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1[2025江苏宿迁期中,中]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,PQ=AB,当△PAQ与△ABC全等时,AP的长度为(
A.6
B.6或12
C.8
D.8或12
（第1题图）
（第2题图）
B
)A.6
B.6或12
C.8
D.8或12
（第1题图）（第2题图）
答案
1.B 【解析】因为 ∠C = 90°,AX ⊥ AC,所以 ∠C = ∠QAP=90°. ①当 AP = BC = 6 时,在 Rt△ACB 和Rt△QAP 中,$\begin{cases} AB=QP, \\ BC=AP, \end{cases}$所以 Rt△ACB≌Rt△QAP(HL). ②当 AP = AC = 12 时,在 Rt△ACB 和Rt△PAQ 中,$\begin{cases} AB=QP, \\ AC=AP, \end{cases}$所以 Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL). 综上所述,当△PAQ 与△ABC 全等时,AP的长度为 6 或 12. 故选 B.
2[中]如图所示,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,延长AB至点E,使$AE=AC$,过E作$EF⊥ AC$于点F,EF交BC于点G,连结AG,若$∠ C=40°$,则$∠ EAG$的度数是（
A.$25°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$35°$
A
）A.$25°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
2.A 【解析】因为 ∠ABC = 90°,EF ⊥ AC,所以∠ABC = ∠AFE = 90°. 在△AEF 与△ACB 中，$\begin{cases} ∠EAF=∠CAB, \\ ∠AFE=∠ABC, \\ AE=AC, \end{cases}$所以 △AEF ≌ △ACB (AAS),所以 AF = AB. 因为 ∠ABC = 90°, ∠C = 40°,所以 ∠BAC=50°. 在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中，$\begin{cases} AG=AG, \\ AB=AF, \end{cases}$ 所以 Rt△ABG≌ Rt △AFG ( HL ),所以∠EAG=∠FAG=$\frac{1}{2}$×50°=25°. 故选 A.
关键点拨
首先证明△ABC≌△AFE,得出 AB = AF,再证明Rt△AGF≌Rt△AGB,得出∠EAG = ∠FAG即可解决问题.
关键点拨
首先证明△ABC≌△AFE,得出 AB = AF,再证明Rt△AGF≌Rt△AGB,得出∠EAG = ∠FAG即可解决问题.
3 [2026 江苏无锡调研，中]如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=3，则BF的长为
7
。答案
3.7 【解析】如图,连结 EF. 在长方形 ABCD 中, AB = CD, ∠A = ∠D = 90°. 因为将△ABE沿 BE 折叠后得到△GBE,E 是 AD 的中点,所以 BG=AB,∠EGB = ∠A = 90°, EG = AE = ED,所以 ∠EGF = 90°. 在Rt △EGF 与 Rt △EDF 中，$\begin{cases} EG=ED, \\ EF=EF, \end{cases}$ 所以Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),所以 FG = FD. 因为 CF = 1,FD = 3,所以 AB = CD = CF + FD = 1+3 = 4,FG = FD = 3,所以 BG = AB = 4,所以 BF = BG+FG =4+3=7,故答案为 7.
4 新考法[2026江苏镇江调研,中]如图,用直角三角尺ABC摆放两次可以画出∠MON的平分线,图中是第一次摆放的位置,请用尺规作出该直角三角尺第二次摆放的位置$△ A_2B_2C_2$,再用没有刻度的直尺画出∠MON的平分线,并说明这种方法的正确性(保留作图痕迹,不写作法).
答案
4.【解】如图,△A₂B₂C₂为直角三角尺ABC第二次摆放的位置,延长 CB,C₂B₂交于点 K,作射线 OK,则射线 OK 是∠MON 的平分线.
由作法及已知得,OC=OC₂,∠BCO=∠B₂C₂O=90°,OK=OK,所以Rt△OKC ≌ Rt△OKC₂(HL),所以 ∠KOC = ∠KOC₂,所以射线 OK 是∠MON 的平分线.
5[2026浙江温州期中,中]如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长EF交BC于点G,连结AG.
(1)求证:∠BAG=∠FAG.
(2)求∠EAG的大小.
(3)若正方形ABCD的边长为6,求BG的长.
(1)求证:∠BAG=∠FAG.
(2)求∠EAG的大小.
(3)若正方形ABCD的边长为6,求BG的长.
答案
5.(1)【证明】在正方形 ABCD 中,AB = AD = BC = CD,∠D = ∠B = ∠BAD = ∠C = 90°.
因为将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE,所以 AF = AD,∠AFE = ∠D = 90°,所以 AB = AF,∠B = ∠AFG=90°.
因为 AG=AG,所以 Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),所以∠BAG=∠FAG.
(2)【解】因为将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE,所以∠DAE = ∠FAE.
因为 ∠BAG = ∠FAG,所以 ∠BAG + ∠DAE = ∠FAG+∠FAE = ∠EAG,所以 ∠EAG = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×90°=45°.
(3)因为 Rt△ABG≌Rt△AFG,所以 BG = FG.
因为 E 是 CD 的中点,正方形 ABCD 的边长为 6,所以 CE = DE = $\frac{1}{2}$CD = 3.
由折叠知 EF = ED = 3. 设 BG = FG = x,则 CG = BC-BG = 6-x,GE = FG+EF = x+3.
在 Rt△CEG 中,由勾股定理得 CG²+EC² = GE²,即(6-x)²+3²=(x+3)²,解得 x=2,故 BG=2.
因为将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE,所以 AF = AD,∠AFE = ∠D = 90°,所以 AB = AF,∠B = ∠AFG=90°.
因为 AG=AG,所以 Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),所以∠BAG=∠FAG.
(2)【解】因为将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE,所以∠DAE = ∠FAE.
因为 ∠BAG = ∠FAG,所以 ∠BAG + ∠DAE = ∠FAG+∠FAE = ∠EAG,所以 ∠EAG = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×90°=45°.
(3)因为 Rt△ABG≌Rt△AFG,所以 BG = FG.
因为 E 是 CD 的中点,正方形 ABCD 的边长为 6,所以 CE = DE = $\frac{1}{2}$CD = 3.
由折叠知 EF = ED = 3. 设 BG = FG = x,则 CG = BC-BG = 6-x,GE = FG+EF = x+3.
在 Rt△CEG 中,由勾股定理得 CG²+EC² = GE²,即(6-x)²+3²=(x+3)²,解得 x=2,故 BG=2.
6[2026广东潮州期中,较难]如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长线交BD于点F.
(1)若∠BAC=∠DAE=50°,请求出∠BFC的度数;
(2)过点A作AH⊥BD于点H,求证:EF+DH=HF.
(1)若∠BAC=∠DAE=50°,请求出∠BFC的度数;
(2)过点A作AH⊥BD于点H,求证:EF+DH=HF.
答案
6.(1)【解】因为 ∠BAC = ∠DAE,所以 ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE+∠BAE,所以 ∠CAE = ∠BAD.
在△ACE 和△ABD 中,$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠CAE=∠BAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
所以 △ACE ≌ △ABD ( SAS ),所以 ∠AEC = ∠ADB,所以 ∠AEF + ∠ADB = ∠AEF + ∠AEC = 180°,所以∠DAE+∠DFE = 180°.
因为 ∠BFC + ∠DFE = 180°,所以 ∠BFC = ∠DAE = 50°.
(2)【证明】如图,连结 AF,过点 A 作 AJ ⊥ CF 于点 J.
因为 △ACE ≌ △ABD,所以 $S_{△ACE} = S_{△ABD}$, CE = BD.
因为 AJ ⊥ CE,AH ⊥ BD,所以 $\frac{1}{2}CE · AJ = \frac{1}{2}BD · AH$,所以 AJ=AH.
在 Rt△AFJ 和 Rt△AFH 中,$\begin{cases} AF=AF, \\ AJ=AH, \end{cases}$
所以 Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),所以 FJ=FH.
在 Rt△AJE 和 Rt△AHD 中,$\begin{cases} AE=AD, \\ AJ=AH, \end{cases}$
所以 Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),所以 EJ=DH,所以 EF+DH = EF+EJ = FJ = FH.
