三、解答题(共52分)
9. (25分)已知反比例函数$y=\dfrac{m-3}{x}$($m$为常数,且$m≠3$).
(1)若在其图象的每一个分支上,$y$随$x$的增大而减小,求$m$的取值范围.
(2)若点$A(2,\dfrac{3}{2})$在该反比例函数的图象上.
①求$m$的值;
②当$x＜-1$时,直接写出$y$的取值范围.

9. 解:(1) 由题意,得 $m-3＞0$, 解得 $m＞3$.
(2) ①把 $A(2,\dfrac{3}{2})$ 代入 $y=\dfrac{m-3}{x}$, 得 $m-3=3$,
解得 $m=6$.
②当 $x＜-1$ 时, $y$ 的取值范围为 $-3＜y＜0$.

【分析】
这道题是反比例函数的基础综合题，我们可以分小问逐步思考：
1. 第(1)问，题目说明图象每个分支上y随x增大而减小，直接对应反比例函数的核心性质：当反比例函数y=k/x的比例系数k＞0时，函数在每一个分支上y随x增大而减小，本题的k就是m-3，直接列关于m的不等式求解即可。
2. 第(2)问的①，已知点在函数图象上，根据函数图象上的点的坐标必然满足函数解析式的特点，把点A的横纵坐标代入给定的反比例函数表达式，就能直接解出m的值。
3. 第(2)问的②，先把求出的m代入得到具体的反比例函数解析式，再结合该函数的单调性，先计算x=-1时对应的y值，再结合x＜0时函数图象位于第三象限、y恒为负的特点，就能推导出x＜-1时y的取值范围。
【解析】
(1) 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，若图象的每一个分支上y随x的增大而减小，则比例系数$k＞0$。
本题中反比例函数的比例系数$k=m-3$，因此列不等式：
$m-3＞0$
解得$m＞3$。
(2) ① 已知点$A(2,\dfrac{3}{2})$在函数图象上，将$x=2$，$y=\dfrac{3}{2}$代入$y=\dfrac{m-3}{x}$：
$\dfrac{3}{2}=\dfrac{m-3}{2}$
两边同乘2得：$m-3=3$
解得$m=6$。
② 由①得该反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}$，该函数$k=3＞0$，在第三象限内y随x的增大而减小。
当$x=-1$时，$y=\dfrac{3}{-1}=-3$，当$x＜0$时，函数图象全部位于第三象限，y恒小于0，因此当$x＜-1$时，对应的y的取值范围是$-3＜y＜0$。
【答案】
(1) $m＞3$；(2) ① $m=6$；② $-3＜y＜0$
【知识点】
反比例函数性质，点与函数图象关系，反比例函数取值范围
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，整体难度不高，依次考察了反比例函数的增减性性质、待定系数法求参数、限定自变量范围求函数值范围三个核心考点，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一个分支内成立，求取值范围时要注意对应象限内函数值的符号，避免出现漏掉y＜0的错误。
【难度系数】
0.8

10.(27分)如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx+1(k≠0)$的图象与反比例函数
$y=\dfrac{6}{x}$的图象交于点$A$,$B$,与$y$轴交于点$C$,点$A$的横坐标为$2$.
(1)求$k$的值;
(2)利用图象直接写出$kx+1＜\dfrac{6}{x}$时$x$的取值范围;
(3)如图②,将直线$AB$沿$y$轴向下平移$4$个单位长度,与函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象交于点$D$,与$y$轴交于点$E$,再将函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象沿$AB$平移,使点$A$,$D$分别平移到点$C$,$F$处,求图中阴影部分的面积.

10. 解: (1) $\because$ 点 $A$ 在 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象上,
$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y=\dfrac{6}{2}=3, \therefore A(2,3)$.
将 $(2,3)$ 代入 $y=k x+1$, 得 $k=1$.
(2) 由 (1) 可知一次函数的表达式为 $y=x+1$.
联立 $\begin{cases}y=\dfrac{6}{x}, \\ y=x+1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-3, \\ y=-2.\end{cases}$
根据图象可知不等式的解集为 $x＜-3$ 或 $0＜x＜2$.
(3) 由题意可知 $C(0,1), CE=4$.
如答图, 过点 $C$ 作 $CG ⊥ DE$, 垂足为 $G$.
$\because CE=4, ∠ CEG=45°, \therefore CG=2\sqrt{2}$.
又 $\because A(2,3), C(0,1), \therefore AC=2\sqrt{2}$.
由平移性质可知, 阴影部分的面积就是$□ ACFD$的面积, 即 $2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=8$.

【分析】
我们一步步梳理解题思路：
1. 第(1)问：已知点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}$上且横坐标为2，先代入反比例函数求出A点完整坐标，再将A点代入一次函数解析式，即可直接解出k的值，思路清晰直接。
2. 第(2)问：不等式$kx+1＜\frac{6}{x}$的几何意义是直线图像落在反比例函数图像下方对应的x取值范围，先联立两个函数解析式求出两个交点的横坐标，再结合图像分$x＜0$和$x＞0$两个区间判断，注意反比例函数定义域$x≠0$，避免漏解。
3. 第(3)问：根据平移性质，A平移到C、D平移到F，可得AC和DF平行且相等，阴影部分面积等价于平行四边形ACFD的面积。先计算AC的长度，再求出两条平行线AB和DE之间的距离（即平行四边形的高），用底乘高即可直接算出面积，通过转化思想避开复杂的曲线面积计算。
【解析】
(1) 已知点A在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，且点A的横坐标为2，将$x=2$代入反比例函数解析式：
$y=\dfrac{6}{2}=3$，因此点A的坐标为$(2,3)$。
将$A(2,3)$代入一次函数$y=kx+1$，得：
$3=2k+1$，解得$k=1$。
(2) 由(1)得一次函数的表达式为$y=x+1$，联立一次函数和反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=\dfrac{6}{x} \\ y=x+1\end{cases}$
消去y整理得$x^2+x-6=0$，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3 \\ y=-2\end{cases}$，即两个交点的横坐标分别为2和-3。
结合函数图象，直线$y=x+1$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$下方的部分对应的x取值范围是$x＜-3$或$0＜x＜2$。
(3) 对于一次函数$y=x+1$，令$x=0$得$y=1$，因此点C坐标为$(0,1)$。
直线AB沿y轴向下平移4个单位得到DE，因此$CE=4$，平移后直线DE的解析式为$y=x-3$，两条直线AB和DE的斜率都为1，因此它们与坐标轴的夹角为$45°$。
过点C作$CG⊥ DE$，垂足为G，在直角三角形CEG中，$CE=4$，$∠ CEG=45°$，因此$CG=CE·\sin45°=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，这就是两条平行线AB和DE之间的距离。
已知$A(2,3)$，$C(0,1)$，由两点距离公式得$AC=\sqrt{(2-0)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{2}$。
由平移的性质可知，$AC// DF$且$AC=DF$，因此四边形ACFD是平行四边形，阴影部分的面积等价于平行四边形ACFD的面积，即$S=AC× CG=2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=8$。
【答案】
(1) $k=1$；(2) $x＜-3$或$0＜x＜2$；(3) 阴影部分的面积为8
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，平移的性质
【点评】
本题是梯度分明的函数综合题，前两问侧重基础，考察函数交点求解、数形结合解函数不等式的基本能力；第三问巧妙利用平移性质将不规则阴影面积转化为平行四边形面积，避开复杂运算，重点考察转化思想，部分学生容易因想不到面积转化的思路导致解题受阻。
【难度系数】
0.6