 $13＜28$,$\therefore P$ 点在 $C$ 点下方,.
$\because$ 点 $P$ 从点 $O$ 出发,以每秒 0.5 个单位长度的速度沿着 $y$ 轴向上运动,设运动时间为 $t$ 秒,$\therefore OP=0.5t$,$\therefore PC=4-0.5t$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}OBDP}=S_{\mathrm{四边形}OBDC}-S_{\mathrm{三角形}PCD}=28-\dfrac{1}{2}(4-0.5t)×10$,$\therefore 28-\dfrac{1}{2}(4-0.5t)×10=13$,解得 $t=2$,此时 $OP=0.5t=1$,$\therefore P(0,1)$.