9.「2026山西临汾期末，★☆」勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度$BE=0.8\ \mathrm{m}$，将它往前推$3\ \mathrm{m}$至$C$处(即水平距离$CD=3\ \mathrm{m}$)时，踏板离地的垂直高度$CF=2.6\ \mathrm{m}$，它的绳索始终拉直，则绳索$AC$的长是$\mathrm{m}$.

答案 3.4
解析 由题意得 DE = CF = 2.6 m,BE = 0.8 m,所以BD=2.6-0.8=1.8(m),设绳索 AC 的长是 x m,所以AB=x m,所以 AD=AB-BD=(x-1.8)m,在 Rt△ADC 中,由勾股定理得 AC²=AD²+CD²,即 x²=(x-1.8)²+3²,解得x=3.4,所以 AC=3.4 m,即绳索 AC 的长为 3.4 m.

10.「2026山西太原十二中月考，★☆」消防车和云梯的示意图如图所示，云梯最多只能伸长25米，消防车高4米.某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一位老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A到楼房的距离OA为15米.
(1)求B处到地面的距离.
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处上方4米的D处有一个小孩没有及时撤离，为了救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米(云梯长度不变)？

解析 (1)在 Rt△OAB 中,AB=25 米,OA=15 米,所以 OB²=AB²-OA²=25²-15²=400=20²,所以 OB=20 米,
因为 OE=4 米,所以 BE=OB+OE=20+4=24(米).
答:B 处到地面的距离是 24 米.
(2)因为 BD=4 米,
所以 OD=OB+BD=20+4=24(米),
因为 CD=25 米,
所以 OC²=CD²-OD²=25²-24²=49=7²,所以 OC=7 米,所以 AC=OA-OC=15-7=8(米).
答:消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离 AC 为8 米.

11. 核心素养 推理能力 聚焦中考 项目式学习「2025江苏无锡期中」
【项目主题】监控器如何布设更好？
【项目背景】监控器有效监测距离为500 m，最大监测角度为90°.村落、河流如图所示，河流南岸长5 000 m.监控布设线l距离河流南岸300 m，l上任意两个监控(M₁,M₂,…)之间的距离相等.
【项目方案】
(1)方案1:如图1所示，从河流南岸边缘A点处起，使AM₁=500 m，BM₁⊥AB，AB为监控器M₁的监测范围，以此类推，继续布设监控器，至少需要布设多少监控器？
(2)方案2:如图2所示，A点为河流南岸边缘，AB为监控器M₁的监测范围，BC为监控器M₂的监测范围，AM₁⊥BM₁，BM₂⊥CM₂，BM₁=CM₂=375 m，以此类推，继续布设监控器，至少需要布设多少监控器？
【项目总结】
(3)方案更好.

解析 (1)在 Rt△ABM₁ 中,BM₁=300 m,AM₁=500 m,所以 AB²=AM₁²-BM₁²=500²-300²=400²,所以 AB=400 m,因为河流南岸的长度为 5 000 m,5 000÷400=12.5,所以至少需要布设 13 个监控器.
(2)如图所示,过点 M₁ 作 M₁N ⊥ AB 于点 N,依题意得 M₁N=300 m,在 Rt△M₁NB 中,BM₁=375 m,所以BN²=BM₁²-M₁N²=375²-300²=225²,所以 BN=225 m,
设 AN=x m,则 AB=BN+AN=(225+x)m.
在 Rt△AM₁N 中,AM₁²=AN²+M₁N²=x²+300²,
在 Rt△ABM₁ 中,AM₁²=AB²-BM₁²=(225+x)²-375²,
所以 x²+300²=(225+x)²-375²,
解得 x=400,所以 AN=400 m.
在 Rt△AM₁N 中,AM₁²=AN²+M₁N²=400²+300²=500²,所以 AM₁=500 m.
因为监控器有效监测距离为 500 m,所以符合题意,所以 AB=AN+BN=400+225=625(m),
因为河流南岸的长度为 5 000 m,5 000÷625=8,所以至少需要布设 8 个监控器.

(3)方案 2 更好,原因是方案 2 中布设监控器个数少.