6. 两个反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$和$y=\dfrac{k_{2}}{x}(k_{1}＞k_{2}＞0)$在第一象限内的图象如图所示,动点$P$在$y=\dfrac{k_{1}}{x}$的图象上,$PC ⊥ x$轴于点$C$,交$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象于点$A$,$PD ⊥ y$轴于点$D$,交$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象于点$B$.求证:四边形$PAOB$的面积是定值.

6. 证明:
∵动点P在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上,$PC⊥ x$轴于点C,交$y=\frac{k_2}{x}$的图象于点A,$PD⊥ y$轴于点D,交$y=\frac{k_2}{x}$的图象于点B,
$\therefore S_{矩形OCPD}=k_1$,$S_{△ AOC}=S_{△ DBO}=\frac{1}{2}k_2$,
$\therefore S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ AOC}-S_{△ DBO}=k_1-2×\frac{1}{2}k_2=k_1-k_2$,
$\therefore$四边形PAOB的面积是定值.

【分析】
我们要证明四边形PAOB的面积是定值，可借助反比例函数k的几何性质梳理思路：第一步，点P在$y=\frac{k_1}{x}$上，作$PC⊥ x$轴、$PD⊥ y$轴后，围成的矩形OCPD的面积根据反比例函数性质直接等于$k_1$；第二步，点A、B都在$y=\frac{k_2}{x}$上，对应的直角三角形$△ AOC$和$△ ODB$的面积，根据性质都等于$\frac{1}{2}k_2$；第三步，观察图形可知四边形PAOB的面积等于大矩形OCPD的面积减去两个小直角三角形的面积，计算后得到结果为$k_1-k_2$，由于$k_1$、$k_2$都是给定的固定常数，因此该面积为定值，无需设动点坐标即可完成推导。
【解析】
证明：
∵ 动点P在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，$PC ⊥ x$轴，$PD ⊥ y$轴，
∴ 根据反比例函数k的几何意义，矩形OCPD的面积$S_{矩形OCPD}=k_1$。
又
∵ 点A、B都在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，$AC⊥ x$轴，$BD⊥ y$轴，
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}k_2$，$S_{△ DBO}=\frac{1}{2}k_2$。
由图形面积的和差关系可得：
$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ AOC}-S_{△ DBO}$
代入面积值计算得：
$S_{四边形PAOB}=k_1 - \frac{1}{2}k_2 - \frac{1}{2}k_2 = k_1 - k_2$
∵ $k_1$、$k_2$均为已知的固定常数，
∴ 四边形PAOB的面积是定值。
【答案】
四边形PAOB的面积为$k_1-k_2$，是定值，得证。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积割补法
【点评】
本题是反比例函数几何应用的经典基础题型，通过割补法将不规则四边形的面积转化为熟悉的矩形、直角三角形面积的差，无需设点坐标即可快速推导，能有效帮助学生深化对反比例函数k的几何性质的理解，掌握面积转化的解题思路。
【难度系数】
0.7

7. 反比例函数$y_{1}=\dfrac{8}{x},y_{2}=\dfrac{n}{x}(n ＜ 0)$的图象如图所示，$P$为$x$轴上不与原点重合的一个动点，过点$P$作$AB // y$轴，分别与$y_{1}=\dfrac{8}{x},y_{2}=\dfrac{n}{x}$的图象交于$A$，$B$两点.
(1)当$n=-10$时，求$S_{△ OAB}$的值；
(2)延长$BA$到点$D$，使得$DA=AB$，求在点$P$的运动过程中，点$D$所形成的图象的函数表达式.(用含$n$的代数式表示)

7.(1)解:当$n=-10$时,$y_2=-\frac{10}{x}$,
$\therefore S_{△ BOP}=\frac{1}{2}×|-10|=5$.
∵点A在$y=\frac{8}{x}$的图象上,$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×|8|=4$,
$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ BOP}+S_{△ AOP}=5+4=9$.
(2)设$P(m,0)$,则$A(m,\frac{8}{m})$,$B(m,\frac{n}{m})$,
$\therefore AB=\left|\frac{8}{m}-\frac{n}{m}\right|=\left|\frac{8-n}{m}\right|$.
①当$m＞0$时,$AB=\frac{8-n}{m}=AD$,
$\therefore DP=AD+AP=\frac{8-n}{m}+\frac{8}{m}=\frac{16-n}{m}$,$\therefore D(m,\frac{16-n}{m})$.
设$x=m$,$y=\frac{16-n}{m}$,则$xy=16-n$,
$\therefore y=\frac{16-n}{x}$,即点D所形成的图象的函数表达式为$y=\frac{16-n}{x}$;
②当$m＜0$时,$AB=\frac{n-8}{m}$,同理可得$y=\frac{16-n}{x}$.
综上所述,点D所形成的图象的函数表达式为$y=\frac{16-n}{x}$.

【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问求△OAB的面积，我们可以直接利用反比例函数k的几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积等于$\frac{1}{2}|k|$。图中AB平行于y轴，AP⊥x轴，BP⊥x轴，因此△OAB的面积恰好等于△AOP和△BOP的面积之和，代入两个反比例函数的k值就能快速算出结果，不需要额外设点计算。
2. 第二问求动点D的轨迹函数，我们可以先设P点的横坐标为参数m，因为AB平行于y轴，所以A、B两点的横坐标都和P点相同，直接写出A、B的坐标，再根据DA=AB的线段等量关系，推导出D点的横纵坐标用参数m表示的形式，最后消去参数m，就能得到D点横纵坐标满足的函数关系式，同时分m＞0和m＜0两种情况验证，保证结果在所有象限都成立。
【解析】
(1) 当$n=-10$时，$y_2=-\frac{10}{x}$，
根据反比例函数k的几何意义：
点A在$y_1=\frac{8}{x}$上，因此$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×|8|=4$，
点B在$y_2=-\frac{10}{x}$上，因此$S_{△ BOP}=\frac{1}{2}×|-10|=5$，
由图可知$S_{△ OAB}=S_{△ AOP}+S_{△ BOP}=4+5=9$。
(2) 设点P的坐标为$(m,0)$，因为$AB// y$轴，所以A、B的横坐标均为m，
可得$A(m,\frac{8}{m})$，$B(m,\frac{n}{m})$，
因此线段AB的长度为$\left|\frac{8}{m}-\frac{n}{m}\right|=\left|\frac{8-n}{m}\right|$。
① 当$m＞0$时，$\frac{8-n}{m}＞0$，因此$AB=\frac{8-n}{m}$，
由$DA=AB$，可得点D的横坐标为m，纵坐标为$\frac{8}{m}+AB=\frac{8}{m}+\frac{8-n}{m}=\frac{16-n}{m}$，
即D点坐标为$(m,\frac{16-n}{m})$，令$x=m$，$y=\frac{16-n}{m}$，可得$xy=16-n$，即$y=\frac{16-n}{x}$；
② 当$m＜0$时，$\frac{8-n}{m}＜0$，因此$AB=\frac{n-8}{m}$，同理可得D点纵坐标为$\frac{8}{m}-AB=\frac{8}{m}-\frac{n-8}{m}=\frac{16-n}{m}$，同样满足$y=\frac{16-n}{x}$。
综上，点D运动形成的图像的函数表达式为$y=\frac{16-n}{x}$。
【答案】
(1) $S_{△ OAB}=9$；(2) 点D所形成的图象的函数表达式为$y=\frac{16-n}{x}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，动点轨迹求解
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，第一问重点考察对反比例函数k的几何意义的掌握，避免了复杂的坐标运算，能快速得到面积结果；第二问通过引入参数表示点坐标，利用线段等量关系推导动点轨迹，考察了代数消参的思想，分正负情况讨论也能锻炼学生思维的严谨性，整体难度梯度合理，适合巩固反比例函数相关知识点。
【难度系数】
0.6

[已知条件] $P$ 为反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上的一点, $PA ⊥ x$ 轴
[基本结论] $S_{△ POA}=\dfrac{1}{2}|k|$

证明：
设点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵ 点$P$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴ $xy=k$。
∵ $PA ⊥ x$轴，
∴ 点$A$的坐标为$(x,0)$，
可得$OA = |x|$，$PA = |y|$。
∴ $S_{△ POA} = \dfrac{1}{2} · OA · PA = \dfrac{1}{2} · |x| · |y| = \dfrac{1}{2}|xy|$，
将$xy=k$代入，得$S_{△ POA}=\dfrac{1}{2}|k|$。

【分析】
我们要推导反比例函数图象上的点向x轴作垂线，与原点、垂足构成的直角三角形的面积公式，思路如下：
1. 先设出点P的坐标，利用点在反比例函数图象上的性质，得到横纵坐标的乘积等于k；
2. 根据PA垂直x轴的条件，确定垂足A的坐标，将线段OA、PA的长度转化为点P横、纵坐标的绝对值，保证线段长度为非负数；
3. 代入直角三角形的面积公式，把xy替换为k，即可完成推导，全程要注意坐标可正可负，面积必须为正，所以要添加绝对值处理。
【解析】
证明过程如下：
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵ 点P在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴ 代入解析式可得$xy=k$。
∵ $PA ⊥ x$轴，垂足为A，
∴ 点A的横坐标与点P的横坐标相同，纵坐标为0，即A点坐标为$(x,0)$，
因此线段$OA$的长度为横坐标的绝对值：$OA = |x|$，线段$PA$的长度为点P纵坐标的绝对值：$PA = |y|$。
∵ $△ POA$是直角三角形，直角在A点，
∴ $S_{△ POA} = \dfrac{1}{2} · OA · PA = \dfrac{1}{2} · |x| · |y| = \dfrac{1}{2}|xy|$，
将$xy=k$代入上式，最终可得$S_{△ POA}=\dfrac{1}{2}|k|$。
【答案】
证明：设点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵ 点$P$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴ $xy=k$。
∵ $PA ⊥ x$轴，
∴ 点$A$的坐标为$(x,0)$，
可得$OA = |x|$，$PA = |y|$。
∴ $S_{△ POA} = \dfrac{1}{2} · OA · PA = \dfrac{1}{2} · |x| · |y| = \dfrac{1}{2}|xy|$，
将$xy=k$代入，得$S_{△ POA}=\dfrac{1}{2}|k|$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义；坐标转线段长度；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数核心性质的推导证明，是后续所有反比例函数面积类题目的解题基础，推导过程中要注意坐标可正可负，必须通过绝对值保证线段长度、面积的非负性，避免遗漏绝对值符号出现错误，掌握该推导逻辑能加深对反比例函数k的几何意义的理解。
【难度系数】
0.7