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1. 情境 数学文化 发展史 「2026江苏盐城建湖期中」青朱出入图(图1)是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，图中两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形。为便于叙述，将其绘成图2，记朱方对应的正方形GDJH的边长为$a$，青方对应的正方形ABCD的边长为$b$，已知$a + b = 10$，$a^2 + b^2 = 52$，则图2中阴影部分的面积为
24
。答案
1. 答案 24
解析 由题意可知 $GD = GH = a, CD = CB = b, △ KAM ≌ △ IJC, △ GFN ≌ △ CMB, △ GHI ≌ △ FNK, ∠ CDG = ∠ MBC=90°,$ 所以 $S_{△ KAM}=S_{△ IJC}, FN = MB, GH = FN,$ 所以 $GD = GH = FN = MB = a,$ 所以 $△ CMB ≌ △ CGD (SAS),$ 所以阴影部分的面积 $= S_{△ CGD} + S_{△ CMB} = 2S_{△ CGD} = 2 × \frac{1}{2}ab = ab,$ 因为 $a + b = 10, a^2 + b^2 = 52,$ 所以 $ab = \frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{100-52}{2}=24,$ 所以阴影部分的面积为24.
解析 由题意可知 $GD = GH = a, CD = CB = b, △ KAM ≌ △ IJC, △ GFN ≌ △ CMB, △ GHI ≌ △ FNK, ∠ CDG = ∠ MBC=90°,$ 所以 $S_{△ KAM}=S_{△ IJC}, FN = MB, GH = FN,$ 所以 $GD = GH = FN = MB = a,$ 所以 $△ CMB ≌ △ CGD (SAS),$ 所以阴影部分的面积 $= S_{△ CGD} + S_{△ CMB} = 2S_{△ CGD} = 2 × \frac{1}{2}ab = ab,$ 因为 $a + b = 10, a^2 + b^2 = 52,$ 所以 $ab = \frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{100-52}{2}=24,$ 所以阴影部分的面积为24.
2.「2026广西崇左期中改编」在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$BC=15$，则$AC^2$的值是（
A.289
B.161或169
C.289或161
D.169或289
C
）A.289
B.161或169
C.289或161
D.169或289
答案
2.C 分情况讨论:①当$∠ B = 90°$时,根据勾股定理得$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 289$.
②当$∠ A = 90°$时,根据勾股定理得$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 15^2 - 8^2 = 161$.
综上所述,$AC^2$的值是289或161.故选C.
②当$∠ A = 90°$时,根据勾股定理得$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 15^2 - 8^2 = 161$.
综上所述,$AC^2$的值是289或161.故选C.
3.「2026山东菏泽牡丹月考改编」已知$△ ABC$中，$AB=17$，$AC=10$，$BC$边上的高$AD=8$，试求$△ ABC$的面积.
答案
3.解析 分情况讨论:当高$AD$在$△ ABC$内部时,如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 225 = 15^2$,所以$BD = 15$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 10^2 - 8^2 = 36 = 6^2$,所以$CD = 6$,所以$BC = BD + CD = 15 + 6 = 21$,所以$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 21 × 8 = 84$.
当高$AD$在$△ ABC$外部时,如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 225 = 15^2$,所以$BD = 15$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 10^2 - 8^2 = 36 = 6^2$,所以$CD = 6$,所以$BC = BD - CD = 15 - 6 = 9$,所以$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2} × 9 × 8 = 36$.
综上所述,$△ ABC$的面积为84或36.
4.「2026江苏苏州期末」某型号推拉式窗户如图1所示，当窗户关闭时，点A与点B重合，窗户开启时，如图2，线段AB=15 cm，此时窗户的最低点B相对于未开启时的最低点升高了2 cm，则该窗户的高OA为（
A.57 cm
B.56.25 cm
C.54 cm
D.58.25 cm
B
）A.57 cm
B.56.25 cm
C.54 cm
D.58.25 cm
答案
4.B 由题意可知$AB = 15\ \mathrm{cm}, AC = 2\ \mathrm{cm}$,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$BC^2 = AB^2 - AC^2$,在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$BC^2 = OB^2 - OC^2$,所以$OB^2 - OC^2 = AB^2 - AC^2$,设$OB = OA = x\ \mathrm{cm}$,则$OC = (x-2)\mathrm{cm}$,所以$x^2 - (x-2)^2 = 15^2 - 2^2$,解得$x = 56.25$,所以$OA = 56.25\ \mathrm{cm}$.故选B.
5.「2026山东德州月考」如图,在一条河流的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,AB=AC,由于某种原因,由 C 到 A 的路现已不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路 CH,测得 CB=1.5 千米,CH=1.2 千米,HB=0.9 千米.
(1)CH 是不是从村庄 C 到河边最近的路? 请通过计算说明.
(2)求新路 CH 比原路 CA 少多少千米.
(1)CH 是不是从村庄 C 到河边最近的路? 请通过计算说明.
(2)求新路 CH 比原路 CA 少多少千米.
答案
5.解析 (1)是.因为$CB = 1.5$千米,$CH = 1.2$千米,$HB = 0.9$千米,所以$CH^2 + HB^2 = 1.2^2 + 0.9^2 = 2.25$,$CB^2 = 1.5^2 = 2.25$,所以$CH^2 + HB^2 = CB^2$,所以$△ CHB$是直角三角形,所以$CH ⊥ AB$,所以$CH$是从村庄$C$到河边最近的路.
(2)设$AC = x$千米,因为$AB = AC$,所以$AB = x$千米,所以$AH = AB - BH = (x-0.9)$千米,在$\mathrm{Rt}△ CHA$中,$AC^2 = AH^2 + CH^2$,即$x^2 = (x-0.9)^2 + 1.2^2$,解得$x = 1.25$,所以$AC = 1.25$千米,所以新路$CH$比原路$CA$少$1.25 - 1.2 = 0.05$(千米).
(2)设$AC = x$千米,因为$AB = AC$,所以$AB = x$千米,所以$AH = AB - BH = (x-0.9)$千米,在$\mathrm{Rt}△ CHA$中,$AC^2 = AH^2 + CH^2$,即$x^2 = (x-0.9)^2 + 1.2^2$,解得$x = 1.25$,所以$AC = 1.25$千米,所以新路$CH$比原路$CA$少$1.25 - 1.2 = 0.05$(千米).
