1 如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，点 C 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上，$CD ⊥ AB$ 于点 D. 若 $AD=2$，$CD=4$，则 AB 的长为 （）

A.8
B.10
C.4
D.5

1. B

2 如图，$△ ACD$ 是圆的内接三角形，$B$ 是圆上一点，连结 $AB$，$BD$，$BD$ 与 $AC$ 交于点 $E$，且满足 $AB=AC$，$∠ BAC=∠ CAD$。若 $CD=4$，$AD=6$，则 $CE=$ 。

2. 2

3 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以点C为圆心，AC长为半径的圆与AB交于点D，与BC交于点E，连结DE，$AD=DE$。
（1）求$∠ BDE$的度数；
（2）若$AC=4$，$BD=3\sqrt{5}$，求BE的长。

(1) 连结CD.因为$AD=DE$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{ED}$.所以$∠ ACD=∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2} × 90°=45°$. 因为$CA=CD$,所以$∠ ADC=∠ A=\frac{1}{2}(180°-∠ ACD)=\frac{1}{2} × (180°-45°)=67.5°$. 同理,可得$∠ CDE=67.5°$,所以$∠ ADE=67.5°+67.5°=135°$. 所以$∠ BDE=180°-∠ ADE=45°$
(2) 因为$∠ BDE=∠ BCD=45°$,$∠ B=∠ B$,所以$△ BDE ∽ △ BCD$. 所以$\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BC}$. 设$BE=x$,则$\frac{x}{3\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{x+4}$,解得$x=5$(负值舍去).经检验,$x=5$是分式方程的解,且符合题意,所以$BE$的长为5

4 如图,AB 是半圆O的直径,点 C 在半圆上,过点 C 作CD⊥AB于点 D,P 是$\overset{\frown}{BC}$上一点(不与点 B,C 重合),连结 AP,CP,AP 与 CD 的相交于点 M,CQ （第4题）
平分∠PCD,交 MP 于点 Q.若$\frac{PQ}{MQ}=\frac{7}{4}$,则$\frac{PQ}{AM}$的值为

4. $\frac{21}{16}$ 解析:如图,将$\odot O$补全,延长CD交$\odot O$于点H,连结AC.因为$CD ⊥ AB$,AB是$\odot O$的直径,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AH}$.所以$∠ ACH=∠ APC$.因为CQ平分$∠ PCD$,所以$∠ DCQ=∠ PCQ$. 所以$∠ ACH+∠ DCQ=∠ PCQ+∠ APC$. 所以$∠ ACQ=∠ AQC$.所以$AC=AQ$. 设$AM=x$,$PQ=7y$,$MQ=4y$,则$AP=AM+MQ+PQ=x+11y$,$AC=AQ=x+4y$. 因为$∠ CAM=∠ PAC$,所以$△ ACM ∽ △ APC$. 所以$\frac{AC}{AP}=\frac{AM}{AC}$. 所以$\frac{x+4y}{x+11y}=\frac{x}{x+4y}$. 所以$x^2+8xy+16y^2=x^2+11xy$. 所以$16y^2=3xy$.因为$y＞0$,所以$x=\frac{16}{3}y$.所以$\frac{PQ}{AM}=\frac{7y}{\frac{16}{3}y}=\frac{21}{16}$。

5 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD平分$∠ ABC$,交AC于点M.求证:$AD^2 = DM · DB$.

因为BD平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ CBD$. 所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$. 所以$∠ DAM=∠ DBA$. 因为$∠ ADM=∠ BDA$,所以$△ ADM ∽ △ BDA$.所以$\frac{AD}{BD}=\frac{DM}{DA}$.所以$AD^2 = DM · DB$

6 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$在$BC$边上,$\odot O$是$△ ACD$的外接圆,交$AB$于点$E$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$,过点$C$作$CG⊥ AD$于点$G$,延长$CG$交$AB$于点$F$.求证:
(1) $∠ FAC=∠ ACG$;
(2) $\frac{GC}{CA}=\frac{AG}{BC}$.

(1) 连结CE.因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ FAC=90°-∠ B$. 因为$CG ⊥ AD$,所以$∠ ACG=90°-∠ DAC$. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$,所以$∠ EAC=∠ CEA$. 所以$∠ EAD+∠ DAC=∠ B+∠ ECB$. 因为$∠ EAD=∠ ECB$,所以$∠ DAC=∠ B$. 所以$∠ FAC=∠ ACG$
(2) 因为$CG ⊥ AD$,所以$∠ CGA=90°$.因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ CGA=∠ ACB$.又因为$∠ GAC=∠ B$,所以$△ AGC ∽ △ BCA$. 所以$\frac{GC}{CA}=\frac{AG}{BC}$