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一、选择题(每小题6分,共24分)
1. 反比例函数$y=\frac{a-1}{x}$的图象分布在第二、四象限,则$a$的取值范围是 （
A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a ≤ 1$
D.$a ≥ 1$
1. 反比例函数$y=\frac{a-1}{x}$的图象分布在第二、四象限,则$a$的取值范围是 （
A
）A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a ≤ 1$
D.$a ≥ 1$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题的解题思路很清晰，首先我们要回忆反比例函数的图像分布和比例系数的对应性质：对于标准形式的反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0），当k＞0时图像在一、三象限，当k＜0时图像在二、四象限。接下来我们对应题目给出的函数，找到它的比例系数是$a-1$，题目明确说明图像分布在第二、四象限，所以直接可以列出不等式$a-1＜0$，解这个不等式就能得到a的取值范围，同时要注意反比例函数要求比例系数不能为0，这里a-1＜0天然满足k≠0，不需要额外取等号，最后匹配选项就能得到答案。
【解析】
解：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$），它的图像象限分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图像位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图像位于第二、第四象限。
本题中给出的反比例函数为$y=\frac{a-1}{x}$，对应的比例系数$k=a-1$，已知该函数图像分布在第二、四象限，因此可得不等式：
$a-1 ＜ 0$
解该一元一次不等式，得$a＜1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图像性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，直接考察核心性质的应用，易错点是部分同学会误写不等式带上等号，忽略当a=1时函数不再是反比例函数的隐含要求，只要牢记反比例函数的定义和象限分布规律即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题的解题思路很清晰，首先我们要回忆反比例函数的图像分布和比例系数的对应性质：对于标准形式的反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0），当k＞0时图像在一、三象限，当k＜0时图像在二、四象限。接下来我们对应题目给出的函数，找到它的比例系数是$a-1$，题目明确说明图像分布在第二、四象限，所以直接可以列出不等式$a-1＜0$，解这个不等式就能得到a的取值范围，同时要注意反比例函数要求比例系数不能为0，这里a-1＜0天然满足k≠0，不需要额外取等号，最后匹配选项就能得到答案。
【解析】
解：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$），它的图像象限分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图像位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图像位于第二、第四象限。
本题中给出的反比例函数为$y=\frac{a-1}{x}$，对应的比例系数$k=a-1$，已知该函数图像分布在第二、四象限，因此可得不等式：
$a-1 ＜ 0$
解该一元一次不等式，得$a＜1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图像性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，直接考察核心性质的应用，易错点是部分同学会误写不等式带上等号，忽略当a=1时函数不再是反比例函数的隐含要求，只要牢记反比例函数的定义和象限分布规律即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. (2025·浙江)已知反比例函数$y=\dfrac{-7}{x}$.下列选项正确的是（
A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
C
）A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
2. C
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先要明确解题的核心是利用反比例函数的基础性质判断选项正误。第一步先确定给定反比例函数的比例系数k的值，本题中函数为$y=\dfrac{-7}{x}$，可得k=-7。接下来我们结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质，先根据k的正负判断图象所在的象限，验证A、C选项；再注意反比例函数的增减性有严格的适用前提，必须限定在同一象限内，以此判断B、D两个增减性相关选项的对错，最终选出正确答案。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$：
1. 确定比例系数：由题中函数$y=\dfrac{-7}{x}$，可得$k=-7＜0$。
2. 判断图象分布：根据反比例函数性质，当$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限，因此A选项“图象在第一、三象限”表述错误，C选项表述正确。
3. 判断增减性描述：对于$k＜0$的反比例函数，仅在每个象限内，y随x的增大而增大，不能脱离“同一象限”的前提笼统描述y随x的整体变化趋势，因此B、D的表述均不成立，属于错误选项。
综上，唯一正确的选项是C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，反比例函数图象分布
【点评】
本题属于反比例函数的基础性质考题，最容易出错的地方是忽略反比例函数的增减性仅在各自象限内成立，跨象限的点不满足“y随x增大而增大”的规律，不少同学会误选D选项，解题时要牢记反比例函数增减性的适用前提，结合k的正负对应图象特征判断即可。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们首先要明确解题的核心是利用反比例函数的基础性质判断选项正误。第一步先确定给定反比例函数的比例系数k的值，本题中函数为$y=\dfrac{-7}{x}$，可得k=-7。接下来我们结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质，先根据k的正负判断图象所在的象限，验证A、C选项；再注意反比例函数的增减性有严格的适用前提，必须限定在同一象限内，以此判断B、D两个增减性相关选项的对错，最终选出正确答案。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$：
1. 确定比例系数：由题中函数$y=\dfrac{-7}{x}$，可得$k=-7＜0$。
2. 判断图象分布：根据反比例函数性质，当$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限，因此A选项“图象在第一、三象限”表述错误，C选项表述正确。
3. 判断增减性描述：对于$k＜0$的反比例函数，仅在每个象限内，y随x的增大而增大，不能脱离“同一象限”的前提笼统描述y随x的整体变化趋势，因此B、D的表述均不成立，属于错误选项。
综上，唯一正确的选项是C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，反比例函数图象分布
【点评】
本题属于反比例函数的基础性质考题，最容易出错的地方是忽略反比例函数的增减性仅在各自象限内成立，跨象限的点不满足“y随x增大而增大”的规律，不少同学会误选D选项，解题时要牢记反比例函数增减性的适用前提，结合k的正负对应图象特征判断即可。
【难度系数】
0.8
3. 一次函数 $y=ax+b$ 与反比例函数 $y=\dfrac{ab}{x}$($a,b$ 为常数且均不等于 0) 在同一坐标系内的图象可能是
（
（
D
）答案
3. D
解析
【分析】
这道题的核心是利用一次函数和反比例函数的系数关联来判断图像是否匹配，解题思路如下：1. 先回忆两类函数的图像和系数的对应规律：一次函数y=ax+b中，直线上升则a＞0，直线下降则a＜0；直线与y轴交于正半轴则b＞0，交于负半轴则b＜0。反比例函数y=k/x中，k＞0时图像位于第一、三象限，k＜0时图像位于第二、四象限，本题中k=ab。2. 逐个对选项进行验证：先从选项的一次函数图像推出a、b的符号，计算得到ab的正负，再对比该选项中反比例函数所在象限是否和ab的正负匹配，不符合的直接排除，最终得到正确选项。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A：
从一次函数图像可知，直线斜率为正，即a＞0，直线与y轴交于正半轴，即b＞0，因此ab＞0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＞0，图像应位于第一、三象限，但A中反比例函数位于第二、四象限，二者矛盾，A错误。
2. 验证选项B：
从一次函数图像可知，直线斜率为负，即a＜0，直线与y轴交于正半轴，即b＞0，因此ab＜0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＜0，图像应位于第二、四象限，但B中反比例函数位于第一、三象限，二者矛盾，B错误。
3. 验证选项C：
从一次函数图像可知，直线斜率为正，即a＞0，直线与y轴交于负半轴，即b＜0，因此ab＜0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＜0，图像应位于第二、四象限，但C中反比例函数位于第一、三象限，二者矛盾，C错误。
4. 验证选项D：
从一次函数图像可知，直线斜率为负，即a＜0，直线与y轴交于正半轴，即b＞0，因此ab＜0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＜0，图像位于第二、四象限，和D中的反比例图像完全一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像性质，反比例函数图像性质
【点评】
本题是函数图像共存类的经典题型，不需要计算具体的函数参数值，重点考察学生对一次函数、反比例函数图像与系数符号对应关系的掌握，解题的关键是抓住两个函数的公共参数ab的符号一致性，避免孤立判断两个函数的图像，通过逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用一次函数和反比例函数的系数关联来判断图像是否匹配，解题思路如下：1. 先回忆两类函数的图像和系数的对应规律：一次函数y=ax+b中，直线上升则a＞0，直线下降则a＜0；直线与y轴交于正半轴则b＞0，交于负半轴则b＜0。反比例函数y=k/x中，k＞0时图像位于第一、三象限，k＜0时图像位于第二、四象限，本题中k=ab。2. 逐个对选项进行验证：先从选项的一次函数图像推出a、b的符号，计算得到ab的正负，再对比该选项中反比例函数所在象限是否和ab的正负匹配，不符合的直接排除，最终得到正确选项。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A：
从一次函数图像可知，直线斜率为正，即a＞0，直线与y轴交于正半轴，即b＞0，因此ab＞0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＞0，图像应位于第一、三象限，但A中反比例函数位于第二、四象限，二者矛盾，A错误。
2. 验证选项B：
从一次函数图像可知，直线斜率为负，即a＜0，直线与y轴交于正半轴，即b＞0，因此ab＜0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＜0，图像应位于第二、四象限，但B中反比例函数位于第一、三象限，二者矛盾，B错误。
3. 验证选项C：
从一次函数图像可知，直线斜率为正，即a＞0，直线与y轴交于负半轴，即b＜0，因此ab＜0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＜0，图像应位于第二、四象限，但C中反比例函数位于第一、三象限，二者矛盾，C错误。
4. 验证选项D：
从一次函数图像可知，直线斜率为负，即a＜0，直线与y轴交于正半轴，即b＞0，因此ab＜0。此时反比例函数y=ab/x的k=ab＜0，图像位于第二、四象限，和D中的反比例图像完全一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像性质，反比例函数图像性质
【点评】
本题是函数图像共存类的经典题型，不需要计算具体的函数参数值，重点考察学生对一次函数、反比例函数图像与系数符号对应关系的掌握，解题的关键是抓住两个函数的公共参数ab的符号一致性，避免孤立判断两个函数的图像，通过逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图,矩形$OABC$的顶点$A$,$C$分别在$y$轴,$x$轴的正半轴上,点$D$在$AB$上,且$AD=\dfrac{1}{4}AB$,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点$D$及矩形$OABC$的对称中心$M$,连接$OD$,$OM$,$DM$.若$△ ODM$的面积为$3$,则$k$的值为（
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
C
）A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
4. C
解析
【分析】
这是一道反比例函数与矩形结合的综合题，解题思路如下：首先我们可以设矩形顶点B的坐标为(a,b)，利用矩形的性质，先根据AD=1/4 AB写出点D的坐标，再根据矩形对称中心是对角线中点的性质，写出中心M的坐标；接着利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于k的性质，得到a、b和k的等量关系；最后通过坐标三点面积公式表示出△ODM的面积，结合题目给出的面积为3的条件建立方程，消去参数a、b后就能直接求出k的值，不需要单独计算a和b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：设点B的坐标为(a,b)，由矩形OABC的性质可得：OA=b，OC=a，AB=OC=a，BC=OA=b。
1. 确定点D的坐标：
已知AD=1/4 AB，因此AD=a/4，又因为AB平行于x轴，A点坐标为(0,b)，所以D点坐标为$(\frac{a}{4},b)$。
2. 确定对称中心M的坐标：
矩形的对称中心是对角线OB的中点，因此M点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$。
3. 结合反比例函数性质建立关系：
因为D、M都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，点的横纵坐标乘积等于k：
对D点：$\frac{a}{4} · b =k$，整理得$ab=4k$；
对M点：$\frac{a}{2} · \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}=k$，和上述关系完全一致，验证成立。
4. 计算△ODM的面积求解k：
已知三点O(0,0)、$D(\frac{a}{4},b)$、$M(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，代入原点为顶点的三角形坐标面积公式：
$S_{△ ODM}=\frac{1}{2}\left|x_D y_M - x_M y_D\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{a}{4}· \frac{b}{2} - \frac{a}{2}· b\right|=\frac{3ab}{16}$
题目已知$S_{△ ODM}=3$，代入得：$\frac{3ab}{16}=3$，解得$ab=16$。
结合之前得到的$ab=4k$，可得$4k=16$，即$k=4$。
【答案】C
【知识点】反比例函数k的几何意义，矩形性质，坐标求三角形面积
【点评】本题重点考察反比例函数性质的灵活运用，通过设参数表示点坐标，利用反比例函数的定值性质直接消去参数a、b，避免了复杂的分步计算，属于反比例函数和几何图形结合的典型基础题型，掌握参数代换的思路后很容易求解。
【难度系数】0.6
这是一道反比例函数与矩形结合的综合题，解题思路如下：首先我们可以设矩形顶点B的坐标为(a,b)，利用矩形的性质，先根据AD=1/4 AB写出点D的坐标，再根据矩形对称中心是对角线中点的性质，写出中心M的坐标；接着利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于k的性质，得到a、b和k的等量关系；最后通过坐标三点面积公式表示出△ODM的面积，结合题目给出的面积为3的条件建立方程，消去参数a、b后就能直接求出k的值，不需要单独计算a和b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：设点B的坐标为(a,b)，由矩形OABC的性质可得：OA=b，OC=a，AB=OC=a，BC=OA=b。
1. 确定点D的坐标：
已知AD=1/4 AB，因此AD=a/4，又因为AB平行于x轴，A点坐标为(0,b)，所以D点坐标为$(\frac{a}{4},b)$。
2. 确定对称中心M的坐标：
矩形的对称中心是对角线OB的中点，因此M点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$。
3. 结合反比例函数性质建立关系：
因为D、M都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，点的横纵坐标乘积等于k：
对D点：$\frac{a}{4} · b =k$，整理得$ab=4k$；
对M点：$\frac{a}{2} · \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}=k$，和上述关系完全一致，验证成立。
4. 计算△ODM的面积求解k：
已知三点O(0,0)、$D(\frac{a}{4},b)$、$M(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，代入原点为顶点的三角形坐标面积公式：
$S_{△ ODM}=\frac{1}{2}\left|x_D y_M - x_M y_D\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{a}{4}· \frac{b}{2} - \frac{a}{2}· b\right|=\frac{3ab}{16}$
题目已知$S_{△ ODM}=3$，代入得：$\frac{3ab}{16}=3$，解得$ab=16$。
结合之前得到的$ab=4k$，可得$4k=16$，即$k=4$。
【答案】C
【知识点】反比例函数k的几何意义，矩形性质，坐标求三角形面积
【点评】本题重点考察反比例函数性质的灵活运用，通过设参数表示点坐标，利用反比例函数的定值性质直接消去参数a、b，避免了复杂的分步计算，属于反比例函数和几何图形结合的典型基础题型，掌握参数代换的思路后很容易求解。
【难度系数】0.6
二、填空题(每小题6分,共24分)
5. 直线 $y=-x$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 交于点 $A(2,m)$, 则 $k$ 的值是
5. 直线 $y=-x$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 交于点 $A(2,m)$, 则 $k$ 的值是
$-4$
.答案
5. $-4$
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰，首先已知点A是直线y=-x上的点，我们可以先把点A的横坐标x=2代入直线解析式，求出m的值，得到点A的完整坐标。又因为点A同时在双曲线上，它的坐标必然满足双曲线的解析式，把求出的点A坐标代入反比例函数表达式，就能直接计算出k的值，全程利用“函数图像上的任意一点的坐标都满足对应函数解析式”这个核心性质来解题即可。
【解析】
第一步：求点A的纵坐标m
已知点A(2,m)在直线$y=-x$上，将$x=2$代入直线解析式中，可得：
$m = -2$
因此点A的坐标为$(2, -2)$
第二步：代入双曲线解析式求k
因为点A$(2,-2)$也在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，将$x=2$，$y=-2$代入该式：
$-2 = \dfrac{k}{2}$
两边同乘2解得：$k = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一次函数点坐标特征，反比例函数点坐标特征，待定系数法
【点评】
本题属于反比例函数章节的基础入门题型，考点单一，仅需两次代入求值即可完成求解，计算量很小，需要注意的是代入负数运算时不要搞错符号，避免出现符号类的低级错误。
【难度系数】
0.9
这道题的解题思路非常清晰，首先已知点A是直线y=-x上的点，我们可以先把点A的横坐标x=2代入直线解析式，求出m的值，得到点A的完整坐标。又因为点A同时在双曲线上，它的坐标必然满足双曲线的解析式，把求出的点A坐标代入反比例函数表达式，就能直接计算出k的值，全程利用“函数图像上的任意一点的坐标都满足对应函数解析式”这个核心性质来解题即可。
【解析】
第一步：求点A的纵坐标m
已知点A(2,m)在直线$y=-x$上，将$x=2$代入直线解析式中，可得：
$m = -2$
因此点A的坐标为$(2, -2)$
第二步：代入双曲线解析式求k
因为点A$(2,-2)$也在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，将$x=2$，$y=-2$代入该式：
$-2 = \dfrac{k}{2}$
两边同乘2解得：$k = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一次函数点坐标特征，反比例函数点坐标特征，待定系数法
【点评】
本题属于反比例函数章节的基础入门题型，考点单一，仅需两次代入求值即可完成求解，计算量很小，需要注意的是代入负数运算时不要搞错符号，避免出现符号类的低级错误。
【难度系数】
0.9
6.(2025·徐州)若点$A(6,y_{1}),B(5,y_{2})$都在函数$y=\dfrac{-2}{x}$的图象上,则$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$.(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)
答案
6. $＞$
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用解题思路：第一种是直接将两点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$的具体数值，再直接比较两个数的大小；第二种是结合反比例函数的性质判断，先确定反比例函数的$k$值正负，分析函数的增减性，再判断两个点是否位于同一象限，结合横坐标的大小关系推导纵坐标的大小关系，两种方法都可以快速得到结果。
【解析】
方法一：代入计算法
将$A(6,y_1)$代入$y=\dfrac{-2}{x}$，得$y_1 = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}$；
将$B(5,y_2)$代入$y=\dfrac{-2}{x}$，得$y_2 = \dfrac{-2}{5}$；
比较两个负数的大小：$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}\approx0.33$，$\left|-\dfrac{2}{5}\right|=0.4$，因为$0.33＜0.4$，所以$-\dfrac{1}{3} ＞ -\dfrac{2}{5}$，即$y_1＞y_2$。
方法二：利用反比例函数性质判断
对于函数$y=\dfrac{-2}{x}$，比例系数$k=-2＜0$，因此该函数的图像分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
已知点$A$的横坐标$6＞0$，点$B$的横坐标$5＞0$，因此$A$、$B$两点都位于第四象限，又因为$6＞5$，结合增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数性质，反比例函数点坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，难度较低，既可以通过直接代值计算的方法直观比较大小，也可以利用反比例函数的增减性快速推导，需要注意当$k＜0$时，只有同一象限内的点才满足$y$随$x$增大而增大，本题两个点横坐标均为正，无需跨象限讨论，不容易出错。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用解题思路：第一种是直接将两点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$的具体数值，再直接比较两个数的大小；第二种是结合反比例函数的性质判断，先确定反比例函数的$k$值正负，分析函数的增减性，再判断两个点是否位于同一象限，结合横坐标的大小关系推导纵坐标的大小关系，两种方法都可以快速得到结果。
【解析】
方法一：代入计算法
将$A(6,y_1)$代入$y=\dfrac{-2}{x}$，得$y_1 = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}$；
将$B(5,y_2)$代入$y=\dfrac{-2}{x}$，得$y_2 = \dfrac{-2}{5}$；
比较两个负数的大小：$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}\approx0.33$，$\left|-\dfrac{2}{5}\right|=0.4$，因为$0.33＜0.4$，所以$-\dfrac{1}{3} ＞ -\dfrac{2}{5}$，即$y_1＞y_2$。
方法二：利用反比例函数性质判断
对于函数$y=\dfrac{-2}{x}$，比例系数$k=-2＜0$，因此该函数的图像分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
已知点$A$的横坐标$6＞0$，点$B$的横坐标$5＞0$，因此$A$、$B$两点都位于第四象限，又因为$6＞5$，结合增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数性质，反比例函数点坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，难度较低，既可以通过直接代值计算的方法直观比较大小，也可以利用反比例函数的增减性快速推导，需要注意当$k＜0$时，只有同一象限内的点才满足$y$随$x$增大而增大，本题两个点横坐标均为正，无需跨象限讨论，不容易出错。
【难度系数】
0.9
7. (2025·东海县模拟)若函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象与函数$y=2x-3$的图象相交于点$(a,b)$，则代数式$\dfrac{b}{2a}-\dfrac{2b-2a}{b}$的值为
$\dfrac{3}{4}$
.答案
7. $\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此我们可以将交点$(a,b)$分别代入两个函数表达式，得到关于$a$、$b$的两个等量关系，不需要单独求解出$a$和$b$的具体数值，只需要对所求的代数式进行通分、因式分解变形，再把得到的两个整体等量关系代入计算，就可以快速得到结果，这样可以避免解一元二次方程的繁琐步骤，也能减少计算错误。
【解析】
解：
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{6}{x}$与$y=2x-3$的交点，
∴ 将点代入两个函数解析式可得：
1. 代入反比例函数得：$b=\dfrac{6}{a}$，整理得 $ab=6$；
2. 代入一次函数得：$b=2a-3$，移项整理得 $2a - b = 3$。
对所求代数式进行通分化简：
$\begin{aligned}\dfrac{b}{2a}-\dfrac{2b-2a}{b}&=\dfrac{b^2 - 2a(2b - 2a)}{2ab}\\&=\dfrac{b^2 -4ab +4a^2}{2ab}\\&=\dfrac{(2a - b)^2}{2ab}\end{aligned}$
将$ab=6$，$2a - b=3$代入上式：
$\mathrm{原式}=\dfrac{3^2}{2×6}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
反比例函数性质，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题考察了函数交点的性质和整体代换的数学思想，无需解出$a$、$b$的具体值，通过对所求分式的因式分解变形，直接代入从函数解析式得到的整体关系式即可快速算出结果，简化了计算过程，也降低了出错概率。
【难度系数】
0.6
两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此我们可以将交点$(a,b)$分别代入两个函数表达式，得到关于$a$、$b$的两个等量关系，不需要单独求解出$a$和$b$的具体数值，只需要对所求的代数式进行通分、因式分解变形，再把得到的两个整体等量关系代入计算，就可以快速得到结果，这样可以避免解一元二次方程的繁琐步骤，也能减少计算错误。
【解析】
解：
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{6}{x}$与$y=2x-3$的交点，
∴ 将点代入两个函数解析式可得：
1. 代入反比例函数得：$b=\dfrac{6}{a}$，整理得 $ab=6$；
2. 代入一次函数得：$b=2a-3$，移项整理得 $2a - b = 3$。
对所求代数式进行通分化简：
$\begin{aligned}\dfrac{b}{2a}-\dfrac{2b-2a}{b}&=\dfrac{b^2 - 2a(2b - 2a)}{2ab}\\&=\dfrac{b^2 -4ab +4a^2}{2ab}\\&=\dfrac{(2a - b)^2}{2ab}\end{aligned}$
将$ab=6$，$2a - b=3$代入上式：
$\mathrm{原式}=\dfrac{3^2}{2×6}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
反比例函数性质，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题考察了函数交点的性质和整体代换的数学思想，无需解出$a$、$b$的具体值，通过对所求分式的因式分解变形，直接代入从函数解析式得到的整体关系式即可快速算出结果，简化了计算过程，也降低了出错概率。
【难度系数】
0.6
8. (2025·鼓楼区月考)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的顶点A 的坐标为$(-1,1)$,点 B 在 x 轴正半轴上,点 D 在第三象限的双曲线$y=$$\dfrac{8}{x}$上,过点 C 作$CE// x$轴交双曲线于点 E,则 CE 的长为
第8题图
$\dfrac{23}{5}$
.第8题图
答案
8. $\dfrac{23}{5}$
解析
【分析】
这是正方形与反比例函数结合的坐标几何题，解题思路如下：首先利用正方形邻边垂直且相等的性质，通过向量旋转或者构造一线三垂直全等模型，用设出的点B的参数表示出点D的坐标；接着将点D代入已知双曲线解析式，解出参数得到点B的坐标，进而推导出点C的坐标；最后根据CE平行x轴的特征，得到E点和C点纵坐标相等，代入双曲线求出E点横坐标，用横坐标差值即可算出CE的长度。整个过程不需要复杂计算，核心是利用正方形的等邻边性质快速表示未知点坐标。
【解析】
解：
1. 设点B的坐标为$(t,0)$，其中$t＞0$，已知$A(-1,1)$，可得向量$\overrightarrow{AB}=(t+1,-1)$。
2. 正方形邻边垂直且等长，将向量$\overrightarrow{AB}$绕点A顺时针旋转90°即可得到向量$\overrightarrow{AD}$，根据坐标旋转规则：向量$(x,y)$顺时针旋转90°后为$(y,-x)$，因此$\overrightarrow{AD}=(-1,-(t+1))$。
3. 计算点D的坐标：$D = A + \overrightarrow{AD} = (-1-1,1-(t+1))=(-2,-t)$。
4. 点D在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，代入坐标得：$-t=\frac{8}{-2}$，解得$t=4$。
5. 正方形中$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，代入$t=4$得$\overrightarrow{BC}=(-1,-5)$，因此点C的坐标为$B+\overrightarrow{BC}=(4-1,0-5)=(3,-5)$。
6. 由$CE// x$轴可知，点E的纵坐标等于点C的纵坐标即$y_E=-5$，代入双曲线解析式得$-5=\frac{8}{x_E}$，解得$x_E=-\frac{8}{5}$。
7. 平行于x轴的线段长度等于横坐标之差：$CE=x_C - x_E=3 - (-\frac{8}{5})=\frac{23}{5}$。
【答案】
$\dfrac{23}{5}$
【知识点】
正方形性质，反比例函数点坐标特征，一线三垂直全等
【点评】
本题重点考察正方形性质和反比例函数的结合应用，避开常规设多个未知数的思路，用向量旋转或者全等模型可以快速得到点D的坐标，降低计算复杂度，解题时注意区分各点所在象限，避免坐标符号出错，整体属于中等难度的综合填空题。
【难度系数】
0.3
这是正方形与反比例函数结合的坐标几何题，解题思路如下：首先利用正方形邻边垂直且相等的性质，通过向量旋转或者构造一线三垂直全等模型，用设出的点B的参数表示出点D的坐标；接着将点D代入已知双曲线解析式，解出参数得到点B的坐标，进而推导出点C的坐标；最后根据CE平行x轴的特征，得到E点和C点纵坐标相等，代入双曲线求出E点横坐标，用横坐标差值即可算出CE的长度。整个过程不需要复杂计算，核心是利用正方形的等邻边性质快速表示未知点坐标。
【解析】
解：
1. 设点B的坐标为$(t,0)$，其中$t＞0$，已知$A(-1,1)$，可得向量$\overrightarrow{AB}=(t+1,-1)$。
2. 正方形邻边垂直且等长，将向量$\overrightarrow{AB}$绕点A顺时针旋转90°即可得到向量$\overrightarrow{AD}$，根据坐标旋转规则：向量$(x,y)$顺时针旋转90°后为$(y,-x)$，因此$\overrightarrow{AD}=(-1,-(t+1))$。
3. 计算点D的坐标：$D = A + \overrightarrow{AD} = (-1-1,1-(t+1))=(-2,-t)$。
4. 点D在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，代入坐标得：$-t=\frac{8}{-2}$，解得$t=4$。
5. 正方形中$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，代入$t=4$得$\overrightarrow{BC}=(-1,-5)$，因此点C的坐标为$B+\overrightarrow{BC}=(4-1,0-5)=(3,-5)$。
6. 由$CE// x$轴可知，点E的纵坐标等于点C的纵坐标即$y_E=-5$，代入双曲线解析式得$-5=\frac{8}{x_E}$，解得$x_E=-\frac{8}{5}$。
7. 平行于x轴的线段长度等于横坐标之差：$CE=x_C - x_E=3 - (-\frac{8}{5})=\frac{23}{5}$。
【答案】
$\dfrac{23}{5}$
【知识点】
正方形性质，反比例函数点坐标特征，一线三垂直全等
【点评】
本题重点考察正方形性质和反比例函数的结合应用，避开常规设多个未知数的思路，用向量旋转或者全等模型可以快速得到点D的坐标，降低计算复杂度，解题时注意区分各点所在象限，避免坐标符号出错，整体属于中等难度的综合填空题。
【难度系数】
0.3
