6. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=\dfrac{1}{2}x$ 经过点 $A(m,2)$,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象经过点 $A$ 和点 $B(8,n)$.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)连接 $AB$,$OB$ 求 $△ AOB$ 的面积.

6. 解:(1) $\because$ 直线 $y=\dfrac{1}{2}x$ 经过点 $A(m,2)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}m=2$, 解得 $m=4$, $\therefore A(4,2)$.
$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$,
$\therefore \dfrac{k}{4}=2$, 解得 $k=8$, $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{8}{x}$.
(2) 如答图, 分别过点 $A,B$ 作 $AG ⊥ x$ 轴于点 $G$, $BH ⊥ x$ 轴于点 $H$.

$\because$ 点 $B(8,n)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{8}{x}$ 的图象上,
$\therefore n=1$, $\therefore B(8,1)$.
$\because A(4,2)$,
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOG}+S_{\mathrm{梯形}AGHB}-S_{△ BOH}=\dfrac{1}{2}OG · AG+\dfrac{1}{2}(AG+BH) · GH-\dfrac{1}{2}OH · BH=\dfrac{1}{2} × 4 × 2+\dfrac{1}{2}(2+1) × 4-\dfrac{1}{2} × 8 × 1=4+6-4=6$.

【分析】
解题思路分两步梳理：
1. 第一问求反比例函数表达式：已知点A在直线$y=\dfrac{1}{2}x$上，将A点的纵坐标2代入直线解析式，就能求出横坐标m，得到点A的完整坐标；再把A点坐标代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，即可求出k值，得到反比例函数表达式。
2. 第二问求$△ AOB$的面积：直接找$△ AOB$的底和高计算比较繁琐，因此采用割补法：分别过A、B作x轴的垂线，将$△ AOB$的面积转化为$△ AOG$的面积加上梯形AGHB的面积，再减去$△ BOH$的面积，先把点B代入已经求出的反比例函数得到B点完整坐标，代入对应线段长度即可快速算出结果。
【解析】
(1) 已知直线$y=\dfrac{1}{2}x$经过点$A(m,2)$，将$y=2$代入直线解析式：
$\dfrac{1}{2}m=2$
解得$m=4$，因此点A的坐标为$A(4,2)$。
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$经过点A，将$A(4,2)$代入反比例解析式：
$2=\dfrac{k}{4}$
解得$k=8$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
(2) 分别过点$A,B$作$AG ⊥ x$轴于点$G$, $BH ⊥ x$轴于点$H$。
已知点$B(8,n)$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象上，将$x=8$代入解析式：
$n=\dfrac{8}{8}=1$
因此点B的坐标为$B(8,1)$。
结合$A(4,2)$，可得对应线段长度：$OG=4$，$AG=2$，$GH=8-4=4$，$BH=1$，$OH=8$。
利用面积割补关系计算：
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOG}+S_{\mathrm{梯形}AGHB}-S_{△ BOH}\\&=\dfrac{1}{2}OG · AG+\dfrac{1}{2}(AG+BH) · GH-\dfrac{1}{2}OH · BH\\&=\dfrac{1}{2} × 4 × 2+\dfrac{1}{2}(2+1) × 4-\dfrac{1}{2} × 8 × 1\\&=4+6-4\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$；
(2) $△ AOB$的面积为6。

【知识点】
一次函数点坐标性质，反比例函数解析式求解，割补法求坐标系内三角形面积
【点评】
本题是反比例函数的基础常规考题，第一问直接考察函数图像上的点满足函数解析式的基本性质，难度较低；第二问的割补法是平面直角坐标系中求斜置三角形面积的经典技巧，避免了直接求三角形高的复杂运算，学生需要掌握这类水平/竖直方向作辅助线转化面积的思路，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

7. 已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数,且当 $x=4$ 时,$y=-1$.
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；
(2)当 $-3 ≤ x ≤ -\dfrac{1}{2}$ 时,求 $y$ 的取值范围；
(3)当 $x＞1$ 时,求 $y$ 的取值范围.

7. 解:(1)设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$,
$\because$ 当 $x=4$ 时, $y=-1$, $\therefore k=-1 × 4=-4$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{4}{x}$.
(2)当 $-3 ≤ x ≤ -\dfrac{1}{2}$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大.
当 $x=-3$ 时, $y=\dfrac{4}{3}$; 当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 时, $y=8$,
$\therefore$ 当 $-3 ≤ x ≤ -\dfrac{1}{2}$ 时, $y$ 的取值范围是 $\dfrac{4}{3} ≤ y ≤ 8$.
(3) $\because k=-4$, $\therefore$ 在图象的每一个分支上, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 又 $\because$ 当 $x=1$ 时, $y=-4$,
$\therefore$ 当 $x＞1$ 时, $y$ 的取值范围是 $-4＜y＜0$.

【分析】
这是一道反比例函数的基础综合题，我们可以按逻辑分步思考：
1. 第一问求函数表达式：已知是反比例函数，直接用待定系数法，先设出反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$，再把题目给出的$x=4$、$y=-1$代入，就能算出常数$k$的值，直接得到函数表达式。
2. 第二问求$x\in[-3,-\frac{1}{2}]$时的$y$范围：先判断该反比例函数的$k$为负数，在$x＜0$的象限分支上，$y$随$x$的增大而增大，给定的$x$区间全部是负数，属于同一个单调分支，只需要把区间两个端点的$x$值代入解析式算出对应$y$值，结合单调性就能得到$y$的取值范围。
3. 第三问求$x＞1$时的$y$范围：$x＞1$全部是正数，对应反比例函数第四象限的分支，$k$为负时该分支上$y$随$x$增大而增大，先算出$x=1$对应的$y$值，再结合$x$趋近于正无穷时$y$无限趋近于0、且第四象限的$y$恒小于0，就能得到最终的$y$范围。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x} \ (k≠0)$，
将$x=4$，$y=-1$代入表达式得：$-1=\dfrac{k}{4}$，
解得 $k=-1×4=-4$，
因此$y$与$x$的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{x}$。
(2) 由$k=-4＜0$可知，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，
已知给定区间$-3 ≤ x ≤ -\dfrac{1}{2}$全部属于$x＜0$的范围，
将$x=-3$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{-3}=\dfrac{4}{3}$；
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{-\dfrac{1}{2}}=8$，
结合单调性可得$y$的取值范围是$\dfrac{4}{3} ≤ y ≤ 8$。
(3) 由$k=-4＜0$可知，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，且该分支上所有$y$值都小于0，
将$x=1$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$y=-\dfrac{4}{1}=-4$，
当$x＞1$时，函数值从$x=1$对应的$-4$开始递增，无限趋近于0但始终小于0，
因此$y$的取值范围是$-4＜y＜0$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{x}$；(2) $\dfrac{4}{3} ≤ y ≤ 8$；(3) $-4＜y＜0$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数增减性
反比例函数取值范围求解
【点评】
本题属于反比例函数的常规基础题型，核心考察待定系数法的基本用法和反比例函数单调性的实际应用，解题时需要注意区分$k$的正负对应的增减性差异，同时要确认自变量所在区间是否属于反比例函数的同一个分支，避免跨分支判断单调性出错，第三问要注意$x＞1$时$y$不可能等于0，边界的等号不能取到。
【难度系数】
0.7

8. 如图,一次函数 $y_1=ax+b$ 与反比例函数 $y_2=\dfrac{k}{x}$ 的图象相交于 $A(1,6),B(6,1)$ 两点.
(1)求一次函数 $y_1$ 与反比例函数 $y_2$ 的表达式;
(2)当 $y_1＞y_2$ 时,直接写出自变量 $x$ 的取值范围为;
(3)在平面内存在点 $P$,使得点 $A,B$ 关于点 $P$ 成中心对称的点恰好落在坐标轴上,请直接写出点 $P$ 的坐标为.

8. (1) 解: 将 $A(1,6)$, $B(6,1)$ 代入 $y_1=ax+b$,
得 $\begin{cases} a+b=6,\\ 6a+b=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-1,\\ b=7, \end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y_1=-x+7$.
将 $A(1,6)$ 代入 $y_2=\dfrac{k}{x}$, 得 $k=1 × 6=6$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y_2=\dfrac{6}{x}$.
(2) $1＜x＜6$ 或 $x＜0$
(3) $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ 或 $(3,3)$

【分析】
这道题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问求两个函数的表达式，用待定系数法即可：已知一次函数经过A、B两个点，把两点坐标代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，解出a、b的值就能得到一次函数表达式；反比例函数只需要代入任意一个已知点求出k值即可。
2. 第(2)问找$y_1＞y_2$的自变量范围，用数形结合的思路，直接观察图像，找到一次函数图像在反比例函数图像上方的所有x的区间，注意不要漏掉反比例函数第三象限分支对应的x＜0的部分。
3. 第(3)问利用中心对称的性质：点P是A点和它的对称点的中点，同时也是B点和它的对称点的中点，两个对称点分别落在坐标轴上，分两种情况讨论对称点的位置，即可算出P的坐标。
【解析】
(1) 求一次函数表达式：
将$A(1,6)$，$B(6,1)$代入$y_1=ax+b$，得到方程组：
$\begin{cases} a+b=6\\ 6a+b=1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5a=-5$，解得$a=-1$，把$a=-1$代入$a+b=6$，得$b=7$，因此一次函数表达式为$y_1=-x+7$。
求反比例函数表达式：
将$A(1,6)$代入$y_2=\dfrac{k}{x}$，得$k=1×6=6$，因此反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{6}{x}$。
(2) 观察图像：
在x＞0区域，一次函数在反比例函数上方的部分对应x的范围是$1＜x＜6$；
在x＜0区域，反比例函数值为负数，一次函数$y=-x+7$的y值恒大于7，显然满足$y_1＞y_2$，因此x的取值范围是$1＜x＜6$或$x＜0$。
(3) 根据中心对称的中点性质分情况计算：
情况1：A的对称点落在x轴，B的对称点落在y轴，由中点坐标公式可算出P点坐标为$(3,3)$；
情况2：A的对称点落在y轴，B的对称点落在x轴，由中点坐标公式可算出P点坐标为$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$。
【答案】
(1) $y_1=-x+7$，$y_2=\dfrac{6}{x}$；(2) $1＜x＜6$或$x＜0$；(3) $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$或$(3,3)$
【知识点】
待定系数法求函数解析式；函数与不等式；中心对称性质
【点评】
本题属于中档综合题，结合了一次函数、反比例函数的核心考点，既考察了基础的待定系数法运算，也考察了数形结合的思想，第三问结合中心对称的中点性质进行分类讨论，容易出现漏解的情况，需要学生全面考虑对称点的不同位置组合。
【难度系数】
0.6