1[2025浙江衢州调研,中]如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为.

(第1题图)
(第2题图)

1. 10 【解析】如图，连结BD，BN,BM. 因为正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线AC为对称轴的对称点，所以直线AC为BD的垂直平分线，所以BN=DN，所以DN+MN=BN+MN，所以当点N在BM与AC的交点P处时，DN+MN取得最小值，最小值为BM的长. 因为正方形ABCD的边长为8，且DM=2，所以BC=CD=8，CM=8-2=6，∠BCD=90°，所以BM=√(BC²+CM²)=√(8²+6²)=10，所以DN+MN的最小值为10. 故答案为10.

2[2025辽宁葫芦岛期中,较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ C=30°$,点$D$为$AC$边的中点,点$E$为$BC$边上一点,连结$AE$,$DE$,则$△ ADE$周长的最小值是.

2.√3+1 【解析】如图,作点 D 关于 BC 的对称点 D',连结 D'E,AD',CD',所以 DE = D' E, ∠ D' CE = ∠ACB,CD = CD'. 因为点 D 为 AC 边的中点,AB = AC=2,所以 AD = CD = CD' = 1,所以△ADE 的周长为 AE+DE+AD = AE+D'E+1 ≥ AD'+1,所以当 A,E,D'三点共线时,△ADE 的周长最小,最小值为 AD'+1. 因为 ∠ACB=30°,所以 ∠DCD' = 60°,所以 △DCD' 是等边三角形,所以 DD' = CD = AD = 1, ∠DD' C = ∠D' DC = 60°,所以 ∠DAD' = ∠DD' A. 因为 ∠D' DC = ∠DAD' + ∠DD' A = 2∠DD'A = 60°, 所以 ∠DD' A = 30°, 所以 ∠AD'C = ∠DD' A + ∠DD' C = 90°. 在 Rt△AD'C 中,AD' = √(AC²-CD'²) = √(2²-1²) = √3,所以△ADE 周长的最小值为√3+1,故答案为√3+1.

3[2025广东珠海期末,中]如图,已知∠AOB=30°,在∠AOB内有一定点P,点M,N分别是OA,OB上的动点,若△PMN周长的最小值为3,则OP的长为 ()

A.1.5
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$

3. B 【解析】如图,分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 D,E,连结 DE 分别交 OA,OB 于点 M,N,则此时 △PMN 的周长最小,连结 OD,OE. 因为 P,D 关于 OA 对称,所以 OD = OP, PM = DM, 同理 OE = OP, PN = EN, 所以 OD = OE = OP. 因为 P,D 关于 OA 对称,所以 OA ⊥ PD. 因为 OD = OP, 所以 ∠DOA = ∠POA, 同理 ∠POB = ∠EOB, 所以 ∠DOE = 2∠AOB = 2×30° = 60°. 因为 OD = OE, 所以 △DOE 是等边三角形,所以 DE = OD = OP. 因为 △PMN 的周长是 PM+MN+PN = DM+MN+EN = DE = 3,所以 OP=3,故选 B.

思路分析
作出辅助线,由轴对称的性质得出 OD = OE=OP,PM=DM,PN=NE,再得到△DOE为等边三角形,利用线段和差求解即可.

4[2025 浙江杭州期末, 中]如图, 在$△ ABC$中, $∠ ABC=68°$, $BD$平分$∠ ABC$, $P$为线段$BD$上一动点, $Q$为边$AB$上一动点, 当$AP+PQ$的值最小时, $∠ APB$的度数是（）

A.$118°$
B.$125°$
C.$136°$
D.$124°$

4. D 【解析】在 BC 上截取 BE = BQ,连结 PE,如图. 因为 BD 平分 ∠ABC,∠ABC = 68°,所以 ∠ABD = ∠CBD = 1/2∠ABC = 34°. 因为 BP = BP,所以 △PBQ ≌ △PBE(SAS),所以 PE = PQ,所以 AP+PQ = AP+PE,所以当 A,P,E 在同一直线上,且 AE ⊥ BC 时,AP+PE 的值最小,即 AP+PQ 的值最小. 过点 A 作 AE' ⊥ BC 于点 E',交 BD 于点 P'. 因为 ∠AE'B = 90°,∠CBD = 34°,所以 ∠AP'B = ∠AE'B + ∠CBD = 124°. 故选 D.

思路分析
在 BC 上截取 BE=BQ,连结 PE, 证明△PBQ≌△PBE(SAS),得出 PE=PQ,说明 AP+PQ=AP+PE,确定当 A,P,E 在同一直线上,且 AE⊥BC 时,AP+PE 的值最小,即 AP+PQ 的值最小,进而求解.

5[2025江苏连云港期中,中]如图,在边长为8的正方形ABCD中,点G是BC边的中点,E,F分别是AD和CD边上的动点,则四边形BEFG周长的最小值为.

5. 24 【解析】如图,作点 G 关于 CD 的对称点 G',作点 B 关于 AD 的对称点 B',连结 B'G',B'E,FG'. 易知 BE = B'E, FG = FG', 所以四边形 BEFG 的周长为 BE + EF + FG + BG = B'E + EF + FG' + BG. 因为 B'E+EF+FG' ≥ B'G', 所以当点 B',E,F,G' 共线时,四边形 BEFG 的周长最小,最小值为 BG+B'G'. 因为 BG = CG = CG' = 1/2 BC = 4, AB' = AB = 8, 所以 BB' = AB+AB' = 16, BG' = BC+CG' = 8+4 = 12, 所以 B'G' = √(BG'²+BB'²) = √(12²+16²) = 20, 所以 BG+B'G' = 4+20 = 24,所以四边形 BEFG 周长的最小值为 24,故答案为 24.

6[2025湖北黄石期中,较难]已知在河的两岸有A,B两个村庄,河宽为4千米,A,B两村庄的直线距离$AB=10$千米,A,B两村庄到河岸的距离分别为1千米,3千米,计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸,M点为靠近A村庄的河岸上一点,则从A村庄到B村庄的最短路程为 ()

A.$\sqrt{52}$千米
B.$(\sqrt{52}+4)$千米
C.$(3+\sqrt{37})$千米
D.$(\sqrt{85}+4)$千米

6. B 【解析】如图,过点 B 作河岸的垂线,交过点 A 且平行于河岸的直线于点 C,将 MN 沿 NB 方向平移至 B'B,连结 AB', MB',则 MN//BB' 且 MN = BB', MB' = BN, 所以 AM+MN+NB = AM+MN+MB' ≥ AB'+MN. 因为 AB = 10 千米, BC = 1+3+4 = 8(千米),所以在 Rt△ABC 中,AC = √(AB²-BC²) = 6 千米. 在 Rt△AB'C 中,B'C = 4 千米,所以 AB' = √(AC²+B'C²) = √52 千米,则从 A 村庄到 B 村庄的最短路程为 AB'+MN = (√52 + 4) 千米. 故选 B.

关键点拨
根据“两点之间线段最短”得出 A 村庄到 B 村庄的最短距离为 AB' + MN 的值是解题的关键.

7[2025陕西西安校级期末,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=80°$,$AB=BC=\sqrt{5}$,在BC上方作射线BD,且$∠ CBD=10°$,若P为BD上的一个动点,则$|PA - PC|$的最大值为.

7.√5 【解析】如图,作点 C 关于直线 BD 的对称点 C', 连结 BC', PC', AC', 所以 PC' = PC, ∠CBC' = 2∠CBP = 20°, BC' = BC, 所以 |PA-PC| = |PA-PC'| ≤ AC'. 因为 AB = BC, ∠ABC = 80°, 所以 BC' = AB, ∠ABC' = 60°, 所以 △ABC'是等边三角形,所以 AC' = AB = √5, 所以 |PA-PC| 的最大值为√5. 故答案为√5.

思路分析
根据直角三角形全等的判定和性质求解即可.

8[2025山东泰安校级质检,中]如图,A,B两点都在直线MN的上方,AB=5,P在直线MN上运动,则|PA-PB|的最大值等于.

8. 5 【解析】如图,延长 AB 交直线 MN 于点 P'. 因为 P'A-P'B = AB, AB ＞ |PA-PB|, 所以当点 P 运动到点 P' 的位置时, |PA-PB| 的值最大. 因为 AB = 5, 所以 |PA-PB| 的最大值为 5. 故答案为 5.

关键点拨
本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质, 证明Rt △ADE ≌ Rt△BEC 是解题的关键.