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12 已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程$x^2 - 2px + p^2 - 2p + 4 = 0$的两个实数根，求$(m + 5)(n + 5)$的最小值。
答案
12 因为$m$、$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2-2px+p^2-2p+4=0$的两个实数根,所以$m+n=2p$,$mn=p^2-2p+4$,所以$(m+5)(n+5)=mn+5(m+n)+25=p^2+8p+29=(p+4)^2+13$。因为方程有两个实数根,所以$\Delta=(-2p)^2-4(p^2-2p+4)=8p-16≥0$,所以$p≥2$,所以$(p+4)^2+13≥(2+4)^2+13=49$。
解析
【分析】
要计算$(m+5)(n+5)$的最小值，首先可以先展开该代数式，发现式子中包含$m+n$和$mn$，而m、n是一元二次方程的两个实数根，因此可以利用根与系数的关系把$m+n$和$mn$用含参数p的代数式表示，代入后就能得到关于p的二次式。另外要注意，一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta ≥ 0$，由此可以求出p的取值范围，最后在p的取值范围内求二次式的最小值即可。
【解析】
因为m、n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2px + p^2 - 2p + 4 = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2p$，$mn=p^2 - 2p + 4$。
展开所求代数式：
$(m+5)(n+5)=mn + 5m +5n +25 = mn + 5(m+n) +25$，
将$m+n$和$mn$代入得：
原式$=p^2 - 2p +4 +5×2p +25 = p^2 +8p +29$，
用配方法变形：$p^2 +8p +29 = (p+4)^2 +13$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，
计算判别式：$\Delta = (-2p)^2 - 4×1×(p^2 -2p +4) =8p -16$，
令$\Delta ≥ 0$，即$8p -16 ≥ 0$，解得$p ≥ 2$。
对于二次式$(p+4)^2 +13$，平方项非负，且p的取值范围是$p≥2$，当p取最小值2时，整个式子的值最小，
代入$p=2$得：$(2+4)^2 +13 = 36 +13 =49$。
【答案】
49
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；配方法求最值
【点评】
本题是一元二次方程相关的综合题，解题的关键是不要忽略“方程有两个实数根”的隐含条件，即判别式非负，若遗漏该条件直接求二次式的最小值会得到错误结果，需结合参数的取值范围求解最值。
【难度系数】
0.6
要计算$(m+5)(n+5)$的最小值，首先可以先展开该代数式，发现式子中包含$m+n$和$mn$，而m、n是一元二次方程的两个实数根，因此可以利用根与系数的关系把$m+n$和$mn$用含参数p的代数式表示，代入后就能得到关于p的二次式。另外要注意，一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta ≥ 0$，由此可以求出p的取值范围，最后在p的取值范围内求二次式的最小值即可。
【解析】
因为m、n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2px + p^2 - 2p + 4 = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2p$，$mn=p^2 - 2p + 4$。
展开所求代数式：
$(m+5)(n+5)=mn + 5m +5n +25 = mn + 5(m+n) +25$，
将$m+n$和$mn$代入得：
原式$=p^2 - 2p +4 +5×2p +25 = p^2 +8p +29$，
用配方法变形：$p^2 +8p +29 = (p+4)^2 +13$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，
计算判别式：$\Delta = (-2p)^2 - 4×1×(p^2 -2p +4) =8p -16$，
令$\Delta ≥ 0$，即$8p -16 ≥ 0$，解得$p ≥ 2$。
对于二次式$(p+4)^2 +13$，平方项非负，且p的取值范围是$p≥2$，当p取最小值2时，整个式子的值最小，
代入$p=2$得：$(2+4)^2 +13 = 36 +13 =49$。
【答案】
49
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；配方法求最值
【点评】
本题是一元二次方程相关的综合题，解题的关键是不要忽略“方程有两个实数根”的隐含条件，即判别式非负，若遗漏该条件直接求二次式的最小值会得到错误结果，需结合参数的取值范围求解最值。
【难度系数】
0.6
13 已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程$x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 5 = 0$的两个实数根。
(1) 若$(m - 1)(n - 1) = 28$，求 a 的值；
(2) 已知等腰$△ ABC$的一边长为 7，若 m、n 恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求$△ ABC$的周长。
(1) 若$(m - 1)(n - 1) = 28$，求 a 的值；
(2) 已知等腰$△ ABC$的一边长为 7，若 m、n 恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求$△ ABC$的周长。
答案
13 (1) 由根与系数关系得:$m+n=2(a+1)$,$mn=a^2+5$。由题意得$(m-1)(n-1)=28$,所以$mn-m-n+1=28$,所以$a^2+5-2(a+1)+1=28$,$a^2-2a-24=0$,解得$a_1=6$,$a_2=-4$。由$\Delta≥0$得:$[-2(a+1)]^2-4(a^2+5)≥0$,解得$a≥2$,所以$a=6$。
(2) 分两种情况:① 当$m=7$或$n=7$时,即方程有一根为7,把$x=7$代入方程得:$49-14(a+1)+a^2+5=0$,整理得$a^2-14a+40=0$,解得$a_1=10$,$a_2=4$。当$a=10$时,$x_1+x_2=2(a+1)=22$,解得$x_2=15$,而$7+7＜15$,故舍去;当$a=4$时,$x_1+x_2=2(a+1)=10$,解得$x_2=3$,则三角形周长为$3+7+7=17$;② 当$m=n$时,即方程有两个相等实根,$x_1=x_2$,则$\Delta=0$,$a=2$,方程化为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,则$3+3＜7$,故舍去。综上所述,这个三角形的周长为17。
(2) 分两种情况:① 当$m=7$或$n=7$时,即方程有一根为7,把$x=7$代入方程得:$49-14(a+1)+a^2+5=0$,整理得$a^2-14a+40=0$,解得$a_1=10$,$a_2=4$。当$a=10$时,$x_1+x_2=2(a+1)=22$,解得$x_2=15$,而$7+7＜15$,故舍去;当$a=4$时,$x_1+x_2=2(a+1)=10$,解得$x_2=3$,则三角形周长为$3+7+7=17$;② 当$m=n$时,即方程有两个相等实根,$x_1=x_2$,则$\Delta=0$,$a=2$,方程化为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,则$3+3＜7$,故舍去。综上所述,这个三角形的周长为17。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先利用一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和与两根之积关于a的表达式，再将已知的$(m-1)(n-1)=28$展开，代入两根和与积的表达式，即可得到关于a的一元二次方程，求解后还要结合方程有两个实数根的前提，用判别式$\Delta ≥ 0$筛选出符合条件的a的值。
(2) 解决第二问需结合等腰三角形的性质分两类讨论：① 7为等腰三角形的腰长，即方程有一个根是7，将$x=7$代入方程求出a的值，再求出另一根，验证三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况；② 7为等腰三角形的底边长，即方程的两根相等（两腰长相等），此时判别式$\Delta=0$，求出a的值后得到两根，再验证三边关系，最后结合符合条件的边长计算周长即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 5 = 0$，由根与系数的关系可得：
$m+n=2(a+1)$，$mn=a^2+5$
已知$(m-1)(n-1)=28$，将左边展开得：
$mn - m - n + 1 = 28$
把$m+n$和$mn$代入上式：
$a^2+5 - 2(a+1) + 1 = 28$
整理得：$a^2 - 2a - 24 = 0$
因式分解得$(a-6)(a+4)=0$，解得$a_1=6$，$a_2=-4$
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = [-2(a+1)]^2 - 4×1×(a^2+5) = 8a - 16 ≥ 0$
解得$a ≥ 2$，因此舍去$a=-4$，故$a=6$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当7为等腰三角形的腰长时，说明方程有一个根为7，将$x=7$代入原方程：
$7^2 - 2(a+1)×7 + a^2 +5 = 0$
整理得$a^2 -14a +40 = 0$，因式分解得$(a-10)(a-4)=0$，解得$a_1=10$，$a_2=4$
当$a=10$时，两根之和$m+n=2×(10+1)=22$，则另一根为$22-7=15$，此时三边长为7、7、15，因为$7+7=14＜15$，不满足三角形三边关系，舍去；
当$a=4$时，两根之和$m+n=2×(4+1)=10$，则另一根为$10-7=3$，此时三边长为3、7、7，满足三角形三边关系，周长为$3+7+7=17$。
② 当7为等腰三角形的底边长时，说明方程的两根为两腰长，即$m=n$，此时判别式$\Delta=0$：
$8a -16=0$，解得$a=2$
此时原方程化为$x^2 -6x +9=0$，解得$x_1=x_2=3$，三边长为3、3、7，因为$3+3=6＜7$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，三角形的周长为17。
【答案】
(1) $a=6$；(2) $△ ABC$的周长为17
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 根的判别式
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意挖掘隐含条件：一是一元二次方程有实根时判别式非负，二是三角形的三边需满足两边之和大于第三边，避免未检验导致出现增解的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问首先利用一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和与两根之积关于a的表达式，再将已知的$(m-1)(n-1)=28$展开，代入两根和与积的表达式，即可得到关于a的一元二次方程，求解后还要结合方程有两个实数根的前提，用判别式$\Delta ≥ 0$筛选出符合条件的a的值。
(2) 解决第二问需结合等腰三角形的性质分两类讨论：① 7为等腰三角形的腰长，即方程有一个根是7，将$x=7$代入方程求出a的值，再求出另一根，验证三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况；② 7为等腰三角形的底边长，即方程的两根相等（两腰长相等），此时判别式$\Delta=0$，求出a的值后得到两根，再验证三边关系，最后结合符合条件的边长计算周长即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 5 = 0$，由根与系数的关系可得：
$m+n=2(a+1)$，$mn=a^2+5$
已知$(m-1)(n-1)=28$，将左边展开得：
$mn - m - n + 1 = 28$
把$m+n$和$mn$代入上式：
$a^2+5 - 2(a+1) + 1 = 28$
整理得：$a^2 - 2a - 24 = 0$
因式分解得$(a-6)(a+4)=0$，解得$a_1=6$，$a_2=-4$
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = [-2(a+1)]^2 - 4×1×(a^2+5) = 8a - 16 ≥ 0$
解得$a ≥ 2$，因此舍去$a=-4$，故$a=6$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当7为等腰三角形的腰长时，说明方程有一个根为7，将$x=7$代入原方程：
$7^2 - 2(a+1)×7 + a^2 +5 = 0$
整理得$a^2 -14a +40 = 0$，因式分解得$(a-10)(a-4)=0$，解得$a_1=10$，$a_2=4$
当$a=10$时，两根之和$m+n=2×(10+1)=22$，则另一根为$22-7=15$，此时三边长为7、7、15，因为$7+7=14＜15$，不满足三角形三边关系，舍去；
当$a=4$时，两根之和$m+n=2×(4+1)=10$，则另一根为$10-7=3$，此时三边长为3、7、7，满足三角形三边关系，周长为$3+7+7=17$。
② 当7为等腰三角形的底边长时，说明方程的两根为两腰长，即$m=n$，此时判别式$\Delta=0$：
$8a -16=0$，解得$a=2$
此时原方程化为$x^2 -6x +9=0$，解得$x_1=x_2=3$，三边长为3、3、7，因为$3+3=6＜7$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，三角形的周长为17。
【答案】
(1) $a=6$；(2) $△ ABC$的周长为17
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 根的判别式
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意挖掘隐含条件：一是一元二次方程有实根时判别式非负，二是三角形的三边需满足两边之和大于第三边，避免未检验导致出现增解的错误。
【难度系数】
0.6
14 关于 $x$ 的方程 $x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根。
（1）求实数 $k$ 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$，是否存在这样的实数 $k$，使得 $|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$？ 若存在，求出这样的 $k$ 值；若不存在，说明理由。
（1）求实数 $k$ 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$，是否存在这样的实数 $k$，使得 $|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$？ 若存在，求出这样的 $k$ 值；若不存在，说明理由。
答案
14 (1) 因为方程有两个不相等的实数根,所以$\Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11＞0$,解得$k＞\frac{11}{4}$。
(2) 存在。因为$x_1+x_2=2k-1$,$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$,所以将$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$两边平方可得$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$,即$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$。代入,得$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$,解得$k=4$。
(2) 存在。因为$x_1+x_2=2k-1$,$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$,所以将$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$两边平方可得$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$,即$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$。代入,得$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$,解得$k=4$。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可直接利用根的判别式Δ＞0建立不等式求解。先计算出该方程的判别式，再解关于k的一元一次不等式，就能得到k的取值范围。
（2）要判断是否存在满足$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$的k值，首先用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，先由两根之积恒为正判断两根同号，再结合第一问k的范围判断两根之和为正，可知两根均为正数，也可以直接将等式两边平方，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于k的方程，求解后验证解是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
（1）
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
计算得：$\Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11$，
∴ $4k-11＞0$，
解得$k＞\frac{11}{4}$。
（2）存在这样的实数k，理由如下：
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k-1$，$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$，
可知$x_1$、$x_2$同号，结合$k＞\frac{11}{4}$可得$x_1+x_2=2k-1＞0$，即两根均为正数，$|x_1|=x_1$，$|x_2|=x_2$。
将$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$两边平方得：$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$，
变形得：$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$，
代入根与系数的关系得：$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$，
解得$k=4$，验证可知$4＞\frac{11}{4}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $k＞\frac{11}{4}$；(2) 存在，$k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；绝对值运算
【点评】
本题属于一元二次方程的常见综合题型，解题时要先通过判别式确定参数的取值范围，后续求解得到的参数值要验证是否符合该范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可直接利用根的判别式Δ＞0建立不等式求解。先计算出该方程的判别式，再解关于k的一元一次不等式，就能得到k的取值范围。
（2）要判断是否存在满足$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$的k值，首先用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，先由两根之积恒为正判断两根同号，再结合第一问k的范围判断两根之和为正，可知两根均为正数，也可以直接将等式两边平方，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入后得到关于k的方程，求解后验证解是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
（1）
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
计算得：$\Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11$，
∴ $4k-11＞0$，
解得$k＞\frac{11}{4}$。
（2）存在这样的实数k，理由如下：
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k-1$，$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$，
可知$x_1$、$x_2$同号，结合$k＞\frac{11}{4}$可得$x_1+x_2=2k-1＞0$，即两根均为正数，$|x_1|=x_1$，$|x_2|=x_2$。
将$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$两边平方得：$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$，
变形得：$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$，
代入根与系数的关系得：$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$，
解得$k=4$，验证可知$4＞\frac{11}{4}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $k＞\frac{11}{4}$；(2) 存在，$k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；绝对值运算
【点评】
本题属于一元二次方程的常见综合题型，解题时要先通过判别式确定参数的取值范围，后续求解得到的参数值要验证是否符合该范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
