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18 已知$\sqrt{2a -1}=3$，$3a -b +1$的平方根是$\pm4$，$c$是$\sqrt{113}$的整数部分，求$a +2b +2c$的平方根。
答案
18.$\pm5$
解析
【分析】
解题思路是先根据已知条件分别求出a、b、c三个未知量的值，再代入计算a+2b+2c的结果，最后求其平方根。第一步，根据算术平方根的定义，对$\sqrt{2a -1}=3$两边平方即可求出a；第二步，根据平方根的定义，可知$3a -b +1$等于$(\pm4)^2$，代入已求的a值就能算出b；第三步，估算$\sqrt{113}$的大小，找到其介于哪两个相邻整数之间，得到整数部分c；最后代入代数式计算后求平方根即可。
【解析】
1. 求a的值：
已知$\sqrt{2a -1}=3$，根据算术平方根的性质，两边同时平方得：
$2a - 1 = 3^2 = 9$
解得：$2a = 10$，即$a=5$。
2. 求b的值：
已知$3a -b +1$的平方根是$\pm4$，根据平方根的定义可得：
$3a - b + 1 = (\pm4)^2 = 16$
把$a=5$代入上式：
$3×5 - b + 1 = 16$
$16 - b = 16$
解得：$b=0$。
3. 求c的值：
因为$10^2=100$，$11^2=121$，且$100 ＜ 113 ＜ 121$，所以$10 ＜ \sqrt{113} ＜ 11$，即$\sqrt{113}$的整数部分$c=10$。
4. 计算$a + 2b + 2c$的平方根：
把$a=5$、$b=0$、$c=10$代入代数式得：
$a + 2b + 2c = 5 + 2×0 + 2×10 = 25$
因为25的平方根是$\pm\sqrt{25}=\pm5$，所以$a + 2b + 2c$的平方根是$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
平方根的定义、算术平方根的性质、无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平方根和算术平方根的区别与联系，以及无理数的估算方法，解题时注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解负的平方根。
【难度系数】
0.7
解题思路是先根据已知条件分别求出a、b、c三个未知量的值，再代入计算a+2b+2c的结果，最后求其平方根。第一步，根据算术平方根的定义，对$\sqrt{2a -1}=3$两边平方即可求出a；第二步，根据平方根的定义，可知$3a -b +1$等于$(\pm4)^2$，代入已求的a值就能算出b；第三步，估算$\sqrt{113}$的大小，找到其介于哪两个相邻整数之间，得到整数部分c；最后代入代数式计算后求平方根即可。
【解析】
1. 求a的值：
已知$\sqrt{2a -1}=3$，根据算术平方根的性质，两边同时平方得：
$2a - 1 = 3^2 = 9$
解得：$2a = 10$，即$a=5$。
2. 求b的值：
已知$3a -b +1$的平方根是$\pm4$，根据平方根的定义可得：
$3a - b + 1 = (\pm4)^2 = 16$
把$a=5$代入上式：
$3×5 - b + 1 = 16$
$16 - b = 16$
解得：$b=0$。
3. 求c的值：
因为$10^2=100$，$11^2=121$，且$100 ＜ 113 ＜ 121$，所以$10 ＜ \sqrt{113} ＜ 11$，即$\sqrt{113}$的整数部分$c=10$。
4. 计算$a + 2b + 2c$的平方根：
把$a=5$、$b=0$、$c=10$代入代数式得：
$a + 2b + 2c = 5 + 2×0 + 2×10 = 25$
因为25的平方根是$\pm\sqrt{25}=\pm5$，所以$a + 2b + 2c$的平方根是$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
平方根的定义、算术平方根的性质、无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平方根和算术平方根的区别与联系，以及无理数的估算方法，解题时注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解负的平方根。
【难度系数】
0.7
19 如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合。
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是
（2）把圆片沿数轴一个方向滚动2周，点Q到达数轴上点B的位置，点B表示的数是
（3）将圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，5次滚动情况记录如下：+2，-1，+3，-6，-1。
① 第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
② 当圆片结束运动时，求点Q运动的总路程，以及此时点Q所表示的数。
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是
无理
数（填“无理”或“有理”），这个数是$2π$
；（2）把圆片沿数轴一个方向滚动2周，点Q到达数轴上点B的位置，点B表示的数是
$4π$或$-4π$
；（3）将圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，5次滚动情况记录如下：+2，-1，+3，-6，-1。
① 第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
② 当圆片结束运动时，求点Q运动的总路程，以及此时点Q所表示的数。
答案
19.（1）无理，$2π$ （2）$4π$或$-4π$ （3）①第2次滚动后，Q点距离原点最近，第3次滚动后，Q点距离原点最远。②因为$|+2|+|-1|+|+3|+|-6|+|-1|=13$，所以点Q运动的总路程为$13×2π=26π$。因为$(+2)+(-1)+(+3)+(-6)+(-1)=-3$，$(-3)×2π=-6π$，所以此时点Q所表示的数是$-6π$。
解析
【分析】
本题是圆的周长与数轴、正负数应用结合的题型，解题思路如下：首先明确半径为1的圆滚动1周的路程就是圆的周长，即$2π$；其次，数轴上向右滚动对应数值增加，向左滚动对应数值减少，未说明滚动方向时要考虑左右两种情况；第三，判断点距离原点的远近，只需要比较该点对应数的绝对值大小，绝对值越小距离越近，绝对值越大距离越远；第四，计算总路程时不需要考虑滚动方向，用滚动周数的绝对值之和乘周长即可，计算最终位置时需要考虑方向，用滚动周数的代数和乘周长即可。
【解析】
（1）已知圆的半径$r=1$，根据圆的周长公式$C=2πr$，可得圆滚动1周的长度为$2π×1=2π$。向右滚动1周后点A表示的数为$2π$，$π$是无限不循环小数，属于无理数，因此$2π$是无理数。
（2）滚动2周未说明方向：若向右滚动，点B表示的数为$2×2π=4π$；若向左滚动，点B表示的数为$-2×2π=-4π$，因此点B表示的数是$4π$或$-4π$。
（3）①先计算每次滚动后Q点对应的总滚动周数（向右为正，向左为负）：
第1次滚动后：总周数为$+2$，对应数的绝对值为$|2|=2$；
第2次滚动后：总周数为$+2+(-1)=+1$，对应数的绝对值为$|1|=1$；
第3次滚动后：总周数为$+1+(+3)=+4$，对应数的绝对值为$|4|=4$；
第4次滚动后：总周数为$+4+(-6)=-2$，对应数的绝对值为$|-2|=2$；
第5次滚动后：总周数为$-2+(-1)=-3$，对应数的绝对值为$|-3|=3$；
比较绝对值大小：$1＜2=2＜3＜4$，因此第2次滚动后Q点距离原点最近，第3次滚动后距离原点最远。
②计算总路程：先求滚动周数的绝对值之和：$|+2|+|-1|+|+3|+|-6|+|-1|=13$，总路程为$13×2π=26π$；
计算最终位置：先求滚动周数的代数和：$(+2)+(-1)+(+3)+(-6)+(-1)=-3$，因此最终点Q表示的数为$-3×2π=-6π$。
【答案】
（1）无理，$2π$；（2）$4π$或$-4π$；（3）①第2次滚动后Q点距离原点最近，第3次滚动后Q点距离原点最远；②总路程为$26π$，此时点Q所表示的数是$-6π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴的应用，绝对值的意义
【点评】
本题将几何图形的周长与数轴、正负数的实际应用相结合，解题时要注意区分滚动方向对最终位置的影响，明确总路程与最终位置的计算差异：总路程与滚动方向无关，只和滚动的总长度有关，最终位置需要结合滚动方向判断，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是圆的周长与数轴、正负数应用结合的题型，解题思路如下：首先明确半径为1的圆滚动1周的路程就是圆的周长，即$2π$；其次，数轴上向右滚动对应数值增加，向左滚动对应数值减少，未说明滚动方向时要考虑左右两种情况；第三，判断点距离原点的远近，只需要比较该点对应数的绝对值大小，绝对值越小距离越近，绝对值越大距离越远；第四，计算总路程时不需要考虑滚动方向，用滚动周数的绝对值之和乘周长即可，计算最终位置时需要考虑方向，用滚动周数的代数和乘周长即可。
【解析】
（1）已知圆的半径$r=1$，根据圆的周长公式$C=2πr$，可得圆滚动1周的长度为$2π×1=2π$。向右滚动1周后点A表示的数为$2π$，$π$是无限不循环小数，属于无理数，因此$2π$是无理数。
（2）滚动2周未说明方向：若向右滚动，点B表示的数为$2×2π=4π$；若向左滚动，点B表示的数为$-2×2π=-4π$，因此点B表示的数是$4π$或$-4π$。
（3）①先计算每次滚动后Q点对应的总滚动周数（向右为正，向左为负）：
第1次滚动后：总周数为$+2$，对应数的绝对值为$|2|=2$；
第2次滚动后：总周数为$+2+(-1)=+1$，对应数的绝对值为$|1|=1$；
第3次滚动后：总周数为$+1+(+3)=+4$，对应数的绝对值为$|4|=4$；
第4次滚动后：总周数为$+4+(-6)=-2$，对应数的绝对值为$|-2|=2$；
第5次滚动后：总周数为$-2+(-1)=-3$，对应数的绝对值为$|-3|=3$；
比较绝对值大小：$1＜2=2＜3＜4$，因此第2次滚动后Q点距离原点最近，第3次滚动后距离原点最远。
②计算总路程：先求滚动周数的绝对值之和：$|+2|+|-1|+|+3|+|-6|+|-1|=13$，总路程为$13×2π=26π$；
计算最终位置：先求滚动周数的代数和：$(+2)+(-1)+(+3)+(-6)+(-1)=-3$，因此最终点Q表示的数为$-3×2π=-6π$。
【答案】
（1）无理，$2π$；（2）$4π$或$-4π$；（3）①第2次滚动后Q点距离原点最近，第3次滚动后Q点距离原点最远；②总路程为$26π$，此时点Q所表示的数是$-6π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴的应用，绝对值的意义
【点评】
本题将几何图形的周长与数轴、正负数的实际应用相结合，解题时要注意区分滚动方向对最终位置的影响，明确总路程与最终位置的计算差异：总路程与滚动方向无关，只和滚动的总长度有关，最终位置需要结合滚动方向判断，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
20 如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积为$1200\ \mathrm{m}^2$。
（1）每块正方形基地的边长为
（2）现计划在厂房的东边再围一个面积为$300\ \mathrm{m}^2$的长方形仓库，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共用一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为$5:2$。请通过计算判断是否可以围成满足要求的仓库。
（1）每块正方形基地的边长为
20
$\mathrm{m}$；（2）现计划在厂房的东边再围一个面积为$300\ \mathrm{m}^2$的长方形仓库，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共用一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为$5:2$。请通过计算判断是否可以围成满足要求的仓库。
答案
20.（1）20 （2）设长方形的长为$5x$米，宽为$2x$米。由题意可得，$5x · 2x = 300$，解得$x = \sqrt{30}$或$-\sqrt{30}$(舍去)。因为$5＜\sqrt{30}＜6$，所以$10＜2\sqrt{30}＜12$，所以$2\sqrt{30}＜20$，所以可以围成满足要求的仓库。
解析
【分析】
（1）要求每块正方形基地的边长，先根据3块正方形的总面积算出单个正方形的面积，再利用正方形面积公式，对面积开算术平方根即可得到边长，注意边长为正数。
（2）要判断能否围成符合要求的仓库，先根据长方形长和宽的比例设未知数，结合仓库面积列方程求出长、宽的长度，再比较和正方形共用的边的长度是否不超过正方形的边长，满足限制条件则可以围成，反之则不能。
【解析】
（1）已知3块正方形基地总面积为$1200\ \mathrm{m}^2$，因此每块正方形基地的面积为$1200÷ 3=400\ \mathrm{m}^2$。
设每块正方形基地的边长为$a\ \mathrm{m}$（$a＞0$），根据正方形面积公式得$a^2=400$，解得$a=\sqrt{400}=20$，即边长为20 m。
（2）设长方形仓库的长为$5x$ m，宽为$2x$ m（$x＞0$），根据长方形面积为$300\ \mathrm{m}^2$可得：
$5x· 2x=300$
整理得$10x^2=300$，即$x^2=30$，解得$x=\sqrt{30}$（负值不符合实际意义，舍去）。
长方形与正方形共用的边为较短的宽，长度为$2x=2\sqrt{30}$ m。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，因此$10＜2\sqrt{30}＜12$，显然$2\sqrt{30}＜20$，满足共用部分不超过正方形边长的要求，因此可以围成满足要求的仓库。
【答案】
（1）$\boldsymbol{20}$
（2）$\boldsymbol{可以围成满足要求的仓库}$
【知识点】
正方形面积计算，一元二次方程的应用，无理数的估算
【点评】
本题结合实际设计场景考查几何图形面积计算和无理数估算的相关知识，解题时需要结合实际意义舍去不符合要求的解，同时准确判断共用墙的长度限制即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要求每块正方形基地的边长，先根据3块正方形的总面积算出单个正方形的面积，再利用正方形面积公式，对面积开算术平方根即可得到边长，注意边长为正数。
（2）要判断能否围成符合要求的仓库，先根据长方形长和宽的比例设未知数，结合仓库面积列方程求出长、宽的长度，再比较和正方形共用的边的长度是否不超过正方形的边长，满足限制条件则可以围成，反之则不能。
【解析】
（1）已知3块正方形基地总面积为$1200\ \mathrm{m}^2$，因此每块正方形基地的面积为$1200÷ 3=400\ \mathrm{m}^2$。
设每块正方形基地的边长为$a\ \mathrm{m}$（$a＞0$），根据正方形面积公式得$a^2=400$，解得$a=\sqrt{400}=20$，即边长为20 m。
（2）设长方形仓库的长为$5x$ m，宽为$2x$ m（$x＞0$），根据长方形面积为$300\ \mathrm{m}^2$可得：
$5x· 2x=300$
整理得$10x^2=300$，即$x^2=30$，解得$x=\sqrt{30}$（负值不符合实际意义，舍去）。
长方形与正方形共用的边为较短的宽，长度为$2x=2\sqrt{30}$ m。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，因此$10＜2\sqrt{30}＜12$，显然$2\sqrt{30}＜20$，满足共用部分不超过正方形边长的要求，因此可以围成满足要求的仓库。
【答案】
（1）$\boldsymbol{20}$
（2）$\boldsymbol{可以围成满足要求的仓库}$
【知识点】
正方形面积计算，一元二次方程的应用，无理数的估算
【点评】
本题结合实际设计场景考查几何图形面积计算和无理数估算的相关知识，解题时需要结合实际意义舍去不符合要求的解，同时准确判断共用墙的长度限制即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
