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若$\sqrt{3.45} \approx 1.857$，$\sqrt{34.5} \approx 5.874$，则$\sqrt{34500000} \approx$
5874
，$\sqrt{0.000345} \approx$ 0.01857
答案
11.5874，0.01857
12 如图,四个有理数在数轴上的对应点分别为M、P、N、Q,若点M、N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是
$P$
。答案
12.$P$
解析
【分析】
首先回忆相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，由此可确定原点是线段MN的中点。再结合绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是它在数轴上对应的点到原点的距离，所以要找绝对值最小的数，只需找到四个点中距离原点最近的点即可。
【解析】
解：
∵点M、N表示的有理数互为相反数，
∴原点是线段MN的中点，即M和N到原点的距离相等。
又
∵一个数的绝对值是数轴上该数对应的点到原点的距离，
∴绝对值最小的数对应的点就是离原点最近的点。
观察数轴上的点M、P、N、Q，点P距离原点（MN中点）最近，
∴表示绝对值最小的数的点是P。
【答案】
P
【知识点】
数轴的认识；相反数的意义；绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查相反数和绝对值的几何意义，解题的核心是先根据相反数的性质确定原点的位置，再根据绝对值的含义判断离原点最近的点，是对基础概念的综合考查。
【难度系数】
0.8
首先回忆相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，由此可确定原点是线段MN的中点。再结合绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是它在数轴上对应的点到原点的距离，所以要找绝对值最小的数，只需找到四个点中距离原点最近的点即可。
【解析】
解：
∵点M、N表示的有理数互为相反数，
∴原点是线段MN的中点，即M和N到原点的距离相等。
又
∵一个数的绝对值是数轴上该数对应的点到原点的距离，
∴绝对值最小的数对应的点就是离原点最近的点。
观察数轴上的点M、P、N、Q，点P距离原点（MN中点）最近，
∴表示绝对值最小的数的点是P。
【答案】
P
【知识点】
数轴的认识；相反数的意义；绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查相反数和绝对值的几何意义，解题的核心是先根据相反数的性质确定原点的位置，再根据绝对值的含义判断离原点最近的点，是对基础概念的综合考查。
【难度系数】
0.8
$-8$的立方根与$\sqrt{81}$的平方根之和是
1或$-5$
。答案
13.1或$-5$
解析
【分析】
解这道题需要分三步思考：第一步先根据立方根的定义求出-8的立方根，这个值是唯一的；第二步先计算$\sqrt{81}$的结果（注意$\sqrt{81}$表示的是81的算术平方根，结果是正数），再求这个结果的平方根，平方根有两个互为相反数的值，不要漏算；最后将-8的立方根分别与这两个平方根相加，即可得到最终的和。
【解析】
1. 计算-8的立方根：
∵ $(-2)^3=-8$
∴ $\sqrt[3]{-8}=-2$
2. 计算$\sqrt{81}$的值并求它的平方根：
∵ $\sqrt{81}$表示81的算术平方根
∴ $\sqrt{81}=9$
又
∵ $(±3)^2=9$
∴ 9的平方根为$±3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$±3$
3. 计算两者之和：
当取正平方根时：$-2+3=1$
当取负平方根时：$-2+(-3)=-5$
【答案】
1或$-5$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义
【点评】
本题重点考查根式的相关概念，易错点在于容易混淆算术平方根和平方根的定义，要么误将$\sqrt{81}$直接算成$±9$，要么漏掉平方根有两个的情况，做题时分步拆解计算可以有效降低错误率。
【难度系数】
0.65
解这道题需要分三步思考：第一步先根据立方根的定义求出-8的立方根，这个值是唯一的；第二步先计算$\sqrt{81}$的结果（注意$\sqrt{81}$表示的是81的算术平方根，结果是正数），再求这个结果的平方根，平方根有两个互为相反数的值，不要漏算；最后将-8的立方根分别与这两个平方根相加，即可得到最终的和。
【解析】
1. 计算-8的立方根：
∵ $(-2)^3=-8$
∴ $\sqrt[3]{-8}=-2$
2. 计算$\sqrt{81}$的值并求它的平方根：
∵ $\sqrt{81}$表示81的算术平方根
∴ $\sqrt{81}=9$
又
∵ $(±3)^2=9$
∴ 9的平方根为$±3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$±3$
3. 计算两者之和：
当取正平方根时：$-2+3=1$
当取负平方根时：$-2+(-3)=-5$
【答案】
1或$-5$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义
【点评】
本题重点考查根式的相关概念，易错点在于容易混淆算术平方根和平方根的定义，要么误将$\sqrt{81}$直接算成$±9$，要么漏掉平方根有两个的情况，做题时分步拆解计算可以有效降低错误率。
【难度系数】
0.65
⑭ 若$\sqrt{x - 2y - 1} + |y - 2x + 2| = 0$，则$x + y$的平方根为
$\pm1$
。答案
14.$\pm1$
解析
【分析】
本题的解题突破口是“几个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”这一性质。首先回忆算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加等于0，说明两个式子内部的代数式都等于0，由此可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x和y的值后计算x+y的结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：
∵ 算术平方根和绝对值均为非负数，即$\sqrt{x - 2y - 1} ≥ 0$，$|y - 2x + 2| ≥ 0$，且两者的和为0
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}x - 2y - 1 = 0 ① \\y - 2x + 2 = 0 ②\end{cases}$
由①得$x = 2y + 1$，将其代入②：
$-2(2y + 1) + y = -2$
展开计算得：$-4y - 2 + y = -2$，即$-3y = 0$，解得$y = 0$
将$y = 0$代入$x = 2y + 1$，得$x = 1$
∴ $x + y = 1 + 0 = 1$
根据平方根的定义，1的平方根为$\pm\sqrt{1} = \pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查非负性的应用规则，解题易错点为混淆平方根和算术平方根的概念，只写出正根漏写负根，同时解二元一次方程组时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题的解题突破口是“几个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”这一性质。首先回忆算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加等于0，说明两个式子内部的代数式都等于0，由此可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x和y的值后计算x+y的结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：
∵ 算术平方根和绝对值均为非负数，即$\sqrt{x - 2y - 1} ≥ 0$，$|y - 2x + 2| ≥ 0$，且两者的和为0
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}x - 2y - 1 = 0 ① \\y - 2x + 2 = 0 ②\end{cases}$
由①得$x = 2y + 1$，将其代入②：
$-2(2y + 1) + y = -2$
展开计算得：$-4y - 2 + y = -2$，即$-3y = 0$，解得$y = 0$
将$y = 0$代入$x = 2y + 1$，得$x = 1$
∴ $x + y = 1 + 0 = 1$
根据平方根的定义，1的平方根为$\pm\sqrt{1} = \pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查非负性的应用规则，解题易错点为混淆平方根和算术平方根的概念，只写出正根漏写负根，同时解二元一次方程组时要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
15 已知$a ≥ 0$时，$\sqrt{a^2}=a$。若$x+1=2024^2+2025^2$，则$\sqrt{2x+1}=$
4049
。答案
15.4049 ［提示:由 $x + 1 = 2024^2 + 2025^2$,可得 $x = 2024^2 + 2025^2 - 1 = 2024^2 + (2025 + 1)(2025 - 1) = 2024^2 + 2024 × 2026 = 2024 × (2024 + 2026) = 2024 × 4050$,所以 $2x + 1 = 2 × 2024 × 4050 + 1 = 4048 × 4050 + 1 = (4049 - 1) × (4049 + 1) + 1 = 4049^2 - 1 + 1 = 4049^2$,所以$\sqrt{2x + 1} = \sqrt{4049^2} = 4049$。］
解析
【分析】
要计算$\sqrt{2x+1}$的值，首先需从已知的$x+1$的表达式推导出$x$的表达式，再代入$2x+1$中化简。由于直接计算$2024^2$、$2025^2$的数值过大，因此优先考虑用平方差公式对代数式变形，将$2x+1$转化为完全平方的形式，最后利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a$（$a≥0$）求出结果即可。
【解析】
已知$x+1=2024^2+2025^2$，可得：
$x = 2024^2 + 2025^2 - 1$
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$2025^2-1$变形：
$2025^2 -1 = (2025+1)(2025-1) = 2024×2026$
代入$x$的表达式，提取公因式$2024$：
$x = 2024^2 + 2024×2026 = 2024×(2024+2026) = 2024×4050$
将$x$代入$2x+1$：
$2x+1 = 2×2024×4050 +1 = 4048×4050 +1$
再次利用平方差公式变形，把$4048$写成$4049-1$，$4050$写成$4049+1$：
$4048×4050 +1 = (4049-1)(4049+1) +1 = 4049^2 -1 +1 = 4049^2$
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=a$（$a≥0$），$4049＞0$，因此：
$\sqrt{2x+1} = \sqrt{4049^2} = 4049$
【答案】
4049
【知识点】
二次根式的性质；平方差公式；代数式化简
【点评】
本题无需直接计算大数的平方，核心是灵活运用平方差公式对代数式进行因式分解，凑出完全平方形式简化运算，能有效避免繁琐的计算出错，重点考察对乘法公式的灵活运用能力和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.6
要计算$\sqrt{2x+1}$的值，首先需从已知的$x+1$的表达式推导出$x$的表达式，再代入$2x+1$中化简。由于直接计算$2024^2$、$2025^2$的数值过大，因此优先考虑用平方差公式对代数式变形，将$2x+1$转化为完全平方的形式，最后利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a$（$a≥0$）求出结果即可。
【解析】
已知$x+1=2024^2+2025^2$，可得：
$x = 2024^2 + 2025^2 - 1$
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$2025^2-1$变形：
$2025^2 -1 = (2025+1)(2025-1) = 2024×2026$
代入$x$的表达式，提取公因式$2024$：
$x = 2024^2 + 2024×2026 = 2024×(2024+2026) = 2024×4050$
将$x$代入$2x+1$：
$2x+1 = 2×2024×4050 +1 = 4048×4050 +1$
再次利用平方差公式变形，把$4048$写成$4049-1$，$4050$写成$4049+1$：
$4048×4050 +1 = (4049-1)(4049+1) +1 = 4049^2 -1 +1 = 4049^2$
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=a$（$a≥0$），$4049＞0$，因此：
$\sqrt{2x+1} = \sqrt{4049^2} = 4049$
【答案】
4049
【知识点】
二次根式的性质；平方差公式；代数式化简
【点评】
本题无需直接计算大数的平方，核心是灵活运用平方差公式对代数式进行因式分解，凑出完全平方形式简化运算，能有效避免繁琐的计算出错，重点考察对乘法公式的灵活运用能力和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.6
16 计算：
(1) $\frac{5}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3} + \frac{3}{4}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{16} - |2 - \sqrt{5}| + \sqrt[3]{27}$；
(3) $5\sqrt{7} × \sqrt{3} ÷ 2\sqrt{7} ÷ \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{2}(\sqrt{2} - 2) + \sqrt{6}$；
(5) $(6 - \sqrt{6}) ÷ \sqrt{6}$。
(1) $\frac{5}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3} + \frac{3}{4}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{16} - |2 - \sqrt{5}| + \sqrt[3]{27}$；
(3) $5\sqrt{7} × \sqrt{3} ÷ 2\sqrt{7} ÷ \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{2}(\sqrt{2} - 2) + \sqrt{6}$；
(5) $(6 - \sqrt{6}) ÷ \sqrt{6}$。
答案
16.(1) $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ (2) $9-\sqrt{5}$ (3) $\frac{5}{2}$ (4) $2-2\sqrt{2}+\sqrt{6}$ (5) $\sqrt{6}-1$
解析
【分析】
这组题目均为二次根式相关的实数运算题，解题时可按照对应运算规则分步处理：①同类二次根式合并时，仅将系数相加减，根式部分保持不变；②涉及绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号；③二次根式乘除为同级运算，可调整运算顺序约分简化计算；④有括号的可利用乘法分配律展开后再运算，全程注意运算顺序和符号处理即可。
【解析】
(1) 本题为同类二次根式的合并，将各$\sqrt{3}$的系数相加减：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{5}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2})\sqrt{3}\\&=[(\frac{5}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{4}+\frac{3}{4})]\sqrt{3}\\&=(3+\frac{1}{2})\sqrt{3}\\&=\frac{7\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2) 先计算开方、去绝对值，再做加减运算：
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{27}=3$，$\because \sqrt{5}＞2$，$\therefore |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$
$\begin{aligned}原式&=4 - (\sqrt{5}-2) + 3\\&=4-\sqrt{5}+2+3\\&=9-\sqrt{5}\end{aligned}$
(3) 二次根式乘除为同级运算，调整运算顺序约分计算：
$\begin{aligned}原式&=(5\sqrt{7}÷2\sqrt{7})×(\sqrt{3}÷\sqrt{3})\\&=\frac{5}{2}×1\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
(4) 利用乘法分配律展开后整理：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×2+\sqrt{6}\\&=2-2\sqrt{2}+\sqrt{6}\end{aligned}$
(5) 将被除数拆为两项分别除以$\sqrt{6}$简化计算：
$\begin{aligned}原式&=6÷\sqrt{6}-\sqrt{6}÷\sqrt{6}\\&=\sqrt{6}-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{7\sqrt{3}}{2}$；(2) $9-\sqrt{5}$；(3) $\frac{5}{2}$；(4) $2-2\sqrt{2}+\sqrt{6}$；(5) $\sqrt{6}-1$
【知识点】
二次根式运算，绝对值化简，开方运算
【点评】
本组题目属于实数运算的基础题型，重点考察二次根式的运算法则、绝对值的性质、平方根立方根的计算等知识点，运算时注意理清运算顺序，正确处理符号，灵活运用运算技巧可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这组题目均为二次根式相关的实数运算题，解题时可按照对应运算规则分步处理：①同类二次根式合并时，仅将系数相加减，根式部分保持不变；②涉及绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号；③二次根式乘除为同级运算，可调整运算顺序约分简化计算；④有括号的可利用乘法分配律展开后再运算，全程注意运算顺序和符号处理即可。
【解析】
(1) 本题为同类二次根式的合并，将各$\sqrt{3}$的系数相加减：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{5}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2})\sqrt{3}\\&=[(\frac{5}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{4}+\frac{3}{4})]\sqrt{3}\\&=(3+\frac{1}{2})\sqrt{3}\\&=\frac{7\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2) 先计算开方、去绝对值，再做加减运算：
$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{27}=3$，$\because \sqrt{5}＞2$，$\therefore |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$
$\begin{aligned}原式&=4 - (\sqrt{5}-2) + 3\\&=4-\sqrt{5}+2+3\\&=9-\sqrt{5}\end{aligned}$
(3) 二次根式乘除为同级运算，调整运算顺序约分计算：
$\begin{aligned}原式&=(5\sqrt{7}÷2\sqrt{7})×(\sqrt{3}÷\sqrt{3})\\&=\frac{5}{2}×1\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
(4) 利用乘法分配律展开后整理：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×2+\sqrt{6}\\&=2-2\sqrt{2}+\sqrt{6}\end{aligned}$
(5) 将被除数拆为两项分别除以$\sqrt{6}$简化计算：
$\begin{aligned}原式&=6÷\sqrt{6}-\sqrt{6}÷\sqrt{6}\\&=\sqrt{6}-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{7\sqrt{3}}{2}$；(2) $9-\sqrt{5}$；(3) $\frac{5}{2}$；(4) $2-2\sqrt{2}+\sqrt{6}$；(5) $\sqrt{6}-1$
【知识点】
二次根式运算，绝对值化简，开方运算
【点评】
本组题目属于实数运算的基础题型，重点考察二次根式的运算法则、绝对值的性质、平方根立方根的计算等知识点，运算时注意理清运算顺序，正确处理符号，灵活运用运算技巧可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
17 已知 $x_1=\sqrt{3}+2$，$x_2=\sqrt{3}-2$，求 $x_1^2 + x_2^2$ 的值。
答案
17.14
解析
【分析】
要求两个数的平方和，若直接将$x_1$、$x_2$代入计算二次根式的平方，计算量较大、容易出错。我们可以利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，先分别计算$x_1$与$x_2$的和、积，再代入变形后的式子计算，既简便又能提升正确率。
【解析】
解：根据完全平方公式的变形可得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
先计算$x_1+x_2$：
$x_1+x_2=(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2)=2\sqrt{3}$
再计算$x_1x_2$，利用平方差公式：
$x_1x_2=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$
将上述结果代入变形后的式子：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - 2×(-1)=12 + 2=14$
【答案】
14
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是代数式化简求值的基础题型，核心是灵活运用乘法公式对所求式子进行变形，避免直接代入计算的繁琐，这种整体代入的思想在代数运算中十分常用，需要熟练掌握乘法公式的常见变形。
【难度系数】
0.8
要求两个数的平方和，若直接将$x_1$、$x_2$代入计算二次根式的平方，计算量较大、容易出错。我们可以利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，先分别计算$x_1$与$x_2$的和、积，再代入变形后的式子计算，既简便又能提升正确率。
【解析】
解：根据完全平方公式的变形可得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
先计算$x_1+x_2$：
$x_1+x_2=(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2)=2\sqrt{3}$
再计算$x_1x_2$，利用平方差公式：
$x_1x_2=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$
将上述结果代入变形后的式子：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - 2×(-1)=12 + 2=14$
【答案】
14
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是代数式化简求值的基础题型，核心是灵活运用乘法公式对所求式子进行变形，避免直接代入计算的繁琐，这种整体代入的思想在代数运算中十分常用，需要熟练掌握乘法公式的常见变形。
【难度系数】
0.8
