1. (2025·海州区期末)如图,在平面直角坐标系中,A 是 x 轴上任意一点,$BC// x$轴,分别交$y=$$\dfrac{9}{x}(x＞0)$,$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象于 C,B 两点,若$△ ABC$的面积是 6,则 k 的值是 （）

A.$-1$
B.$-3$
C.$3$
D.$-5$

1.B

【分析】
这道题的核心是利用反比例函数k的几何意义求解，首先我们可以添加辅助线连接OB、OC，因为BC平行于x轴，所以△ABC和△OBC是同底等高的，二者面积相等，都等于6。接下来把△OBC拆成两个以y轴上的线段为公共底的小直角三角形，分别对应两个反比例函数的k的几何意义：点C在y=9/x（x＞0）上，它和原点、y轴围成的三角形面积是9/2，点B在y=k/x（x＜0）上，对应的围成的三角形面积是|k|/2，两个面积相加就是△OBC的面积，代入数值就能算出|k|，再结合B点所在的第二象限判断k的正负，就能得到k的值了。
【解析】
1. 作辅助线：连接OB、OC，设BC与y轴交于点D。
因为BC//x轴，点A和点O到直线BC的距离相等，因此同底等高的两个三角形面积相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}=6$。
2. 根据反比例函数k的几何意义：
点C在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上，且CD⊥y轴，因此$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$；
点B在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，且BD⊥y轴，因此$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|k|$。
3. 代入面积关系计算：
$S_{△ OBC}=S_{△ OBD}+S_{△ OCD}$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}|k|+\frac{9}{2}=6$
等式两边同乘2得：$|k|+9=12$，解得$|k|=3$。
4. 判断k的符号：
由于$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限，因此$k＜0$，可得$k=-3$。
【答案】B
【知识点】反比例函数k的几何意义，同底等高三角形面积
【点评】本题通过同底等高快速转换三角形面积，无需设点坐标即可直接利用反比例函数的性质求解，避免了复杂的坐标运算，是反比例函数面积类题型的经典考法，需要学生熟练掌握k的几何意义的应用场景。
【难度系数】0.7

2. (2025·海州区期中)如图,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象经过平行四边形$ABCO$的顶点$A$,$OC$在$x$轴上,若点$B$的坐标为$(-1,3)$,平行四边形$ABCO$的面积为$4$,则实数$k$的值为.

2.-7

【分析】
我们先从平行四边形的性质入手，ABCO是平行四边形，因此AB平行且等于OC，已知OC在x轴上，说明AB是水平线段，点B的纵坐标是3，因此点A的纵坐标也为3。接下来利用平行四边形面积公式：平行四边形面积=底×高，这里的高就是OC对应的竖直高度，也就是点B的纵坐标3，已知面积为4，就可以算出底OC的长度。再根据平行四边形对边相等，AB=OC，结合点B的坐标，就能求出点A的横坐标，最后把点A代入反比例函数解析式，即可算出k的值。
【解析】
1. 由平行四边形ABCO的性质可得：$AB// OC$，且$AB=OC$。
因为OC在x轴上，所以AB平行于x轴，点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，已知$B(-1,3)$，因此点A的纵坐标$y_A=3$。
2. 平行四边形面积公式为$S=底×高$，以OC为底时，对应的高就是AB到x轴的竖直距离，即点B的纵坐标3，已知$S=4$，代入得：
$OC× 3=4$，解得$OC=\frac{4}{3}$。
3. 由$AB=OC=\frac{4}{3}$，AB是水平线段，点A在点B左侧，因此点A的横坐标：
$x_A=-1 - AB=-1-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$。
4. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点A，将$A(-\frac{7}{3},3)$代入解析式：
$3=\frac{k}{-\frac{7}{3}}$，解得$k=3×(-\frac{7}{3})=-7$。
【答案】$-7$
【知识点】
平行四边形性质，反比例函数解析式
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查反比例函数系数的求解，解题核心是利用平行四边形面积先求出底边长，再推导点A的坐标，计算过程中注意点A的横坐标为负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6

3. (2025·兰州期末)双曲线 $y_1,y_2$ 在第一象限的图象如图所示,其中 $y_1,y_2$ 的表达式分别为 $y_1=$$\frac{4}{x},y_2=\frac{8}{x}$,过 $y_1$ 图象上的任意一点 $A$,作 $x$ 轴的平行线交 $y_2$ 的图象于点 $B$,交 $y$ 轴于点 $C$,连接 $OA,OB$,则 $△ AOB$ 的面积是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

3.B

【分析】
这道题的核心思路是利用反比例函数系数k的几何意义求解。首先观察图形可知AB平行于x轴，线段AB在水平线上，OC是该水平线到x轴的距离，也就是点A、B的纵坐标值。我们可以先分别计算原点O、点C、点B组成的△OCB的面积，以及原点O、点C、点A组成的△OCA的面积，两个面积的差恰好就是所求的△AOB的面积，无需额外设点坐标就能快速推导结果。
【解析】
根据反比例函数k的几何性质：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点，向坐标轴作垂线，该点与垂足、原点围成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。
1. 由AB//x轴，可得BC⊥y轴，点B在$y_2=\frac{8}{x}$上，因此$S_{△ OCB}=\frac{1}{2}×|8|=4$；
2. 同理，点A在$y_1=\frac{4}{x}$上，AC⊥y轴，因此$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×|4|=2$；
3. 结合图形可得：$S_{△ AOB}=S_{△ OCB}-S_{△ OCA}=4-2=2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数板块非常典型的面积类题型，重点考查对反比例函数系数几何意义的掌握，不需要进行复杂的坐标设值运算，直接通过两个直角三角形的面积差即可得到结果，熟练掌握该性质可以大幅提升这类题目的解题速度。
【难度系数】
0.7

4. (2025·扬州期末)已知反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$和$y=\dfrac{3}{x}$在第一象限内的图象如图所示，则$△ AMN$的面积为.

4.$\frac{25}{16}$

【分析】
这道题的核心是利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于比例系数k的性质解题：首先观察图形可知OABC是矩形，点A在$y=\frac{8}{x}$上，我们可以设点A的坐标为$(a,\frac{8}{a})$，再根据M在竖直线AB上且在$y=\frac{3}{x}$上、N在水平线AC上且在$y=\frac{3}{x}$上，分别求出M、N的坐标，进而得到直角三角形AMN的两条直角边长度，代入面积公式计算时参数a会自动消去，直接得到定值结果。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,\frac{8}{a})$，其中$a＞0$。
由图可知$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，因此点M的横坐标为$a$，点N的纵坐标为$\frac{8}{a}$。
1. 求点M的坐标：
将$x=a$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{a}$，即$M(a,\frac{3}{a})$。
2. 求点N的坐标：
将$y=\frac{8}{a}$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=\frac{3}{\frac{8}{a}}=\frac{3a}{8}$，即$N(\frac{3a}{8},\frac{8}{a})$。
3. 计算直角边长度：
$AN = a - \frac{3a}{8} = \frac{5a}{8}$，
$AM = \frac{8}{a} - \frac{3}{a} = \frac{5}{a}$。
4. 计算三角形面积：
$∠ A$为直角，因此：
$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}· AN · AM = \frac{1}{2} × \frac{5a}{8} × \frac{5}{a} = \frac{25}{16}$。
【答案】
$\frac{25}{16}$
【知识点】
反比例函数k的性质，直角三角形面积
【点评】
本题采用设参数消参的思路，不需要求解参数a的具体数值，利用反比例函数的坐标特征直接消去变量得到面积定值，考察了学生对反比例函数性质的灵活运用，简化了运算过程，是反比例函数面积类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在$x$轴正半轴上依次截取$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n$($n$为正整数),过点$A_1,A_2$,$A_3,\dots,A_n$分别作$x$轴的垂线,与反比例函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$的图象交于点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$,连接$P_1P_2,P_2P_3,\dots,P_{n-1}P_n$,过点$P_2,P_3,\dots,P_n$分别向$P_1A_1,P_2A_2,\dots,P_{n-1}A_{n-1}$作垂线段,构成的一系列直角三角形(图中阴影部分)的面积和是.(用含$n$的代数式表示)

5.$\frac{n-1}{2n}$

【分析】
我们可以先设所有相等的线段$OA_1$、$A_1A_2···$的长度为参数$t$，利用反比例函数$y=\frac{1}{x}$上点的横纵坐标乘积为1的性质，依次求出$P_1$到$P_n$各点的纵坐标。观察每个阴影直角三角形的两条直角边，分别为等长的$t$，以及相邻两个点的纵坐标之差，代入三角形面积公式后会发现参数$t$可以直接消去，得到每个小阴影三角形的面积的通项表达式，最后将所有面积相加，用裂项相消的方法抵消中间项，就能快速得到总面积的结果。
【解析】
解：设$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n = t\ (t＞0)$，
因为点$P_1,P_2,\dots,P_n$在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，因此：
$P_1$的横坐标为$t$，纵坐标为$\frac{1}{t}$；
$P_2$的横坐标为$2t$，纵坐标为$\frac{1}{2t}$；
……
$P_k$的横坐标为$kt$，纵坐标为$\frac{1}{kt}$（$k=1,2,\dots,n$）。
对第1个阴影直角三角形，两条直角边长度分别为$t$和$\frac{1}{t}-\frac{1}{2t}$，因此面积：
$S_1=\frac{1}{2}· t·(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})$
对第2个阴影直角三角形，两条直角边长度分别为$t$和$\frac{1}{2t}-\frac{1}{3t}$，因此面积：
$S_2=\frac{1}{2}· t·(\frac{1}{2t}-\frac{1}{3t})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$
……
以此类推，第$m$个阴影直角三角形的面积为：
$S_m=\frac{1}{2}(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1})\quad (m=1,2,\dots,n-1)$
所有阴影部分的面积总和为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{总}}&=S_1+S_2+\dots+S_{n-1}\\&=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]\\&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})\\&=\frac{n-1}{2n}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{n-1}{2n}$
【知识点】
反比例函数性质，裂项相消求和，三角形面积公式
【点评】
本题是反比例函数结合规律探究的经典题型，通过设参数消元的方式，规避了未知线段长度的干扰，引导学生归纳出每个小阴影三角形的面积通项，再利用裂项相消快速化简求和，有效考察了学生从特殊到一般的归纳推理能力，是反比例函数板块的高频考点题型。
【难度系数】
0.5