7 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,以点A为圆心,$\frac{1}{2}AD$的长为半径作$\odot A$,P是$\odot A$上的一个动点,连结CP交BD于点Q,则$\frac{PQ}{CQ}$的最小值是.

7. $\frac{4-\sqrt{5}}{4}$ 解析:过点P作$PG ⊥ BD$于点G,过点C作$CH ⊥ BD$于点H,则$∠ PGQ=∠ CHQ=90°$. 又因为$∠ PQG=∠ CQH$,所以$△ PGQ ∽ △ CHQ$. 所以$\frac{PQ}{CQ}=\frac{PG}{CH}$. 因为四边形ABCD是矩形,所以$AD=BC=2$,$CD=AB=4$,$∠ BCD=90°$. 所以$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2\sqrt{5}$. 因为$CH ⊥ BD$,所以$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC · CD=\frac{1}{2}BD · CH$. 所以$CH=\frac{BC · CD}{BD}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,为定值.所以当PG的长最小时,$\frac{PG}{CH}$有最小值,即$\frac{PQ}{CQ}$有最小值. 如图,当点P在线段AG上时,PG的长最小. 因为易知$AP=\frac{1}{2}AD=1$,$AG=CH=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,所以$PG=\frac{4\sqrt{5}}{5}-1$. 所以$\frac{PQ}{CQ}=\frac{PG}{CH}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}-1}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}=\frac{4-\sqrt{5}}{4}$。

8 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.已知点 A,O,C 在格点上，点 B 在网格线上，且点 A,B 在 ⊙O 上，∠ACB=90°.请用无刻度的直尺按要求作图：作出 ⊙O 的内接三角形 △ADE，使得 △ADE∽△ABC，且点 E 在优弧 AB 上.

如图,$△ ADE$即为所求。

9 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的$\odot O$与BC交于点D,连结AD.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作图:作出劣弧AD的中点E(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,连结BE交AD于点F,连结AE,求证:$△ BFD ∽ △ AFE$.

(1) 如图,点E为所求作。
(2) 如图②,因为AB是直径,所以$∠ BDF=∠ AEF=90°$. 因为$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{DE}$,所以$∠ DBF=∠ EAF$.所以$△ BFD ∽ △ AFE$

10【综合与实践】
如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连结CD。过点D作CD的垂线，交AC于点E。观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法。
（1）圆圆说：“$∠ ADE=∠ ACD$。”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由。
（2）方方说：“$AD^2=AE· AC$。”请你证明方方的结论。
（3）小明说：“若$CD=2DE$，则$CE=3AE$。”你认为小明的说法正确吗？请说明理由。

(1) 圆圆的说法正确 理由:由作图可知$BD=BC$,所以$∠ BDC=∠ BCD$. 因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ ACD+∠ BCD=90°$.因为$DE ⊥ CD$,所以$∠ CDE=90°$.所以$∠ BDC+∠ ADE=90°$.所以$∠ ADE=∠ ACD$
(2) 因为$∠ A=∠ A$,$∠ ADE=∠ ACD$,所以$△ ADE ∽ △ ACD$. 所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$. 所以$AD^2=AE · AC$
(3) 小明的说法正确 理由:因为$△ ADE ∽ △ ACD$,所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{DE}{CD}$. 因为$CD=2DE$,所以$AC=2AD$,$AD=2AE$. 所以$AC=4AE$.因为$AC=AE+CE$,所以$CE=3AE$