1.如图,下列说法错误的是 ()


A.如图1,线段AD,BC相交于点O,若$AO=DO$,$BO=CO$,则$△ AOB≌ △ DOC$
B.如图2,若$AC=AD$,$BC=BD$,则$△ ABC≌ △ ABD$
C.如图3,线段AC,BD相交于点E,若$AB=DC$,$BE=CE$,则$△ ABE≌ △ DCE$
D.如图4,若$∠ CAB=∠ DBA$,$∠ 1=∠ 2$,则$△ ABC≌ △ BAD$

1.C A.由“SAS”可证△AOB≌△DOC;B.由“SSS”可证△ABC≌△ABD;C.无法得到△ABE≌△DCE;D.由“ASA”可证△ABC≌△BAD.故选C.

2.「2026上海杨浦期末」如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD。若∠AFD=140°，则∠EDF=°。

2.答案 50
解析
∵ DE ⊥ AB, DF ⊥ BC,
∴ ∠DEB = ∠FDC = ∠FDB=90°,在Rt△BDE 和 Rt△CFD 中,$\begin{cases} BD=CF, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CFD(HL),
∴ ∠BDE=∠CFD,
∵ ∠AFD=140°,
∴ ∠BDE=∠CFD=40°,
∴ ∠EDF=∠FDB-∠BDE=90°-40°=50°.

3.「2026安徽合肥期末」如图,在$△ ABC$中,D是边AB上一点,E是边AC的中点,作$CF// AB$,交DE的延长线于点F.
(1)求证:$△ ADE≌△ CFE$.
(2)若$AB=AC$,$CE=10$,$CF=14$,求DB的长.

3.解析 (1)证明:
∵ $CF// AB$,
∴ ∠A=∠ECF,
∵ E是边AC的中点,
∴ AE=CE,
在△ADE 和△CFE 中,$\begin{cases} ∠A=∠ECF, \\ AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CFE(ASA).
(2)
∵ △ADE≌△CFE,
∴ AD=CF=14,
∵ E是边AC的中点,CE = 10,
∴ AB=AC=2CE=20,
∴ DB=AB-AD=20-14=6.

4.「2026天津河北期末」如图,已知点$P(6m-4,3m-1)$在第一象限角平分线$OC$上,若$∠APB=90°$,角两边与$x$轴,$y$轴分别交于$A$点,$B$点,则$OA+OB$等于

()

A.1
B.2
C.3
D.4

4.D 如图,过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为D,E,则∠PDA=∠PEB=90°,
∵ OC是第一象限的角平分线,
∴ PE=PD,
∴ 6m-4=3m-1,解得m=1,
∴ P(2,2),即OD=OE=2,
∵ ∠EPB+∠BPD=90°=∠DPA+∠BPD,
∴ ∠EPB=∠DPA,
∴ △PDA≌△PEB(ASA),
∴ DA=BE,
∴ OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2+2=4.故选D.

5.如图,在四边形ABCD中,AD⊥DC,BE⊥DC,交DC的延长线于点E,BC平分∠ABE,C为DE的中点,若∠ABE=60°,则∠CAD的度数为.

5.答案 60°
解析 如图,过点C作CF⊥AB于点F,
∵ BC平分∠ABE,BE⊥DC,CF⊥AB,
∴ CE=CF,
∵ C为DE的中点,
∴ CD=CE,
∴ CD=CF,
∵ CF⊥AB,AD⊥DC,
∴ AC平分∠DAF,
∵ AD⊥DC,BE⊥DC,
∴ AD//BE,
∵ ∠ABE=60°,
∴ ∠DAF=120°,
∴ ∠CAD=60°.

6.「2026湖北武汉期末」如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ACN$的平分线交于点D，过点D作$DE ⊥ BN$于E，连接AD。
(1)求证:AD平分$∠ MAC$。
(2)若$△ ABC$的周长为20，求BE的长。

6.解析 (1)证明:如图,过点D作DP⊥BM于点P,DQ⊥AC于点Q,
∵ DE ⊥ BN, BD 平分∠ABC, CD 平分∠ACN,
∴ DP=DE,DQ=DE,
∴ DP=DQ,
∵ DP⊥BM,DQ⊥AC,
∴ AD平分∠MAC.
(2)由(1)可知,DP=DQ,
在Rt△ADP 和 Rt△ADQ 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DP=DQ, \end{cases}$
∴ Rt△ADP≌Rt△ADQ(HL),
∴ AP=AQ,
同理可得BP=BE,CQ=CE,
∵ △ABC的周长为20,
∴ AB+BC+AC=20,
∴ AB+BC+AQ+CQ=20,
∴ AB+BC+AP+CE=20,
∵ AB+AP=BC+CE,
∴ BC+CE=20÷2=10,即BE的长为10.