1.「2025山东东营利津期中」如图，将直角边AC=6 cm，BC=8 cm的直角三角形ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BD=cm.

答案 $\frac{25}{4}$
解析 设 $CD=x$ cm,则 $DB=(8-x)$ cm. 由折叠可知$AD=BD=(8-x)$ cm. 因为 $△ ACD$ 是直角三角形,所以$AC^2=AD^2-CD^2$,即 $6^2=(8-x)^2-x^2$,解得 $x=\frac{7}{4}$,所以$BD=8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}(\mathrm{cm}).$

2.「2026 江苏常州期中」如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=5.将纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是.

答案 $\frac{17}{5}$
解析 根据折叠的性质,可知 $AB=AD,ED=EC$,所以$∠ ADB=∠ B,∠ EDC=∠ C$,因为$∠ BAC=90°$,所以$∠ B+∠ C=90°$,所以$∠ ADB+∠ EDC=90°$,所以$∠ ADE=90°$,设 $AE=x$,因为 $AB=3,AC=5$,所以 $AD=3,CE=5-x$,所以 $ED=5-x$,在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,根据勾股定理,得 $3^2+(5-x)^2=x^2$,解得 $x=\frac{17}{5}$,所以 $AE=\frac{17}{5}.$

3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=15$.点$P$从点$B$出发沿$BC$向右以每秒2个单位长度的速度运动,当点$P$与点$C$重合时,停止运动.设点$P$的运动时间为$t$秒,连接$AP$.
(1)当$t=4.5$时,求$AP$的长.
(2)如图2,将$△ APC$沿直线$AP$折叠,使得点$C$的对应点$M$恰好落在边$AB$上,求此时$t$的值.

解析 (1)由题意得 $BP=2t$,所以 $PC=15-2t$,当 $t=4.5$ 时, $PC=15-2×4.5=6$.因为 $AC=8,∠ ACB=90°$,所以 $AP^2=AC^2+PC^2=8^2+6^2=100=10^2$,所以 $AP=10$.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC=8,BC=15$, 所以 $AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=289=17^2$,所以 $AB=17$.
由折叠的性质可知$∠ AMP=∠ ACP=90°,AM=AC=8$,$MP=CP=15-2t$,所以 $BM=17-8=9,∠ BMP=90°$,所以 $BP^2=BM^2+PM^2$,所以 $(2t)^2=9^2+(15-2t)^2$,解得 $t=5.1$,故此时 $t$ 的值为 5.1.

4.如图,在长方形ABCD中,AB=5,AD=3,点E为BC上一点,把△CDE沿DE翻折,点C恰好落在AB边上的点F处,则CE的长是 ()

A.1
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{3}$

D 因为四边形 $ABCD$ 是长方形,所以 $AB=CD=5$,$AD=BC=3$,设 $CE=x$,则 $BE=3-x$.由折叠可知 $EF=CE=x,DF=CD=5$.在 $\mathrm{Rt}△ DAF$ 中, $AD=3,DF=5$,所以$AF^2=DF^2-AD^2=5^2-3^2=16=4^2$,所以 $AF=4$,所以 $BF=AB-AF=1$.在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,$BE^2+BF^2=EF^2$,即 $(3-x)^2+1^2=x^2$,解得 $x=\frac{5}{3}$,所以 $CE=\frac{5}{3}$.故选 D.

5.「2026陕西西安莲湖期末改编」如图,四边形ABCD是长方形,$AB=8,BC=4$,将长方形ABCD沿AC折叠,点D落在点$D'$处,$CD'$与AB交于点F,则$△ AFC$的面积为.

答案 10
解析 由折叠可知 $AD=AD',∠ D=∠ D'=90°$,因为四边形 $ABCD$ 是长方形,所以 $∠ B=90°,AD=CB$,所以$AD'=CB=4,∠ D'=∠ B$,又 $∠ AFD'=∠ CFB$,所以$△ AFD'≌△ CFB$,所以 $D'F=BF$,设 $D'F=x$,则 $BF=D'F=x$,因为 $AB=8$,所以 $AF=8-x$,在 $\mathrm{Rt}△ AFD'$ 中,$AF^2=D'F^2+AD'^2$,所以 $(8-x)^2=x^2+4^2$,解得 $x=3$,所以 $AF=8-3=5$,所以 $S_{△ AFC}=\frac{1}{2}AF· BC=\frac{1}{2}×5×4=10$.故答案为 10.

6.如图,已知正方形ABCD的边长为12,BE=EC,将△CDE沿DE折叠得到△FDE,延长EF交AB于点G,则△BEG的周长为。

答案 24
解析 如图,连接 $GD$,由折叠可得 $DF=DC,EF=EC$,$∠ DFE=∠ C$,因为四边形 $ABCD$ 是正方形,所以 $DC=DA,∠ A=∠ C=90°$,所以 $DF=DA,∠ DFE=90°$,所以$∠ DFG=90°$,在 $\mathrm{Rt}△ ADG$ 中,$AG^2=DG^2-AD^2$,在 $\mathrm{Rt}△ FDG$中,$FG^2=DG^2-DF^2$,因为 $DG=DG,AD=DF$,所以 $AG=FG$,因为正方形 $ABCD$ 的边长是 $12,BE=EC$,所以 $BE=EC=EF=6$,设 $AG=FG=x$,则 $EG=x+6,BG=12-x$,由勾股定理得 $EG^2=BE^2+BG^2$,即 $(x+6)^2=6^2+(12-x)^2$,解得$x=4$,所以 $AG=GF=4$,所以 $EG=10,BG=8$,所以 $△ BEG$的周长为 $BE+BG+EG=6+8+10=24$.故答案为 24.

7.如图,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,已知AD=15,AB=9.
(1)求BF的长.
(2)求阴影部分的面积.

解析 (1)由折叠的性质可知 $AF=AD=15$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$BF^2=AF^2-AB^2=15^2-9^2=144=12^2$,所以 $BF=12$.
(2)因为 $BC=AD=15,BF=12$,所以 $CF=BC-BF=3$.
设 $DE=x$,则 $EF=x,CE=9-x$.
在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中,由勾股定理得 $FC^2+CE^2=EF^2$,
所以 $3^2+(9-x)^2=x^2$,解得 $x=5$,即 $DE=5$,
所以阴影部分的面积为 $15×9-2S_{△ ADE}=135-75=60$.