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21 日常生活中，我们使用的是十进制数，而计算机使用的数是二进制数（数位的进位方法是“逢二进一”），有时候也会用到三进制数（数位的进位方法是“逢三进一”）。如三进制数201可用十进制数表示为$2×3^2 + 0×3^1 + 1 = 19$；二进制数1011可用十进制数表示为$1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1 = 11$。
（1）现有三进制数$a=221$，二进制数$b=10111$，试比较$a$与$b$的大小；
（2）十进制数18用二进制数表示为
（3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如图是一位母亲从右到左依次在绳子上打结的示意图，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数。求孩子出生的天数。
（1）现有三进制数$a=221$，二进制数$b=10111$，试比较$a$与$b$的大小；
（2）十进制数18用二进制数表示为
10010
；（3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如图是一位母亲从右到左依次在绳子上打结的示意图，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数。求孩子出生的天数。
答案
21.（1）三进制数$a=221$用十进制数表示为$2×3^2 + 2×3 + 1 = 25$，二进制数$b=10111$用十进制数表示为$2^4 + 2^2 + 2 + 1 = 23$，所以$a ＞ b$。（2）10010。（3）图中的数为$6 + 2×7 + 3×7^2 + 7^3 = 510$，即孩子出生510天。
解析
【分析】
这道题考查不同进制数与十进制数的转换方法，解题思路如下：1. 不同进制转十进制的通用规则是：将k进制数每一位上的数字，乘上k的n次方（n为该位从右往左的序号，从0开始计数），再把所有结果相加就得到对应的十进制数，第一问只需将三进制数a、二进制数b都转换成十进制数，再比较大小即可。2. 十进制转二进制用“除2取余法”：把十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0，最后将所有余数倒序排列就是对应的二进制数。3. 第三问“满七进一”属于七进制计数，先确定从右到左每根绳子对应的位数（从右到左依次对应7⁰位、7¹位、7²位、7³位），数出每根绳子的结数作为对应位的数字，再按七进制转十进制的方法计算就能得到总天数。
【解析】
（1）将三进制数$a=221$转换为十进制数：
$a=2×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0 = 2×9 + 2×3 + 1 = 25$
将二进制数$b=10111$转换为十进制数：
$b=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23$
因为$25＞23$，因此$a＞b$。
（2）将十进制数18转换为二进制，用除2取余法：
$18÷2=9$，余数0；
$9÷2=4$，余数1；
$4÷2=2$，余数0；
$2÷2=1$，余数0；
$1÷2=0$，余数1；
将余数倒序排列得10010。
（3）由题意知计数规则为满七进一，即七进制计数，从右到左每根绳子的结数分别为6、2、3、1，对应七进制的低位到高位，总天数为：
$1×7^3 + 3×7^2 + 2×7^1 + 6×7^0 = 343 + 147 + 14 + 6 = 510$
【答案】
（1）$a ＞ b$；（2）$\boxed{10010}$；（3）$\boxed{510}$天
【知识点】
进制转换，乘方运算，有理数大小比较
【点评】
本题结合计算机计数、古代结绳计数的实际场景考查进制转换知识，需要学生理解不同进制的进位规则，掌握进制转换的通用方法，能够锻炼学生的知识迁移能力和应用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这道题考查不同进制数与十进制数的转换方法，解题思路如下：1. 不同进制转十进制的通用规则是：将k进制数每一位上的数字，乘上k的n次方（n为该位从右往左的序号，从0开始计数），再把所有结果相加就得到对应的十进制数，第一问只需将三进制数a、二进制数b都转换成十进制数，再比较大小即可。2. 十进制转二进制用“除2取余法”：把十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0，最后将所有余数倒序排列就是对应的二进制数。3. 第三问“满七进一”属于七进制计数，先确定从右到左每根绳子对应的位数（从右到左依次对应7⁰位、7¹位、7²位、7³位），数出每根绳子的结数作为对应位的数字，再按七进制转十进制的方法计算就能得到总天数。
【解析】
（1）将三进制数$a=221$转换为十进制数：
$a=2×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0 = 2×9 + 2×3 + 1 = 25$
将二进制数$b=10111$转换为十进制数：
$b=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23$
因为$25＞23$，因此$a＞b$。
（2）将十进制数18转换为二进制，用除2取余法：
$18÷2=9$，余数0；
$9÷2=4$，余数1；
$4÷2=2$，余数0；
$2÷2=1$，余数0；
$1÷2=0$，余数1；
将余数倒序排列得10010。
（3）由题意知计数规则为满七进一，即七进制计数，从右到左每根绳子的结数分别为6、2、3、1，对应七进制的低位到高位，总天数为：
$1×7^3 + 3×7^2 + 2×7^1 + 6×7^0 = 343 + 147 + 14 + 6 = 510$
【答案】
（1）$a ＞ b$；（2）$\boxed{10010}$；（3）$\boxed{510}$天
【知识点】
进制转换，乘方运算，有理数大小比较
【点评】
本题结合计算机计数、古代结绳计数的实际场景考查进制转换知识，需要学生理解不同进制的进位规则，掌握进制转换的通用方法，能够锻炼学生的知识迁移能力和应用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
22 阅读材料：
小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a、b、m、n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，所以$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当$a、b、m、n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m、n$的式子分别表示$a、b$，得：$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数$a、b、m、n$填空：$\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3}=(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^2$；
（3）若$a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$a、m、n$均为正整数，求$a$的值。
小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a、b、m、n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，所以$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当$a、b、m、n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m、n$的式子分别表示$a、b$，得：$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数$a、b、m、n$填空：$\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3}=(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^2$；
（3）若$a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$a、m、n$均为正整数，求$a$的值。
答案
22.（1）因为$a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^2$，所以$a + b\sqrt{3}=m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$，所以$a = m^2 + 3n^2$，$b = 2mn$。（2）4、2、1、1。令$m=1$，$n=1$，所以$a = m^2 + 3n^2 = 4$，$b = 2mn = 2$。（答案不唯一）（3）由(1)可得，$a = m^2 + 3n^2$，$b = 2mn$。因为$b=4=2mn$，所以$mn=2$。又因为$m、n$为正整数，所以$\begin{cases}m=2,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=2\end{cases}$，所以$a = 2^2 + 3×1^2 = 7$或$a = 1^2 + 3×2^2 = 13$。
解析
【分析】
本题是阅读探究类题型，解题时参照材料给出的方法类比推导即可：
1. 第（1）问：先将等式右侧的完全平方展开，再对比等式左右两边，不含根号的有理部分对应相等、含根号部分的系数对应相等，即可得到a、b的表达式；
2. 第（2）问：直接选取任意正整数m、n代入第（1）问的结论，计算出对应的a、b即可，答案不唯一；
3. 第（3）问：先根据b=4得到关于m、n的等式，求出m、n的所有正整数解，再将解代入a的表达式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
（1）将等式右侧展开：
$(m+n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2· m· n\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
对比$a+b\sqrt{3} = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$，可得$a = m^2 + 3n^2$，$b=2mn$。
（2）取$m=1$，$n=1$，代入上述结论：
$a = 1^2 + 3×1^2 = 4$，$b=2×1×1=2$
可得$4 + 2\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})^2$（答案不唯一，符合$a=m^2+3n^2$、$b=2mn$的正整数均可）。
（3）由（1）的结论可知$b=2mn$，已知$b=4$，因此：
$2mn=4$，即$mn=2$
因为m、n均为正整数，所以有两组解：
$\begin{cases}m=2 \\ n=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=1 \\ n=2\end{cases}$
分别代入$a = m^2 + 3n^2$计算：
当$m=2,n=1$时，$a=2^2 + 3×1^2 = 4 + 3 =7$
当$m=1,n=2$时，$a=1^2 + 3×2^2 =1 + 12=13$
因此a的值为7或13。
【答案】
（1）$m^2 + 3n^2$，$2mn$
（2）4，2，1，1（答案不唯一）
（3）7或13
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，不定方程正整数解
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，重点考查对新知识的理解运用能力，解题核心是抓住等式两边有理部分和无理部分分别相等的规律，第三问求解时需注意枚举所有正整数解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是阅读探究类题型，解题时参照材料给出的方法类比推导即可：
1. 第（1）问：先将等式右侧的完全平方展开，再对比等式左右两边，不含根号的有理部分对应相等、含根号部分的系数对应相等，即可得到a、b的表达式；
2. 第（2）问：直接选取任意正整数m、n代入第（1）问的结论，计算出对应的a、b即可，答案不唯一；
3. 第（3）问：先根据b=4得到关于m、n的等式，求出m、n的所有正整数解，再将解代入a的表达式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
（1）将等式右侧展开：
$(m+n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2· m· n\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
对比$a+b\sqrt{3} = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$，可得$a = m^2 + 3n^2$，$b=2mn$。
（2）取$m=1$，$n=1$，代入上述结论：
$a = 1^2 + 3×1^2 = 4$，$b=2×1×1=2$
可得$4 + 2\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})^2$（答案不唯一，符合$a=m^2+3n^2$、$b=2mn$的正整数均可）。
（3）由（1）的结论可知$b=2mn$，已知$b=4$，因此：
$2mn=4$，即$mn=2$
因为m、n均为正整数，所以有两组解：
$\begin{cases}m=2 \\ n=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=1 \\ n=2\end{cases}$
分别代入$a = m^2 + 3n^2$计算：
当$m=2,n=1$时，$a=2^2 + 3×1^2 = 4 + 3 =7$
当$m=1,n=2$时，$a=1^2 + 3×2^2 =1 + 12=13$
因此a的值为7或13。
【答案】
（1）$m^2 + 3n^2$，$2mn$
（2）4，2，1，1（答案不唯一）
（3）7或13
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，不定方程正整数解
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，重点考查对新知识的理解运用能力，解题核心是抓住等式两边有理部分和无理部分分别相等的规律，第三问求解时需注意枚举所有正整数解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
