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1 下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是(
A.$6x^2 + x - 15$
B.$3y^2 + 7y + 3$
C.$3x^2 - 2xy - 4y^2$
D.$2x^2 - 4x + 5$
D
)。A.$6x^2 + x - 15$
B.$3y^2 + 7y + 3$
C.$3x^2 - 2xy - 4y^2$
D.$2x^2 - 4x + 5$
答案
1.D
解析
【分析】
判断二次三项式在实数范围内能否因式分解，可通过判别式法：对于形如$ax^2+bx+c$（$a≠0$）的二次三项式，计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，则该式可在实数范围内因式分解；若$\Delta＜0$，则不能因式分解。解题时只需逐个计算四个选项的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的判别式：
A. 对于$6x^2 + x - 15$，$a=6$，$b=1$，$c=-15$
$\Delta=1^2 - 4×6×(-15)=1+360=361＞0$，可在实数范围内因式分解，排除；
B. 对于$3y^2 + 7y + 3$，$a=3$，$b=7$，$c=3$
$\Delta=7^2 - 4×3×3=49-36=13＞0$，可在实数范围内因式分解，排除；
C. 对于$3x^2 - 2xy - 4y^2$，将其看作关于$x$的二次三项式，$a=3$，$b=-2y$，$c=-4y^2$
$\Delta=(-2y)^2 - 4×3×(-4y^2)=4y^2+48y^2=52y^2≥0$，可在实数范围内因式分解，排除；
D. 对于$2x^2 - 4x + 5$，$a=2$，$b=-4$，$c=5$
$\Delta=(-4)^2 - 4×2×5=16-40=-24＜0$，不能在实数范围内因式分解。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次三项式因式分解判定 2. 根的判别式应用
【点评】
本题核心考查二次三项式在实数范围内因式分解的判定方法，解题时需牢记判别式与因式分解可行性的对应关系，遇到含双字母的二次三项式时，可将其中一个字母看作常量计算判别式即可。
【难度系数】
0.7
判断二次三项式在实数范围内能否因式分解，可通过判别式法：对于形如$ax^2+bx+c$（$a≠0$）的二次三项式，计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，则该式可在实数范围内因式分解；若$\Delta＜0$，则不能因式分解。解题时只需逐个计算四个选项的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的判别式：
A. 对于$6x^2 + x - 15$，$a=6$，$b=1$，$c=-15$
$\Delta=1^2 - 4×6×(-15)=1+360=361＞0$，可在实数范围内因式分解，排除；
B. 对于$3y^2 + 7y + 3$，$a=3$，$b=7$，$c=3$
$\Delta=7^2 - 4×3×3=49-36=13＞0$，可在实数范围内因式分解，排除；
C. 对于$3x^2 - 2xy - 4y^2$，将其看作关于$x$的二次三项式，$a=3$，$b=-2y$，$c=-4y^2$
$\Delta=(-2y)^2 - 4×3×(-4y^2)=4y^2+48y^2=52y^2≥0$，可在实数范围内因式分解，排除；
D. 对于$2x^2 - 4x + 5$，$a=2$，$b=-4$，$c=5$
$\Delta=(-4)^2 - 4×2×5=16-40=-24＜0$，不能在实数范围内因式分解。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次三项式因式分解判定 2. 根的判别式应用
【点评】
本题核心考查二次三项式在实数范围内因式分解的判定方法，解题时需牢记判别式与因式分解可行性的对应关系，遇到含双字母的二次三项式时，可将其中一个字母看作常量计算判别式即可。
【难度系数】
0.7
2 如果关于x的二次三项式$ax^2 + x - 1$在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（
A.$a ≥ -\dfrac{1}{4}$且$a ≠ 0$
B.$a ≤ -\dfrac{1}{4}$
C.$a ＞ -\dfrac{1}{4}$且$a ≠ 0$
D.$a ≥ -\dfrac{1}{4}$
A
）。A.$a ≥ -\dfrac{1}{4}$且$a ≠ 0$
B.$a ≤ -\dfrac{1}{4}$
C.$a ＞ -\dfrac{1}{4}$且$a ≠ 0$
D.$a ≥ -\dfrac{1}{4}$
答案
2.A
解析
【分析】
首先，题目明确是关于x的二次三项式，因此首先要满足二次项系数不为0，即a≠0，这是容易忽略的隐含条件。其次，二次三项式在实数范围内能分解因式，等价于其对应的一元二次方程有实数根，此时可通过一元二次方程根的判别式Δ≥0列不等式求解a的范围，最后结合a≠0的限制得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 代数式是关于x的二次三项式
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
∵ 二次三项式$ax^2 + x - 1$在实数范围内能分解因式
∴ 对应的一元二次方程$ax^2 + x - 1 = 0$有实数根，即根的判别式$\Delta ≥ 0$
其中二次项系数为a，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4× a× (-1) = 1 + 4a$
令$\Delta ≥ 0$，即$1 + 4a ≥ 0$
解得：$a ≥ -\dfrac{1}{4}$
结合二次项系数不为0的条件，最终a的取值范围是$a ≥ -\dfrac{1}{4}$且$a ≠ 0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次三项式定义
2.一元二次方程根的判别式
3.二次三项式因式分解条件
【点评】
本题的易错点是忽略二次三项式要求二次项系数不为0的隐含条件，直接仅通过判别式求解误选D，解题时要先明确多项式的次数限制，再结合对应方程根的情况求解取值范围，注意不要遗漏隐含条件。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确是关于x的二次三项式，因此首先要满足二次项系数不为0，即a≠0，这是容易忽略的隐含条件。其次，二次三项式在实数范围内能分解因式，等价于其对应的一元二次方程有实数根，此时可通过一元二次方程根的判别式Δ≥0列不等式求解a的范围，最后结合a≠0的限制得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 代数式是关于x的二次三项式
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
∵ 二次三项式$ax^2 + x - 1$在实数范围内能分解因式
∴ 对应的一元二次方程$ax^2 + x - 1 = 0$有实数根，即根的判别式$\Delta ≥ 0$
其中二次项系数为a，一次项系数$b=1$，常数项$c=-1$
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4× a× (-1) = 1 + 4a$
令$\Delta ≥ 0$，即$1 + 4a ≥ 0$
解得：$a ≥ -\dfrac{1}{4}$
结合二次项系数不为0的条件，最终a的取值范围是$a ≥ -\dfrac{1}{4}$且$a ≠ 0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次三项式定义
2.一元二次方程根的判别式
3.二次三项式因式分解条件
【点评】
本题的易错点是忽略二次三项式要求二次项系数不为0的隐含条件，直接仅通过判别式求解误选D，解题时要先明确多项式的次数限制，再结合对应方程根的情况求解取值范围，注意不要遗漏隐含条件。
【难度系数】
0.7
3 在实数范围内将 $2x^2 - 6xy - y^2$ 因式分解正确的是（
A.$(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2})(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2})$
B.$2(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2})(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2})$
C.$2(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2}y)(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2}y)$
D.$2(x + \frac{3+\sqrt{11}}{2}y)(x + \frac{3-\sqrt{11}}{2}y)$
C
）。A.$(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2})(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2})$
B.$2(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2})(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2})$
C.$2(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2}y)(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2}y)$
D.$2(x + \frac{3+\sqrt{11}}{2}y)(x + \frac{3-\sqrt{11}}{2}y)$
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道含两个字母的二次三项式在实数范围内因式分解的题目，解题思路如下：①把y看作常数，将原式转化为关于x的二次三项式；②令该二次三项式等于0，得到关于x的一元二次方程，用求根公式求出方程的两个根；③利用“二次三项式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$”的规律完成分解，注意不要遗漏二次项系数，也不要漏掉因式中的字母y。
【解析】
解：将$2x^2 - 6xy - y^2$看作关于x的二次三项式，把y视为常数：
令$2x^2 - 6xy - y^2 = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-6y$，常数项$c=-y^2$。
先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6y)^2 - 4×2×(-y^2) = 36y^2 + 8y^2 = 44y^2 ≥ 0$，方程有两个实数根。
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6y \pm \sqrt{44y^2}}{2×2} = \frac{6y \pm 2\sqrt{11}y}{4} = \frac{(3\pm\sqrt{11})y}{2}$
即两个根为$x_1 = \frac{3+\sqrt{11}}{2}y$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{11}}{2}y$。
根据二次三项式因式分解规则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，可得：
$2x^2 - 6xy - y^2 = 2(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2}y)(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2}y)$
【答案】
C
【知识点】
实数范围内因式分解；求根公式法分解因式；二次三项式分解
【点评】
本题重点考查二次三项式的因式分解方法，解题核心是将双变量问题转化为单变量的一元二次方程求根问题，易错点是分解时遗漏二次项系数，或者忽略因式中要保留字母y。
【难度系数】
0.6
这是一道含两个字母的二次三项式在实数范围内因式分解的题目，解题思路如下：①把y看作常数，将原式转化为关于x的二次三项式；②令该二次三项式等于0，得到关于x的一元二次方程，用求根公式求出方程的两个根；③利用“二次三项式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$”的规律完成分解，注意不要遗漏二次项系数，也不要漏掉因式中的字母y。
【解析】
解：将$2x^2 - 6xy - y^2$看作关于x的二次三项式，把y视为常数：
令$2x^2 - 6xy - y^2 = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-6y$，常数项$c=-y^2$。
先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6y)^2 - 4×2×(-y^2) = 36y^2 + 8y^2 = 44y^2 ≥ 0$，方程有两个实数根。
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6y \pm \sqrt{44y^2}}{2×2} = \frac{6y \pm 2\sqrt{11}y}{4} = \frac{(3\pm\sqrt{11})y}{2}$
即两个根为$x_1 = \frac{3+\sqrt{11}}{2}y$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{11}}{2}y$。
根据二次三项式因式分解规则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，可得：
$2x^2 - 6xy - y^2 = 2(x - \frac{3+\sqrt{11}}{2}y)(x - \frac{3-\sqrt{11}}{2}y)$
【答案】
C
【知识点】
实数范围内因式分解；求根公式法分解因式；二次三项式分解
【点评】
本题重点考查二次三项式的因式分解方法，解题核心是将双变量问题转化为单变量的一元二次方程求根问题，易错点是分解时遗漏二次项系数，或者忽略因式中要保留字母y。
【难度系数】
0.6
④ 方程$3x^2 + 4x - 1 = 0$的两个根$x_1 =$
$\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$
，$x_2 =$ $-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$
，则二次三项式$3x^2 + 4x - 1$分解因式的结果是 $3(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3})(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3})$
。答案
4. $x_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，分解因式结果为$3(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3})(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3})$
解析
【分析】
本题分为求一元二次方程的根、用求根法分解二次三项式两个部分。解题思路如下：第一步求根，采用八年级所学的一元二次方程求根公式求解，先确定方程各项系数a、b、c，计算判别式确认有实根后，代入求根公式化简得到两个根；第二步分解因式，牢记二次项系数不为1时的分解规则：若$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入对应数值即可，注意不要遗漏二次项系数a。
【解析】
1. 求方程$3x^2 + 4x -1=0$的根：
确定方程各项系数：$a=3$，$b=4$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=4^2 -4×3×(-1)=16+12=28＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{7}}{3}$
因此$x_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}=-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$
2. 分解二次三项式$3x^2+4x-1$：
根据求根法分解规则，代入$a=3$、两根$x_1$、$x_2$得：
$3x^2+4x-1=3(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3})(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3})$
【答案】
$x_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，分解因式结果为$3(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3})(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3})$
【知识点】
一元二次方程求根公式、求根法分解二次三项式、二次根式化简
【点评】
本题属于基础应用型题目，考查了一元二次方程求解和二次三项式因式分解的关联，解题时需注意二次项系数不为1时，分解因式不要漏乘二次项系数，求根过程中要正确化简二次根式，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题分为求一元二次方程的根、用求根法分解二次三项式两个部分。解题思路如下：第一步求根，采用八年级所学的一元二次方程求根公式求解，先确定方程各项系数a、b、c，计算判别式确认有实根后，代入求根公式化简得到两个根；第二步分解因式，牢记二次项系数不为1时的分解规则：若$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入对应数值即可，注意不要遗漏二次项系数a。
【解析】
1. 求方程$3x^2 + 4x -1=0$的根：
确定方程各项系数：$a=3$，$b=4$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=4^2 -4×3×(-1)=16+12=28＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{7}}{3}$
因此$x_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}=-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$
2. 分解二次三项式$3x^2+4x-1$：
根据求根法分解规则，代入$a=3$、两根$x_1$、$x_2$得：
$3x^2+4x-1=3(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3})(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3})$
【答案】
$x_1=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，分解因式结果为$3(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3})(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3})$
【知识点】
一元二次方程求根公式、求根法分解二次三项式、二次根式化简
【点评】
本题属于基础应用型题目，考查了一元二次方程求解和二次三项式因式分解的关联，解题时需注意二次项系数不为1时，分解因式不要漏乘二次项系数，求根过程中要正确化简二次根式，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
5 在实数范围内分解因式：$2x^2 - 2x -5 =$
$2(x-\frac{1+\sqrt{11}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{11}}{2})$
。答案
5. $2(x-\frac{1+\sqrt{11}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{11}}{2})$
解析
【分析】
要在实数范围内分解二次三项式$2x^2 - 2x -5$，当无法直接用十字相乘法分解时，可采用求根法：①先求对应的一元二次方程$2x^2 - 2x -5=0$的两个实数根；②再根据二次三项式因式分解和对应方程根的关系$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个根）代入写出分解结果即可。
【解析】
令$2x^2 - 2x -5=0$，这里$a=2$，$b=-2$，$c=-5$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×(-5) = 4 + 40 = 44＞0$，
由求根公式得方程的两个根：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{44}}{2×2}=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{11}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{11}}{2}$，
根据二次三项式因式分解公式可得：
$2x^2 - 2x -5=2(x-\frac{1+\sqrt{11}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{11}}{2})$。
【答案】
$2(x-\frac{1+\sqrt{11}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{11}}{2})$
【知识点】
二次三项式因式分解、一元二次方程求根公式、实数范围因式分解
【点评】
本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解，解题关键是熟练掌握求根法分解的步骤，注意分解时不要遗漏二次项系数$a$，代入根时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
要在实数范围内分解二次三项式$2x^2 - 2x -5$，当无法直接用十字相乘法分解时，可采用求根法：①先求对应的一元二次方程$2x^2 - 2x -5=0$的两个实数根；②再根据二次三项式因式分解和对应方程根的关系$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个根）代入写出分解结果即可。
【解析】
令$2x^2 - 2x -5=0$，这里$a=2$，$b=-2$，$c=-5$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×(-5) = 4 + 40 = 44＞0$，
由求根公式得方程的两个根：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{44}}{2×2}=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{11}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{11}}{2}$，
根据二次三项式因式分解公式可得：
$2x^2 - 2x -5=2(x-\frac{1+\sqrt{11}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{11}}{2})$。
【答案】
$2(x-\frac{1+\sqrt{11}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{11}}{2})$
【知识点】
二次三项式因式分解、一元二次方程求根公式、实数范围因式分解
【点评】
本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解，解题关键是熟练掌握求根法分解的步骤，注意分解时不要遗漏二次项系数$a$，代入根时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
⑥ 如果关于x的二次三项式$x^2 -6x +m$在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是
$m＞9$
。答案
6. $m＞9$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确二次三项式在实数范围内能否分解因式的判断依据：对于二次三项式$ax^2+bx+c$（$a≠0$），若它对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，则该二次三项式在实数范围内不能分解因式。一元二次方程有无实根可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，当$\Delta＜0$时方程无实根。接下来代入本题的系数列不等式求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：二次三项式$x^2 -6x +m$中，$a=1$，$b=-6$，$c=m$。
因为该二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以其对应的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$无实数根，即判别式$\Delta＜0$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×1× m = 36 -4m$
列不等式并求解：
$36 -4m ＜ 0$
移项得：$-4m ＜ -36$
两边同时除以-4（不等号方向改变），得：$m ＞ 9$
【答案】
$m＞9$
【知识点】
1. 二次三项式因式分解条件
2. 根的判别式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次三项式的可分解性与对应一元二次方程根的情况的关联，解题时要注意判别式的系数代入准确，解含负系数的不等式时注意不等号方向的变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确二次三项式在实数范围内能否分解因式的判断依据：对于二次三项式$ax^2+bx+c$（$a≠0$），若它对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，则该二次三项式在实数范围内不能分解因式。一元二次方程有无实根可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，当$\Delta＜0$时方程无实根。接下来代入本题的系数列不等式求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：二次三项式$x^2 -6x +m$中，$a=1$，$b=-6$，$c=m$。
因为该二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以其对应的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$无实数根，即判别式$\Delta＜0$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×1× m = 36 -4m$
列不等式并求解：
$36 -4m ＜ 0$
移项得：$-4m ＜ -36$
两边同时除以-4（不等号方向改变），得：$m ＞ 9$
【答案】
$m＞9$
【知识点】
1. 二次三项式因式分解条件
2. 根的判别式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次三项式的可分解性与对应一元二次方程根的情况的关联，解题时要注意判别式的系数代入准确，解含负系数的不等式时注意不等号方向的变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
7 在实数范围内因式分解：$-y^2 - 3y + 1 =$
$-(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$
。答案
7. $-(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$
解析
【分析】
观察式子是关于y的二次三项式，首项系数为负，第一步先提取负号将二次项系数转化为正数，简化后续计算。对于二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$，在实数范围内因式分解时，若对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实根$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，因此我们只需要先求出提负号后二次三项式对应一元二次方程的两个根，代入公式后带上提取的负号即可得到最终分解结果。
【解析】
第一步：提取公因式$-1$，将二次项系数化为正：
$-y^2 - 3y + 1 = -(y^2 + 3y - 1)$
第二步：求二次三项式$y^2 + 3y - 1$对应方程的根：
令$y^2 + 3y - 1 = 0$，其中$a=1，b=3，c=-1$，
计算判别式$\Delta = b^2-4ac=3^2 - 4×1×(-1)=13＞0$，方程有两个不等实根。
由求根公式得：$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即两个根为$y_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$y_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
第三步：代入因式分解公式：
$y^2 + 3y -1=(y-y_1)(y-y_2)=(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})$
第四步：带上提取的负号，得最终结果：
原式$=-(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$
【答案】
$-(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$
【知识点】
1. 提公因式法
2. 求根法因式分解
3. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解，核心是掌握用求根公式分解二次三项式的方法，解题时注意先处理负系数降低出错概率，代入根分解时要注意符号不要写错。
【难度系数】
0.6
观察式子是关于y的二次三项式，首项系数为负，第一步先提取负号将二次项系数转化为正数，简化后续计算。对于二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$，在实数范围内因式分解时，若对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实根$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，因此我们只需要先求出提负号后二次三项式对应一元二次方程的两个根，代入公式后带上提取的负号即可得到最终分解结果。
【解析】
第一步：提取公因式$-1$，将二次项系数化为正：
$-y^2 - 3y + 1 = -(y^2 + 3y - 1)$
第二步：求二次三项式$y^2 + 3y - 1$对应方程的根：
令$y^2 + 3y - 1 = 0$，其中$a=1，b=3，c=-1$，
计算判别式$\Delta = b^2-4ac=3^2 - 4×1×(-1)=13＞0$，方程有两个不等实根。
由求根公式得：$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即两个根为$y_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$y_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
第三步：代入因式分解公式：
$y^2 + 3y -1=(y-y_1)(y-y_2)=(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})$
第四步：带上提取的负号，得最终结果：
原式$=-(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$
【答案】
$-(y+\frac{3+\sqrt{13}}{2})(y-\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$
【知识点】
1. 提公因式法
2. 求根法因式分解
3. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解，核心是掌握用求根公式分解二次三项式的方法，解题时注意先处理负系数降低出错概率，代入根分解时要注意符号不要写错。
【难度系数】
0.6
8 在实数范围内因式分解：$x^2y^2 - 3xy - 2 =$
9 在实数范围内因式分解：$2x^2 - 3xy - 4y^2 =$
$(xy-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(xy-\frac{3-\sqrt{17}}{2})$
。9 在实数范围内因式分解：$2x^2 - 3xy - 4y^2 =$
$2(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)$
。答案
8. $(xy-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(xy-\frac{3-\sqrt{17}}{2})$
9. $2(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)$
9. $2(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)$
解析
【分析】
第8题运用整体换元思想，将$xy$看作一个整体，原式可转化为关于$xy$的标准二次三项式，先求出对应一元二次方程的根，再利用“若$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$”的规律分解；第9题将$y$看作常数，把原式看作关于$x$的二次三项式，同样用求根公式法分解，注意保留二次项系数即可。
【解析】
8. 设$t=xy$，则原式为$t^2 - 3t - 2$。
令$t^2 - 3t - 2=0$，其中$a=1,b=-3,c=-2$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-2)=17$，
由求根公式得$t=\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
因此$t^2 -3t -2=(t-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(t-\frac{3-\sqrt{17}}{2})$，
代回$t=xy$，得原式$=(xy-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(xy-\frac{3-\sqrt{17}}{2})$。
9. 将原式看作关于$x$的二次三项式，令$2x^2 - 3xy -4y^2=0$，将$y$看作常数，此时$a=2,b=-3y,c=-4y^2$，
判别式$\Delta = (-3y)^2 -4×2×(-4y^2)=41y^2$，
由求根公式得$x=\frac{3y±\sqrt{41}y}{4}=\frac{(3±\sqrt{41})y}{4}$，
因此$2x^2 -3xy -4y^2=2(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)$。
【答案】
8. $\boxed{(xy-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(xy-\frac{3-\sqrt{17}}{2})}$
9. $\boxed{2(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)}$
【知识点】
求根公式法因式分解，实数范围内因式分解，整体换元思想
【点评】
这两道题是实数范围内二次三项式因式分解的典型题，解题核心是灵活运用换元或主元思想，将待分解式子转化为标准二次三项式，再结合求根公式分解，注意分解时不要遗漏二次项系数，保证分解彻底。
【难度系数】
0.7
第8题运用整体换元思想，将$xy$看作一个整体，原式可转化为关于$xy$的标准二次三项式，先求出对应一元二次方程的根，再利用“若$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$”的规律分解；第9题将$y$看作常数，把原式看作关于$x$的二次三项式，同样用求根公式法分解，注意保留二次项系数即可。
【解析】
8. 设$t=xy$，则原式为$t^2 - 3t - 2$。
令$t^2 - 3t - 2=0$，其中$a=1,b=-3,c=-2$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-2)=17$，
由求根公式得$t=\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
因此$t^2 -3t -2=(t-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(t-\frac{3-\sqrt{17}}{2})$，
代回$t=xy$，得原式$=(xy-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(xy-\frac{3-\sqrt{17}}{2})$。
9. 将原式看作关于$x$的二次三项式，令$2x^2 - 3xy -4y^2=0$，将$y$看作常数，此时$a=2,b=-3y,c=-4y^2$，
判别式$\Delta = (-3y)^2 -4×2×(-4y^2)=41y^2$，
由求根公式得$x=\frac{3y±\sqrt{41}y}{4}=\frac{(3±\sqrt{41})y}{4}$，
因此$2x^2 -3xy -4y^2=2(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)$。
【答案】
8. $\boxed{(xy-\frac{3+\sqrt{17}}{2})(xy-\frac{3-\sqrt{17}}{2})}$
9. $\boxed{2(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}y)(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}y)}$
【知识点】
求根公式法因式分解，实数范围内因式分解，整体换元思想
【点评】
这两道题是实数范围内二次三项式因式分解的典型题，解题核心是灵活运用换元或主元思想，将待分解式子转化为标准二次三项式，再结合求根公式分解，注意分解时不要遗漏二次项系数，保证分解彻底。
【难度系数】
0.7
⑩ 在实数范围内因式分解：$-x^2 -4xy + y^2 = \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
10. $-(x+2y+\sqrt{5}y)(x+2y-\sqrt{5}y)$
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式，先提取负号将$x^2$的系数化为正，得到括号内关于$x$的二次三项式（将$y$看作常数）；接下来使用求根法对该二次三项式因式分解：先求解对应的一元二次方程的两个根，再根据二次三项式因式分解与对应方程根的关系$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$完成分解，最后整理得到最终结果即可。
【解析】
解：先提取公因式$-1$，得：
原式$=-(x^2 + 4xy - y^2)$
将$y$看作常数，求解关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4xy - y^2 = 0$：
判别式$\Delta=(4y)^2 - 4×1×(-y^2)=16y^2 + 4y^2=20y^2≥0$
由求根公式得：
$x=\frac{-4y\pm\sqrt{20y^2}}{2×1}=\frac{-4y\pm2\sqrt{5}y}{2}=-2y\pm\sqrt{5}y$
因此二次三项式$x^2 + 4xy - y^2$可分解为：
$x^2 + 4xy - y^2=(x - (-2y+\sqrt{5}y))(x - (-2y-\sqrt{5}y))=(x+2y-\sqrt{5}y)(x+2y+\sqrt{5}y)$
代回原式得：
原式$=-(x+2y+\sqrt{5}y)(x+2y-\sqrt{5}y)$
【答案】
$-(x+2y+\sqrt{5}y)(x+2y-\sqrt{5}y)$
【知识点】
提公因式法，二次三项式因式分解，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是实数范围内因式分解的典型题，解题时注意先处理负号简化计算，将多项式看作单个字母的二次三项式后借助求根公式分解即可，需注意分解结果要符合实数范围内的要求，形式整理到最简。
【难度系数】
0.6
首先观察待分解的多项式，先提取负号将$x^2$的系数化为正，得到括号内关于$x$的二次三项式（将$y$看作常数）；接下来使用求根法对该二次三项式因式分解：先求解对应的一元二次方程的两个根，再根据二次三项式因式分解与对应方程根的关系$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$完成分解，最后整理得到最终结果即可。
【解析】
解：先提取公因式$-1$，得：
原式$=-(x^2 + 4xy - y^2)$
将$y$看作常数，求解关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4xy - y^2 = 0$：
判别式$\Delta=(4y)^2 - 4×1×(-y^2)=16y^2 + 4y^2=20y^2≥0$
由求根公式得：
$x=\frac{-4y\pm\sqrt{20y^2}}{2×1}=\frac{-4y\pm2\sqrt{5}y}{2}=-2y\pm\sqrt{5}y$
因此二次三项式$x^2 + 4xy - y^2$可分解为：
$x^2 + 4xy - y^2=(x - (-2y+\sqrt{5}y))(x - (-2y-\sqrt{5}y))=(x+2y-\sqrt{5}y)(x+2y+\sqrt{5}y)$
代回原式得：
原式$=-(x+2y+\sqrt{5}y)(x+2y-\sqrt{5}y)$
【答案】
$-(x+2y+\sqrt{5}y)(x+2y-\sqrt{5}y)$
【知识点】
提公因式法，二次三项式因式分解，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是实数范围内因式分解的典型题，解题时注意先处理负号简化计算，将多项式看作单个字母的二次三项式后借助求根公式分解即可，需注意分解结果要符合实数范围内的要求，形式整理到最简。
【难度系数】
0.6
11 因式分解：$3x^2 - 6xy + 2y^2$。
答案
11. $3(x-\frac{3-\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}y)$
解析
【分析】
本题是对含双字母的二次三项式进行因式分解，观察式子可知无法通过提公因式、公式法、十字相乘法直接分解，因此我们可以将式子看作关于x的二次三项式，把y当作常数，先求解对应一元二次方程的根，再利用二次三项式因式分解和对应方程根的关系：若$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入根即可完成分解。
【解析】
将$3x^2 - 6xy + 2y^2$看作关于x的二次三项式，令$3x^2 - 6xy + 2y^2=0$，把y看作常数，该方程为关于x的一元二次方程。
第一步：计算判别式
$\Delta = (-6y)^2 - 4×3×2y^2 = 36y^2 - 24y^2 = 12y^2$
第二步：用求根公式求x的解
$x = \frac{6y \pm \sqrt{12y^2}}{2×3} = \frac{6y \pm 2\sqrt{3}y}{6} = \frac{3\pm\sqrt{3}}{3}y$
即两根为$x_1=\frac{3-\sqrt{3}}{3}y$，$x_2=\frac{3+\sqrt{3}}{3}y$
第三步：代入因式分解公式得：
$3x^2 - 6xy + 2y^2 = 3(x-\frac{3-\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}y)$
【答案】
$3(x-\frac{3-\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}y)$
【知识点】
求根法因式分解、一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查实数范围内二次三项式的因式分解，当常规因式分解方法不适用时，可借助求根公式法求解，分解时注意不要遗漏二次项系数。
【难度系数】
0.65
本题是对含双字母的二次三项式进行因式分解，观察式子可知无法通过提公因式、公式法、十字相乘法直接分解，因此我们可以将式子看作关于x的二次三项式，把y当作常数，先求解对应一元二次方程的根，再利用二次三项式因式分解和对应方程根的关系：若$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1、x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入根即可完成分解。
【解析】
将$3x^2 - 6xy + 2y^2$看作关于x的二次三项式，令$3x^2 - 6xy + 2y^2=0$，把y看作常数，该方程为关于x的一元二次方程。
第一步：计算判别式
$\Delta = (-6y)^2 - 4×3×2y^2 = 36y^2 - 24y^2 = 12y^2$
第二步：用求根公式求x的解
$x = \frac{6y \pm \sqrt{12y^2}}{2×3} = \frac{6y \pm 2\sqrt{3}y}{6} = \frac{3\pm\sqrt{3}}{3}y$
即两根为$x_1=\frac{3-\sqrt{3}}{3}y$，$x_2=\frac{3+\sqrt{3}}{3}y$
第三步：代入因式分解公式得：
$3x^2 - 6xy + 2y^2 = 3(x-\frac{3-\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}y)$
【答案】
$3(x-\frac{3-\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}y)$
【知识点】
求根法因式分解、一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查实数范围内二次三项式的因式分解，当常规因式分解方法不适用时，可借助求根公式法求解，分解时注意不要遗漏二次项系数。
【难度系数】
0.65
