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13 如图，一个长方体盒子的长为$(x+3)$厘米，宽为$2x$厘米，高为$x$厘米，则这个长方体盒子的表面积为
$(10x^2 + 18x)$
平方厘米。答案
13. $(10x^2 + 18x)$
解析
【分析】
要计算长方体的表面积，首先回忆长方体表面积公式：长方体表面积=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)。解题步骤为：第一步，将题目给出的长、宽、高代入表面积公式；第二步，根据单项式乘多项式的运算法则分别计算各个乘积项；第三步，合并同类项后再乘2，即可得到最终结果。
【解析】
根据长方体表面积公式$S=2(ab+ac+bc)$（其中$a$为长，$b$为宽，$c$为高），代入已知的长$(x+3)$厘米、宽$2x$厘米、高$x$厘米：
1. 先计算括号内的各项乘积：
长×宽：$(x+3)·2x=2x^2+6x$
长×高：$(x+3)· x=x^2+3x$
宽×高：$2x· x=2x^2$
2. 合并括号内的同类项：
$2x^2+6x + x^2+3x + 2x^2=5x^2+9x$
3. 计算最终表面积：
$S=2×(5x^2+9x)=10x^2+18x$
【答案】
$(10x^2 + 18x)$
【知识点】
长方体表面积计算；单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握长方体表面积公式，同时准确运用整式乘法和合并同类项的法则进行计算，注意运算过程中不要漏乘、错算同类项系数。
【难度系数】
0.8
要计算长方体的表面积，首先回忆长方体表面积公式：长方体表面积=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)。解题步骤为：第一步，将题目给出的长、宽、高代入表面积公式；第二步，根据单项式乘多项式的运算法则分别计算各个乘积项；第三步，合并同类项后再乘2，即可得到最终结果。
【解析】
根据长方体表面积公式$S=2(ab+ac+bc)$（其中$a$为长，$b$为宽，$c$为高），代入已知的长$(x+3)$厘米、宽$2x$厘米、高$x$厘米：
1. 先计算括号内的各项乘积：
长×宽：$(x+3)·2x=2x^2+6x$
长×高：$(x+3)· x=x^2+3x$
宽×高：$2x· x=2x^2$
2. 合并括号内的同类项：
$2x^2+6x + x^2+3x + 2x^2=5x^2+9x$
3. 计算最终表面积：
$S=2×(5x^2+9x)=10x^2+18x$
【答案】
$(10x^2 + 18x)$
【知识点】
长方体表面积计算；单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握长方体表面积公式，同时准确运用整式乘法和合并同类项的法则进行计算，注意运算过程中不要漏乘、错算同类项系数。
【难度系数】
0.8
14 教材 P106 练习 T4 变式 先化简，再求值：
$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2 · (3a + 4)$，其中$a = -2$。
$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2 · (3a + 4)$，其中$a = -2$。
答案
14. 原式$= -20a^2 + 9a.$ 当$a = -2$时,原式$= -98$
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照单项式乘多项式的运算法则分别计算两个乘法项，再去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将$a=-2$代入最简式计算即可得到最终值，运算过程中需注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
首先根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=3a· 2a^2 + 3a· (-4a) + 3a· 3 - (2a^2· 3a + 2a^2· 4)\\&=6a^3 - 12a^2 + 9a - 6a^3 - 8a^2\end{aligned}$
再合并同类项：
$6a^3 -6a^3 -12a^2 -8a^2 +9a = -20a^2 +9a$
将$a=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-20× (-2)^2 +9× (-2)\\&=-20×4 -18\\&=-80-18\\&=-98\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-20a^2 + 9a$，求值结果为$\boldsymbol{-98}$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时要注意去括号的符号变化，代入负数求值时要注意平方运算的符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是整式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照单项式乘多项式的运算法则分别计算两个乘法项，再去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将$a=-2$代入最简式计算即可得到最终值，运算过程中需注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
首先根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=3a· 2a^2 + 3a· (-4a) + 3a· 3 - (2a^2· 3a + 2a^2· 4)\\&=6a^3 - 12a^2 + 9a - 6a^3 - 8a^2\end{aligned}$
再合并同类项：
$6a^3 -6a^3 -12a^2 -8a^2 +9a = -20a^2 +9a$
将$a=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-20× (-2)^2 +9× (-2)\\&=-20×4 -18\\&=-80-18\\&=-98\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-20a^2 + 9a$，求值结果为$\boldsymbol{-98}$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时要注意去括号的符号变化，代入负数求值时要注意平方运算的符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
15（1）解方程：$2x^3 - 2x(x^2 - 2x + 6) = -4x(1 - x) + 16$；
（2）求使$3x(7 - x) ＜ 18 - x(3x - 5)$成立的x的正整数值。
（2）求使$3x(7 - x) ＜ 18 - x(3x - 5)$成立的x的正整数值。
答案
15. （1）原方程可化为$2x^3 - 2x^3 + 4x^2 - 12x = -4x + 4x^2 + 16.$ 整理,得$-8x = 16,$解得$x = -2$ （2）原不等式可化为$21x - 3x^2 ＜ 18 - 3x^2 + 5x.$ 整理,得$16x ＜ 18,$解得$x ＜ \dfrac{9}{8}.\because x$为正整数,$\therefore x = 1$
解析
【分析】
（1）解方程时，先利用单项式乘多项式的运算法则去掉方程两侧的括号，再通过移项、合并同类项把原方程简化为最简一元一次方程，最后系数化为1就能求出解；（2）解不等式时，同样先运用单项式乘多项式法则去掉不等式两侧的括号，移项合并同类项得到不等式的解集，再结合x是正整数的限制条件筛选出符合要求的解。
【解析】
（1）先对原方程去括号：
$2x^3 - 2x^3 + 4x^2 - 12x = -4x + 4x^2 + 16$
移项、合并同类项得：
$-8x = 16$
系数化为1，解得：
$x = -2$
（2）先对原不等式去括号：
$21x - 3x^2 ＜ 18 - 3x^2 + 5x$
移项、合并同类项得：
$16x ＜ 18$
系数化为1，解得：
$x ＜ \dfrac{9}{8}$
$\because x$为正整数，$\therefore x = 1$
【答案】
（1）$x=-2$；（2）$x=1$
【知识点】
单项式乘多项式、解一元一次方程、一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是整式运算与方程、不等式的基础综合题，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，去括号时要注意符号、不要漏乘项，求解整数解时要注意题干的限制条件，避免出现多解、错解。
【难度系数】
0.85
（1）解方程时，先利用单项式乘多项式的运算法则去掉方程两侧的括号，再通过移项、合并同类项把原方程简化为最简一元一次方程，最后系数化为1就能求出解；（2）解不等式时，同样先运用单项式乘多项式法则去掉不等式两侧的括号，移项合并同类项得到不等式的解集，再结合x是正整数的限制条件筛选出符合要求的解。
【解析】
（1）先对原方程去括号：
$2x^3 - 2x^3 + 4x^2 - 12x = -4x + 4x^2 + 16$
移项、合并同类项得：
$-8x = 16$
系数化为1，解得：
$x = -2$
（2）先对原不等式去括号：
$21x - 3x^2 ＜ 18 - 3x^2 + 5x$
移项、合并同类项得：
$16x ＜ 18$
系数化为1，解得：
$x ＜ \dfrac{9}{8}$
$\because x$为正整数，$\therefore x = 1$
【答案】
（1）$x=-2$；（2）$x=1$
【知识点】
单项式乘多项式、解一元一次方程、一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是整式运算与方程、不等式的基础综合题，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，去括号时要注意符号、不要漏乘项，求解整数解时要注意题干的限制条件，避免出现多解、错解。
【难度系数】
0.85
16 数形结合思想 两个完全相同的长方形按如图所示的方式放置，每个长方形的面积为28，图中涂色部分的面积为20，则每个长方形的周长为
22
。答案
16. 22 【解析】设长方形的长为$x$,宽为$y(x＞0,y＞0).$$\therefore AB=CG=EF=y,BC=x,xy=28.$$\therefore$ 涂色部分的面积为$2xy - \dfrac{1}{2}(x+y)y - \dfrac{1}{2}xy = 20,$即$56 - xy - \dfrac{1}{2}y^2 = 20.$$\therefore 56 - 28 - \dfrac{1}{2}y^2 = 20.$$\because y＞0,\therefore y=4.$ 又$\because xy=28,\therefore x=7.$$\therefore$ 每个长方形的周长为$2(x+y)=22.$
解析
【分析】
要求长方形的周长，需先得到长方形的长和宽的值。我们可以先设长方形的长为x，宽为y，首先根据长方形面积公式得到$xy=28$；再观察图形可知，涂色部分的面积等于两个长方形的总面积减去两个空白三角形的面积，据此列方程，结合$xy=28$先求出宽y，再求出长x，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
解：设长方形的长为$x$，宽为$y$（$x＞0,y＞0$）。
由题意得，每个长方形的面积为28，因此$xy=28$，且$AB=CG=EF=y$，$BC=x$。
两个长方形的总面积为$2×28=56$，
空白部分两个三角形的面积分别为：$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}(x+y)y$，$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}xy$，
根据涂色部分面积为20可得：
$2xy - \frac{1}{2}(x+y)y - \frac{1}{2}xy = 20$
整理得：$56 - xy - \frac{1}{2}y^2 = 20$
将$xy=28$代入上式：$56 - 28 - \frac{1}{2}y^2 = 20$
解得：$y^2=16$，
$\because y＞0$，$\therefore y=4$，
将$y=4$代入$xy=28$，得$x=7$，
$\therefore$每个长方形的周长为$2(x+y)=2×(7+4)=22$。
【答案】
22
【知识点】
长方形周长与面积计算，割补法求阴影面积，列方程解几何问题
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是通过面积割补的方法表示出阴影部分的面积，再结合已知条件列方程求出长方形的长和宽，既考查了几何图形的面积计算能力，也考查了代数方程的计算能力。
【难度系数】
0.65
要求长方形的周长，需先得到长方形的长和宽的值。我们可以先设长方形的长为x，宽为y，首先根据长方形面积公式得到$xy=28$；再观察图形可知，涂色部分的面积等于两个长方形的总面积减去两个空白三角形的面积，据此列方程，结合$xy=28$先求出宽y，再求出长x，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
解：设长方形的长为$x$，宽为$y$（$x＞0,y＞0$）。
由题意得，每个长方形的面积为28，因此$xy=28$，且$AB=CG=EF=y$，$BC=x$。
两个长方形的总面积为$2×28=56$，
空白部分两个三角形的面积分别为：$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}(x+y)y$，$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}xy$，
根据涂色部分面积为20可得：
$2xy - \frac{1}{2}(x+y)y - \frac{1}{2}xy = 20$
整理得：$56 - xy - \frac{1}{2}y^2 = 20$
将$xy=28$代入上式：$56 - 28 - \frac{1}{2}y^2 = 20$
解得：$y^2=16$，
$\because y＞0$，$\therefore y=4$，
将$y=4$代入$xy=28$，得$x=7$，
$\therefore$每个长方形的周长为$2(x+y)=2×(7+4)=22$。
【答案】
22
【知识点】
长方形周长与面积计算，割补法求阴影面积，列方程解几何问题
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是通过面积割补的方法表示出阴影部分的面积，再结合已知条件列方程求出长方形的长和宽，既考查了几何图形的面积计算能力，也考查了代数方程的计算能力。
【难度系数】
0.65
17 已知等式 $ x(ax^3 + x^2 + b) + 3x - 2c = x^3 + 5x + 4 $ 恒成立，求 $ a + b + c $ 的值。
答案
17. $\because x(ax^3 + x^2 + b) + 3x - 2c = x^3 + 5x + 4,\therefore ax^4 + x^3 + bx + 3x - 2c = x^3 + 5x + 4,$即$ax^4 + x^3 + (b+3)x - 2c = x^3 + 5x + 4.$ 比较系数及常数项,得$\begin{cases}a=0,\\b+3=5,\\-2c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0,\\b=2,\\c=-2.\end{cases}$ $\therefore a+b+c=0$
解析
【分析】
本题是整式恒成立求参数的问题，解题思路清晰：首先等式恒成立的核心是左右两边同类项的系数、常数项均对应相等。第一步先用单项式乘多项式的法则展开左侧式子，再合并同类项；之后将整理后的左侧式子和右侧多项式对比，由于右侧没有四次项，因此左侧四次项系数必须为0，其余三次项、一次项、常数项分别和右侧对应项系数相等，据此列出关于a、b、c的方程，解出三个参数后代入计算a+b+c即可。
【解析】
先展开并整理等式左侧的式子：
$\begin{aligned}x(ax^3 + x^2 + b) + 3x - 2c&=ax^4 + x^3 + bx + 3x - 2c\\&=ax^4 + x^3 + (b+3)x - 2c\end{aligned}$
因为等式$ax^4 + x^3 + (b+3)x - 2c = x^3 + 5x + 4$恒成立，所以同类项系数、常数项对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}a=0\\b+3=5\\-2c=4\end{cases}$
分别求解得：$\begin{cases}a=0\\b=2\\c=-2\end{cases}$
因此$a+b+c=0+2+(-2)=0$
【答案】
$0$
【知识点】
单项式乘多项式，多项式恒等性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题型，核心考查多项式恒等时对应项系数相等的性质，解题的关键是准确完成整式的展开与合并同类项，不要遗漏高次项系数为0的隐含条件，熟练掌握整式运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题是整式恒成立求参数的问题，解题思路清晰：首先等式恒成立的核心是左右两边同类项的系数、常数项均对应相等。第一步先用单项式乘多项式的法则展开左侧式子，再合并同类项；之后将整理后的左侧式子和右侧多项式对比，由于右侧没有四次项，因此左侧四次项系数必须为0，其余三次项、一次项、常数项分别和右侧对应项系数相等，据此列出关于a、b、c的方程，解出三个参数后代入计算a+b+c即可。
【解析】
先展开并整理等式左侧的式子：
$\begin{aligned}x(ax^3 + x^2 + b) + 3x - 2c&=ax^4 + x^3 + bx + 3x - 2c\\&=ax^4 + x^3 + (b+3)x - 2c\end{aligned}$
因为等式$ax^4 + x^3 + (b+3)x - 2c = x^3 + 5x + 4$恒成立，所以同类项系数、常数项对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}a=0\\b+3=5\\-2c=4\end{cases}$
分别求解得：$\begin{cases}a=0\\b=2\\c=-2\end{cases}$
因此$a+b+c=0+2+(-2)=0$
【答案】
$0$
【知识点】
单项式乘多项式，多项式恒等性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题型，核心考查多项式恒等时对应项系数相等的性质，解题的关键是准确完成整式的展开与合并同类项，不要遗漏高次项系数为0的隐含条件，熟练掌握整式运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
