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12 已知关于$x$的二次三项式$mx^2 - (2m - 1)x + m + 1$，问：
（1）当$m$为何值时，该二次三项式在实数范围内能因式分解？
（2）当$m$为何值时，该二次三项式能因式分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
（1）当$m$为何值时，该二次三项式在实数范围内能因式分解？
（2）当$m$为何值时，该二次三项式能因式分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
答案
12. (1) 因为关于x的二次三项式$mx^2-(2m-1)x+m+1$在实数范围内能因式分解，所以$m≠0$，且$\Delta=(2m-1)^2-4m(m+1)=-8m+1≥0$，所以$m≤\frac{1}{8}$且$m≠0$。
(2) 因为该二次三项式能因式分解成一个完全平方式，所以$m≠0$且$\Delta=-8m+1=0$，所以$m=\frac{1}{8}$。这个完全平方式为$\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}=\frac{1}{8}(x+3)^2$。
(2) 因为该二次三项式能因式分解成一个完全平方式，所以$m≠0$且$\Delta=-8m+1=0$，所以$m=\frac{1}{8}$。这个完全平方式为$\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}=\frac{1}{8}(x+3)^2$。
解析
【分析】
（1）首先该代数式是二次三项式，因此二次项系数m不能为0；二次三项式在实数范围内能因式分解，等价于对应的一元二次方程$mx^2-(2m-1)x+m+1=0$有实数根，因此只需满足判别式$\Delta ≥ 0$，联立两个条件即可求出m的取值范围。
（2）二次三项式能分解为完全平方式，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，结合$m≠0$求出m的值，再将m代入原式整理为完全平方式的形式即可。
【解析】
（1）
∵代数式是关于x的二次三项式，
∴$m≠0$。
要使该二次三项式在实数范围内能因式分解，即一元二次方程$mx^2-(2m-1)x+m+1=0$有实数根，
∴判别式$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4m(m+1) ≥ 0$
计算得：$\Delta = 4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 - 4m = -8m + 1 ≥ 0$
解得$m ≤ \frac{1}{8}$
综上，m的取值范围为$m ≤ \frac{1}{8}$且$m ≠ 0$。
（2）要使该二次三项式能因式分解成完全平方式，即一元二次方程$mx^2-(2m-1)x+m+1=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta = -8m + 1 = 0$，且$m ≠ 0$
解得$m = \frac{1}{8}$
将$m=\frac{1}{8}$代入原式得：
$\frac{1}{8}x^2 - (2×\frac{1}{8} - 1)x + \frac{1}{8} + 1 = \frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}$
整理为完全平方式：$\frac{1}{8}(x^2 + 6x + 9) = \frac{1}{8}(x+3)^2$
【答案】
（1）$m ≤ \frac{1}{8}$且$m ≠ 0$；
（2）$m=\frac{1}{8}$，完全平方式为$\frac{1}{8}(x+3)^2$
【知识点】
二次三项式的定义，一元二次方程根的判别式，完全平方式的特征
【点评】
本题解题的核心是将二次三项式的因式分解问题转化为对应一元二次方程的根的判别式问题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的前提条件，解题时要先确定二次项系数的限制再计算判别式。
【难度系数】
0.7
（1）首先该代数式是二次三项式，因此二次项系数m不能为0；二次三项式在实数范围内能因式分解，等价于对应的一元二次方程$mx^2-(2m-1)x+m+1=0$有实数根，因此只需满足判别式$\Delta ≥ 0$，联立两个条件即可求出m的取值范围。
（2）二次三项式能分解为完全平方式，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，结合$m≠0$求出m的值，再将m代入原式整理为完全平方式的形式即可。
【解析】
（1）
∵代数式是关于x的二次三项式，
∴$m≠0$。
要使该二次三项式在实数范围内能因式分解，即一元二次方程$mx^2-(2m-1)x+m+1=0$有实数根，
∴判别式$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4m(m+1) ≥ 0$
计算得：$\Delta = 4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 - 4m = -8m + 1 ≥ 0$
解得$m ≤ \frac{1}{8}$
综上，m的取值范围为$m ≤ \frac{1}{8}$且$m ≠ 0$。
（2）要使该二次三项式能因式分解成完全平方式，即一元二次方程$mx^2-(2m-1)x+m+1=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta = -8m + 1 = 0$，且$m ≠ 0$
解得$m = \frac{1}{8}$
将$m=\frac{1}{8}$代入原式得：
$\frac{1}{8}x^2 - (2×\frac{1}{8} - 1)x + \frac{1}{8} + 1 = \frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}$
整理为完全平方式：$\frac{1}{8}(x^2 + 6x + 9) = \frac{1}{8}(x+3)^2$
【答案】
（1）$m ≤ \frac{1}{8}$且$m ≠ 0$；
（2）$m=\frac{1}{8}$，完全平方式为$\frac{1}{8}(x+3)^2$
【知识点】
二次三项式的定义，一元二次方程根的判别式，完全平方式的特征
【点评】
本题解题的核心是将二次三项式的因式分解问题转化为对应一元二次方程的根的判别式问题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的前提条件，解题时要先确定二次项系数的限制再计算判别式。
【难度系数】
0.7
13 证明:若关于x的二次三项式$x^2 + 2x - (m + 9)$在实数范围内不能因式分解,则关于y的二次三项式$y^2 + my - 2m + 5$在实数范围内一定能因式分解。
答案
13. 因为二次三项式$x^2+2x-(m+9)$在实数范围内不能因式分解，所以$\Delta＜0$，解得$m＜-10$。二次三项式$y^2+my-2m+5$的判别式$\Delta=m^2+8m-20=(m+4)^2-36$，因为$m＜-10$，所以$(m+4)^2-36＞0$，所以关于y的二次三项式$y^2+my-2m+5$在实数范围内一定能因式分解。
解析
【分析】
要解决这道证明题，首先明确核心判断依据：对于二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$，若在实数范围内能因式分解，则判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$；若不能因式分解，则$\Delta＜0$。解题思路分为两步：第一步，根据第一个二次三项式不能因式分解的条件，计算其判别式并列不等式，求解得到参数$m$的取值范围；第二步，计算第二个二次三项式的判别式，代入$m$的取值范围判断判别式的符号，若判别式大于等于0，即可证明结论成立。
【解析】
证明：
1. 对于关于$x$的二次三项式$x^2+2x-(m+9)$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-(m+9)$，其判别式为：
$\Delta_1=2^2-4×1×[-(m+9)]=4+4(m+9)$
已知该式在实数范围内不能因式分解，因此$\Delta_1＜0$，即：
$4+4(m+9)＜0$
展开化简得：$4m+40＜0$
解得：$m＜-10$
2. 对于关于$y$的二次三项式$y^2+my-2m+5$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-2m+5$，其判别式为：
$\Delta_2=m^2-4×1×(-2m+5)=m^2+8m-20$
将判别式配方可得：$\Delta_2=(m+4)^2-36$
由$m＜-10$可得$m+4＜-6$，因此$(m+4)^2＞(-6)^2=36$
则$\Delta_2=(m+4)^2-36＞36-36=0$
因为$\Delta_2＞0$，所以该二次三项式在实数范围内一定能因式分解。
【答案】
原命题得证
【知识点】
1. 二次三项式因式分解判别条件
2. 一元一次不等式求解
3. 完全平方公式应用
【点评】
本题考察二次三项式因式分解与判别式的对应关系，解题逻辑清晰，先通过已知条件推导参数范围，再验证目标式的判别式符号，属于基础知识点的综合应用，掌握判别式的判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道证明题，首先明确核心判断依据：对于二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$，若在实数范围内能因式分解，则判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$；若不能因式分解，则$\Delta＜0$。解题思路分为两步：第一步，根据第一个二次三项式不能因式分解的条件，计算其判别式并列不等式，求解得到参数$m$的取值范围；第二步，计算第二个二次三项式的判别式，代入$m$的取值范围判断判别式的符号，若判别式大于等于0，即可证明结论成立。
【解析】
证明：
1. 对于关于$x$的二次三项式$x^2+2x-(m+9)$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-(m+9)$，其判别式为：
$\Delta_1=2^2-4×1×[-(m+9)]=4+4(m+9)$
已知该式在实数范围内不能因式分解，因此$\Delta_1＜0$，即：
$4+4(m+9)＜0$
展开化简得：$4m+40＜0$
解得：$m＜-10$
2. 对于关于$y$的二次三项式$y^2+my-2m+5$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-2m+5$，其判别式为：
$\Delta_2=m^2-4×1×(-2m+5)=m^2+8m-20$
将判别式配方可得：$\Delta_2=(m+4)^2-36$
由$m＜-10$可得$m+4＜-6$，因此$(m+4)^2＞(-6)^2=36$
则$\Delta_2=(m+4)^2-36＞36-36=0$
因为$\Delta_2＞0$，所以该二次三项式在实数范围内一定能因式分解。
【答案】
原命题得证
【知识点】
1. 二次三项式因式分解判别条件
2. 一元一次不等式求解
3. 完全平方公式应用
【点评】
本题考察二次三项式因式分解与判别式的对应关系，解题逻辑清晰，先通过已知条件推导参数范围，再验证目标式的判别式符号，属于基础知识点的综合应用，掌握判别式的判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
14 在实数范围内分解因式：$(x - 3)(x - 1)(x + 2)(x + 4) + 24$。
答案
14. 原式$=[(x-3)(x+4)][(x-1)(x+2)]+24=(x^2+x-12)(x^2+x-2)+24$，设$x^2+x=m$，则原式$=(m-12)(m-2)+24=m^2-14m+48=(m-6)(m-8)=(x^2+x-6)(x^2+x-8)=(x-2)(x+3)(x^2+x-8)=(x-2)(x+3)(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{33}}{2})$。
解析
【分析】
本题是多个一次多项式乘积加常数的因式分解题，解题思路如下：1. 先观察四个一次因式的常数项，将乘积后二次项、一次项相同的因式分为一组：即把(x-3)与(x+4)配对，(x-1)与(x+2)配对，相乘后得到两个二次项、一次项完全相同的二次式；2. 用换元法将重复出现的$x^2+x$设为新变量$m$，把原式转化为关于$m$的二次多项式，简化运算；3. 分解关于$m$的二次式后回代，再对得到的两个二次式分别分解，其中可十字相乘的先用十字相乘法分解，无法十字相乘的用求根公式在实数范围内分解为一次因式，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：第一步，分组计算：
原式$=[(x-3)(x+4)][(x-1)(x+2)]+24$
$=(x^2+x-12)(x^2+x-2)+24$
第二步，换元简化：设$x^2+x=m$，代入得：
原式$=(m-12)(m-2)+24$
$=m^2-14m+24+24$
$=m^2-14m+48$
第三步，分解关于$m$的二次式：
$m^2-14m+48=(m-6)(m-8)$
第四步，回代：
$=(x^2+x-6)(x^2+x-8)$
第五步，继续分解：
先对$x^2+x-6$用十字相乘法分解：$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$
再对$x^2+x-8$，判别式$\Delta=1^2-4×1×(-8)=33＞0$，由求根公式得两根为$x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}$，因此：
$x^2+x-8=(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{33}}{2})=(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{33}}{2})$
【答案】
$(x-2)(x+3)(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{33}}{2})$
【知识点】
换元法因式分解，十字相乘法因式分解，求根公式法因式分解
【点评】
本题的核心是合理分组，通过分组得到结构相同的二次式，再用换元法将高次式转化为熟悉的二次式降低运算难度，实数范围内分解因式需注意要分解到所有因式均为一次因式为止。
【难度系数】
0.4
本题是多个一次多项式乘积加常数的因式分解题，解题思路如下：1. 先观察四个一次因式的常数项，将乘积后二次项、一次项相同的因式分为一组：即把(x-3)与(x+4)配对，(x-1)与(x+2)配对，相乘后得到两个二次项、一次项完全相同的二次式；2. 用换元法将重复出现的$x^2+x$设为新变量$m$，把原式转化为关于$m$的二次多项式，简化运算；3. 分解关于$m$的二次式后回代，再对得到的两个二次式分别分解，其中可十字相乘的先用十字相乘法分解，无法十字相乘的用求根公式在实数范围内分解为一次因式，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：第一步，分组计算：
原式$=[(x-3)(x+4)][(x-1)(x+2)]+24$
$=(x^2+x-12)(x^2+x-2)+24$
第二步，换元简化：设$x^2+x=m$，代入得：
原式$=(m-12)(m-2)+24$
$=m^2-14m+24+24$
$=m^2-14m+48$
第三步，分解关于$m$的二次式：
$m^2-14m+48=(m-6)(m-8)$
第四步，回代：
$=(x^2+x-6)(x^2+x-8)$
第五步，继续分解：
先对$x^2+x-6$用十字相乘法分解：$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$
再对$x^2+x-8$，判别式$\Delta=1^2-4×1×(-8)=33＞0$，由求根公式得两根为$x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}$，因此：
$x^2+x-8=(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{33}}{2})=(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{33}}{2})$
【答案】
$(x-2)(x+3)(x-\frac{-1+\sqrt{33}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{33}}{2})$
【知识点】
换元法因式分解，十字相乘法因式分解，求根公式法因式分解
【点评】
本题的核心是合理分组，通过分组得到结构相同的二次式，再用换元法将高次式转化为熟悉的二次式降低运算难度，实数范围内分解因式需注意要分解到所有因式均为一次因式为止。
【难度系数】
0.4
