一、填空题
1. 一题多解 [广西中考]如图，两张宽均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为$60°$，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm.

1. $8\sqrt{3}$ 解析:解法一 过点 A 作 $AE ⊥ BC$ 于点E,$AF ⊥ CD$ 于点 F. $\therefore ∠ AEB= ∠ AFD=90°$. 由题意,易得四边形 ABCD 为平行四边形,且 $AE=AF=3\ \mathrm{cm}$. $\because ∠ ADF= ∠ ABE=60°$,$\therefore △ ADF ≌ △ ABE$. $\therefore AD=AB$. $\therefore$ 四边形 ABCD 为菱形. 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$∠ DAF=90° - ∠ ADF=30°$,$AF=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 易得 $AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 四边形 ABCD 的周长为 $2\sqrt{3} × 4 = 8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.
解法二 过点 A 作 $AE ⊥ BC$ 于点 E,$AF ⊥ CD$ 于点 F. $\therefore ∠ AEB= ∠ AFD=90°$,$\because$ 易得四边形 ABCD 为平行四边形,且 $AE=AF=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{□ ABCD}=BC · AE=CD · AF$. $\therefore BC=CD$. $\therefore$ 四边形 ABCD 为菱形. 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$∠ DAF=90° - ∠ ADF=30°$,$AF=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 易得 $AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 四边形 ABCD 的周长为 $2\sqrt{3} × 4 = 8\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$.

2. [德阳中考]如图,四边形ABCD是矩形,△ADG是等边三角形,F是GD的中点,P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是.

2. 2

3. [天津中考]如图,正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE.
（1）线段AE的长为；
（2）若F为DE的中点,则线段AF的长为.

3. (1) 2 (2) $\frac{\sqrt{10}}{2}$

4. [大庆中考]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,对角线AC与BD相交于点O.点B,D关于AC所在直线对称.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC的长.

4. (1) $\because$ 点 B, D 关于 AC 所在直线对称, $\therefore BD ⊥ AC, BO = DO$. $\because AB // CD, \therefore ∠ ABO = ∠ CDO$. 在 $△ ABO$ 和 $△ CDO$ 中, $∠ ABO = ∠ CDO$, $BO = DO$, $∠ AOB = ∠ COD$, $\therefore △ ABO ≌ △ CDO$. $\therefore AB=CD$. $\because AB// CD,\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又 $\because BD ⊥ AC, \therefore$ 四边形 ABCD 是菱形
(2) 由(1),得四边形 ABCD 是菱形. $\therefore OC = OA = \frac{1}{2}AC$,$AD=BC=CD=5$. $\therefore BE = BC+CE=8$. $\because DE ⊥ BC, \therefore ∠ DEB = 90°$. 由勾股定理,得 $DE = \sqrt{CD^2-CE^2}=4$,$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=4\sqrt{5}$. $\because S_{\mathrm{菱形}ABCD}= DE · BC = \frac{1}{2}AC · BD = OC · BD, \therefore OC = \frac{DE · BC}{BD}=\sqrt{5}$