1[2025浙江台州期末]如图，$BE=CF$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ BC$，要根据“HL”证明 $\mathrm{Rt} △ ABE ≌ \mathrm{Rt} △ DCF$，则还需要添加一个条件是 （）

A.$AE=DF$
B.$∠ A= ∠ D$
C.$∠ B= ∠ C$
D.$AB=DC$
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）

1.D 【解析】添加的条件是AB=CD. 因为AE⊥BC,DF⊥BC,所以∠AEB = ∠CFD = 90°. 在Rt△ABE 和 Rt △DCF 中，$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$所以 Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),故选 D.

2 如图所示,已知在$△ ABC$中,$∠ C=90°, AE=AC, DE ⊥ AB$交$AB$于点$E$,若$∠ B=40°$,则$∠ ADE=$ ()

A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$

2.C 【解析】因为 DE ⊥ AB,所以∠AED = ∠C = 90°. 在 Rt △ACD 与 Rt △AED 中，$\begin{cases} AC=AE, \\ AD=AD, \end{cases}$所以Rt△ACD≌Rt△AED(HL),所以∠ADC = ∠ADE. 因为∠DEB = 90°, ∠B = 40°, 所以 ∠BDE = 50°,所以∠CDE = 180°- ∠BDE = 130°,所以∠ADE = $\frac{1}{2}$∠CDE = 65°,故选 C.

3[2026北京朝阳区期中]如图,C是路段AB的中点,甲、乙两人同时从C出发,以相同的速度分别沿CD,CE两条直线行走,并同时到达D,E两地,已知$DA ⊥ AB$,$EB ⊥ AB$,由此可判定$△ ACD ≌ △ BCE$,判定的依据是“”.(填字母简写)

3.HL 【解析】因为 C 是路段 AB 的中点,所以 AC = BC. 因为甲、乙两人同时从 C 出发,以相同的速度分别沿 CD,CE 两条直线行走,并同时到达 D,E两地,所以 CD = CE. 因为 DA ⊥ AB,EB ⊥ AB,所以∠A = ∠B = 90°. 在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中，$\begin{cases} CD=CE, \\ AC=BC, \end{cases}$所以 Rt△ACD≌Rt△BCE(HL),所以判定的依据是“HL”,故答案为 HL.

4[2025浙江宁波质检]如图，MN//PQ，点A,D在直线MN上，点B,C在直线PQ上，AB⊥PQ，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=。

4.7 【解析】因为 MN//PQ,AB ⊥ PQ,所以 AB ⊥ MN,所以∠DAE = ∠EBC = 90°. 在 Rt △ADE 和Rt △BEC 中，$\begin{cases} DE=EC, \\ AD=BE, \end{cases}$ 所以 Rt △ADE ≌ Rt△BEC(HL),所以 AE = BC,所以 AB = BE + AE = AD+BC=7,故答案为 7.

5[2025浙江湖州期中]如图，∠ABC=45°,AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F且有BF=AC.求证:Rt△BFD≌Rt△ACD.

5.【证明】因为 AD 是 △ABC 的高,所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°. 因为 ∠ABC = 45°,所以 ∠BAD = 45° = ∠ABC,所以 AD = BD. 在 Rt △BFD 和Rt△ACD 中，$\begin{cases} BF=AC, \\ BD=AD, \end{cases}$ 所 以 Rt △BFD ≌ Rt△ACD(HL).

6 如图,有两把完全相同的直尺,一把直尺的一边与射线OB重叠,另一把直尺的一边与射线OA重叠并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是$∠ BOA$的平分线.”他这样说的依据是()

A.角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）

6.A 【解析】如图所示,过两把直尺的交点 P 作PE⊥AO 于 E,PF⊥BO 于 F. 因为这两把直尺完全相同,所以 PE = PF,所以 OP 平分∠AOB. 故小明这样说的依据是角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

7[2025浙江杭州期中]如图，P为∠AOB内部一点，过点P作$PA⊥OA$于点A，$PB⊥OB$于点B，$PA=PB$，C为OP上一点，$CD⊥OB$于点D，且$CD=2$，则点C到OA的距离是。

7.2 【解析】过 C 作 CE ⊥ OA 于 E,则 CE 的长即为点 C 到 OA 的距离. 因为 P 为 ∠AOB 内部一点,PA ⊥ OA,PB ⊥ OB,PA = PB,所以 OP 平分∠AOB. 因为 CD ⊥ OB,CE ⊥ OA,所以 CE = CD =2,故答案为 2.

8 如图,点 O 是△ABC 内的一点,且点 O 到边 AB,BC,CA 的距离相等,连结 OB,OC,若∠A=78°,则∠BOC 的度数为.

8.129° 【解析】由三角形内角和定理,得∠ABC+∠ACB = 180°- ∠A = 102°. 因为点 O 到边 AB,BC,CA 的距离相等,所以 BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,所以 ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=51°,所以∠BOC = 180°-51° = 129°,故答案为 129°.

9 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,BD 平分∠ABC,点 O 在 BD 上,分别过点 O 作 OE ⊥ BC,OF ⊥ AC,垂足分别为 E,F,且 OE = OF.
(1)求证:点 O 在∠BAC 的平分线上.
(2)若 AC = 5,BC = 12,求 OE 的长.

9.(1)【证明】如图,过点 O 作 OM ⊥ AB 于 M. 因为 BD 是 ∠ABC 的平分线,所以 OE = OM. 因为 OE = OF,所以 OF = OM,所以点 O 在∠BAC 的平分线上.
(2)【解】如图,连结 OC. 由(1)知 OE = OF = OM. 因为在 Rt△ABC 中,AC = 5,BC = 12,所以 AB = $\sqrt{5^2+12^2}$ = 13, $S_{△ABC}$ = $\frac{1}{2}$ × 12 × 5 = 30.
因为 $S_{△ABC}=S_{△OBC}+S_{△AOC}+S_{△AOB}=\frac{1}{2}×12OE+\frac{1}{2}×5OF+\frac{1}{2}×13OM=\frac{1}{2}×30OE=15OE=30$,所以 OE = 2.
思路分析
(1)过点 O 作 OM ⊥ AB 于 M,由角平分线的性质得 OE = OM,由 OE = OF 得 OM=OF,由角平分线性质定理的逆定理得点 O 在∠BAC 的平分线上.
(2)连结 OC,根据三角形的面积公式列式即可得出结论.