登录
1 计算$a^2(a - 2b)$的结果是 （
A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$
B
）A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$
答案
1. B
解析
【分析】
要计算单项式与多项式相乘的结果，首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所有乘积相加。计算过程中还要结合同底数幂的乘法规则，同时注意运算符号不要出错，最后将运算结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$a^2(a - 2b) = a^2 · a + a^2 · (-2b)$
计算第一项：根据同底数幂乘法法则，$a^2 · a = a^{2+1} = a^3$
计算第二项：$a^2 · (-2b) = -2a^2b$
将两项相加得最终结果：$a^3 - 2a^2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，牢记单项式乘多项式的运算规则是解题核心，计算时注意不要漏乘多项式的项，同时保证符号和指数运算的准确性，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要计算单项式与多项式相乘的结果，首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所有乘积相加。计算过程中还要结合同底数幂的乘法规则，同时注意运算符号不要出错，最后将运算结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$a^2(a - 2b) = a^2 · a + a^2 · (-2b)$
计算第一项：根据同底数幂乘法法则，$a^2 · a = a^{2+1} = a^3$
计算第二项：$a^2 · (-2b) = -2a^2b$
将两项相加得最终结果：$a^3 - 2a^2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，牢记单项式乘多项式的运算规则是解题核心，计算时注意不要漏乘多项式的项，同时保证符号和指数运算的准确性，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2 计算$(\dfrac{1}{4}x^2 - 2) · (-2x)^2$的结果是 （
A.$-\dfrac{1}{2}x^4 + 4x^2$
B.$-x^4 + 4x^2$
C.$x^4 - 8x^2$
D.$x^4 + 4x^2$
C
）A.$-\dfrac{1}{2}x^4 + 4x^2$
B.$-x^4 + 4x^2$
C.$x^4 - 8x^2$
D.$x^4 + 4x^2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题属于整式乘法运算类题目，解题思路如下：首先按照运算优先级，先计算乘方项$(-2x)^2$，再依据单项式乘多项式的运算法则，将得到的单项式分别与多项式$\dfrac{1}{4}x^2 - 2$的每一项相乘，最后把所得的积相加即可得到最终结果，计算时注意幂的运算规则和符号判断。
【解析】
第一步：先计算乘方运算：
$(-2x)^2=(-2)^2· x^2=4x^2$
第二步：计算单项式乘多项式：
根据单项式乘多项式法则：$a(b+c)=ab+ac$，可得：
$\begin{split}(\dfrac{1}{4}x^2 - 2)· 4x^2&=\dfrac{1}{4}x^2· 4x^2 + (-2)· 4x^2\\&=(\dfrac{1}{4}×4)·(x^2· x^2) - 8x^2\\&=x^4 - 8x^2\end{split}$
所以计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；单项式与多项式相乘；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式的运算顺序和单项式乘多项式的运算法则，解题时需注意先算乘方再算乘法，同时要留意运算过程中的符号问题，是巩固整式乘法基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题属于整式乘法运算类题目，解题思路如下：首先按照运算优先级，先计算乘方项$(-2x)^2$，再依据单项式乘多项式的运算法则，将得到的单项式分别与多项式$\dfrac{1}{4}x^2 - 2$的每一项相乘，最后把所得的积相加即可得到最终结果，计算时注意幂的运算规则和符号判断。
【解析】
第一步：先计算乘方运算：
$(-2x)^2=(-2)^2· x^2=4x^2$
第二步：计算单项式乘多项式：
根据单项式乘多项式法则：$a(b+c)=ab+ac$，可得：
$\begin{split}(\dfrac{1}{4}x^2 - 2)· 4x^2&=\dfrac{1}{4}x^2· 4x^2 + (-2)· 4x^2\\&=(\dfrac{1}{4}×4)·(x^2· x^2) - 8x^2\\&=x^4 - 8x^2\end{split}$
所以计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；单项式与多项式相乘；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式的运算顺序和单项式乘多项式的运算法则，解题时需注意先算乘方再算乘法，同时要留意运算过程中的符号问题，是巩固整式乘法基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
3 今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：$-7xy(2y - x - 3) = -14xy^2 + 7x^2y□$，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（
A.$+21xy$
B.$-21xy$
C.$-3$
D.$-10xy$
A
）A.$+21xy$
B.$-21xy$
C.$-3$
D.$-10xy$
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路：本题考查单项式乘多项式的运算，我们可以根据单项式乘多项式的法则，将等号左边的式子完整展开，再和等号右边已知的部分做对比，就能得到被墨水遮盖的项。运算时要注意不能漏乘多项式的每一项，同时要准确判断每一项运算后的符号。
【解析】
根据单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
计算等号左侧的式子：
$\begin{aligned}-7xy(2y - x - 3)&= -7xy·2y + (-7xy)·(-x) + (-7xy)·(-3)\\&=-14xy^2 + 7x^2y + 21xy\end{aligned}$
将展开结果与等号右侧$-14xy^2 + 7x^2y□$对比，可知$□$内应填写$+21xy$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是容易漏乘多项式的常数项，或者符号运算出错，熟练掌握运算法则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题思路：本题考查单项式乘多项式的运算，我们可以根据单项式乘多项式的法则，将等号左边的式子完整展开，再和等号右边已知的部分做对比，就能得到被墨水遮盖的项。运算时要注意不能漏乘多项式的每一项，同时要准确判断每一项运算后的符号。
【解析】
根据单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
计算等号左侧的式子：
$\begin{aligned}-7xy(2y - x - 3)&= -7xy·2y + (-7xy)·(-x) + (-7xy)·(-3)\\&=-14xy^2 + 7x^2y + 21xy\end{aligned}$
将展开结果与等号右侧$-14xy^2 + 7x^2y□$对比，可知$□$内应填写$+21xy$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是容易漏乘多项式的常数项，或者符号运算出错，熟练掌握运算法则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4（易错题）计算：
（1）$-2a^2(3a^2 -5b)=$
（2）$(-3x^2)^2(-x^2 +2x -1)=$
（1）$-2a^2(3a^2 -5b)=$
$-6a^4 + 10a^2b$
；（2）$(-3x^2)^2(-x^2 +2x -1)=$
$-9x^6 +18x^5 -9x^4$
。答案
4. （1）$-6a^4 + 10a^2b$ （2）$-9x^6 + 18x^5 -9x^4$
解析
【分析】
这两道题都属于整式乘法运算，解题思路如下：①首先明确运算顺序，若有乘方运算先算乘方，再进行单项式乘多项式运算；②单项式乘多项式的核心法则是：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，运算时要注意两点：一是同底数幂相乘时指数相加，二是不要漏乘、不要搞错每一项的符号。第(1)题可直接运用单项式乘多项式法则计算；第(2)题需要先计算乘方项$(-3x^2)^2$，再用得到的单项式乘后面的多项式。
【解析】
（1）根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-2a^2· 3a^2 + (-2a^2)· (-5b)\\&=(-2×3)a^{2+2} + [(-2)×(-5)]a^2b\\&=-6a^4 + 10a^2b\end{aligned}$
（2）先计算积的乘方，再进行单项式乘多项式运算：
$\begin{aligned}先算乘方：(-3x^2)^2&=(-3)^2· (x^2)^2=9x^4\\原式&=9x^4· (-x^2) + 9x^4· 2x + 9x^4· (-1)\\&=9×(-1)x^{4+2} + 9×2x^{4+1} + 9×(-1)x^4\\&=-9x^6 + 18x^5 -9x^4\end{aligned}$
【答案】
（1）$-6a^4 + 10a^2b$；（2）$-9x^6 + 18x^5 -9x^4$
【知识点】
1. 单项式乘多项式 2. 积的乘方运算 3. 同底数幂乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础易错题，解题的关键是牢记运算顺序和运算法则，运算时要格外注意符号问题，不要漏乘多项式的每一项，熟练掌握这类运算能为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.7
这两道题都属于整式乘法运算，解题思路如下：①首先明确运算顺序，若有乘方运算先算乘方，再进行单项式乘多项式运算；②单项式乘多项式的核心法则是：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，运算时要注意两点：一是同底数幂相乘时指数相加，二是不要漏乘、不要搞错每一项的符号。第(1)题可直接运用单项式乘多项式法则计算；第(2)题需要先计算乘方项$(-3x^2)^2$，再用得到的单项式乘后面的多项式。
【解析】
（1）根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-2a^2· 3a^2 + (-2a^2)· (-5b)\\&=(-2×3)a^{2+2} + [(-2)×(-5)]a^2b\\&=-6a^4 + 10a^2b\end{aligned}$
（2）先计算积的乘方，再进行单项式乘多项式运算：
$\begin{aligned}先算乘方：(-3x^2)^2&=(-3)^2· (x^2)^2=9x^4\\原式&=9x^4· (-x^2) + 9x^4· 2x + 9x^4· (-1)\\&=9×(-1)x^{4+2} + 9×2x^{4+1} + 9×(-1)x^4\\&=-9x^6 + 18x^5 -9x^4\end{aligned}$
【答案】
（1）$-6a^4 + 10a^2b$；（2）$-9x^6 + 18x^5 -9x^4$
【知识点】
1. 单项式乘多项式 2. 积的乘方运算 3. 同底数幂乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础易错题，解题的关键是牢记运算顺序和运算法则，运算时要格外注意符号问题，不要漏乘多项式的每一项，熟练掌握这类运算能为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.7
5 已知$x^2 + 3x = -2$，则代数式$2026 - x(x + 3) =$
2028
答案
5. 2028
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求代数式的联系，无需先求解x的值。首先根据单项式与多项式相乘的法则，将待求式中的x(x+3)展开，会发现展开后的式子刚好是已知条件给出的x²+3x，再用整体代入法代入计算即可得到结果，该方法更简便，也能减少计算错误。
【解析】
第一步，利用单项式乘多项式的法则展开x(x+3)：
$x(x+3) = x^2 + 3x$
第二步，将$x^2+3x$作为整体代入待求代数式：
$2026 - x(x+3) = 2026 - (x^2 + 3x)$
第三步，把已知条件$x^2 + 3x = -2$代入上式计算：
原式$= 2026 - (-2) = 2026 + 2 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
单项式乘多项式、整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是通过展开待求式找到和已知条件的关联，运用整体代入思想简化计算，避免不必要的解方程步骤，主要考查基础运算能力和代数整体思维。
【难度系数】
0.85
解题时先观察已知条件和待求代数式的联系，无需先求解x的值。首先根据单项式与多项式相乘的法则，将待求式中的x(x+3)展开，会发现展开后的式子刚好是已知条件给出的x²+3x，再用整体代入法代入计算即可得到结果，该方法更简便，也能减少计算错误。
【解析】
第一步，利用单项式乘多项式的法则展开x(x+3)：
$x(x+3) = x^2 + 3x$
第二步，将$x^2+3x$作为整体代入待求代数式：
$2026 - x(x+3) = 2026 - (x^2 + 3x)$
第三步，把已知条件$x^2 + 3x = -2$代入上式计算：
原式$= 2026 - (-2) = 2026 + 2 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
单项式乘多项式、整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是通过展开待求式找到和已知条件的关联，运用整体代入思想简化计算，避免不必要的解方程步骤，主要考查基础运算能力和代数整体思维。
【难度系数】
0.85
6 教材P105例2变式 计算：
(1) $-3a · (a^2 - ab + 2b^2)$；
(2) $(-\dfrac{1}{3}xy + \dfrac{3}{2}y^2 - x^2) · (-6xy^2)$；
(3) $x(2y - 3) + 2y(1 - 3x) - 3(4y - x)$。
(1) $-3a · (a^2 - ab + 2b^2)$；
(2) $(-\dfrac{1}{3}xy + \dfrac{3}{2}y^2 - x^2) · (-6xy^2)$；
(3) $x(2y - 3) + 2y(1 - 3x) - 3(4y - x)$。
答案
6. （1）$-3a^3 + 3a^2b - 6ab^2$ （2）$2x^2 y^3 - 9xy^4 + 6x^3 y^2$ （3）$-4xy - 10y$
解析
【分析】
本题属于整式乘法基础运算题，解题核心依据是单项式与多项式相乘的运算法则，思考步骤如下：1. 运算单项式乘多项式时，要将单项式分别去乘多项式的每一项，注意不要漏乘任何一项，同时要准确判断每一项乘积的符号（同号得正，异号得负）；2. 乘法运算中遇到同底数幂相乘，遵循“底数不变，指数相加”的规则计算；3. 所有乘法运算完成后，找出式子中的同类项，合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-3a· a^2 + (-3a)· (-ab) + (-3a)· 2b^2 \\&=-3a^3 + 3a^2b - 6ab^2\end{aligned}$
(2) 用单项式分别乘多项式每一项后计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{1}{3}xy)· (-6xy^2) + \dfrac{3}{2}y^2· (-6xy^2) + (-x^2)· (-6xy^2) \\&=2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2\end{aligned}$
(3) 先分别展开各单项式乘多项式，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2xy - 3x + 2y - 6xy - 12y + 3x \\&=(2xy - 6xy) + (-3x + 3x) + (2y - 12y) \\&=-4xy - 10y\end{aligned}$
【答案】
（1）$-3a^3 + 3a^2b - 6ab^2$ （2）$2x^2 y^3 - 9xy^4 + 6x^3 y^2$ （3）$-4xy - 10y$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是单项式乘多项式的基础训练题，重点考查运算法则的掌握情况，易错点是运算时漏乘项、符号判断错误以及合并同类项出错，熟练掌握法则和运算顺序就能准确解答。
【难度系数】
0.7
本题属于整式乘法基础运算题，解题核心依据是单项式与多项式相乘的运算法则，思考步骤如下：1. 运算单项式乘多项式时，要将单项式分别去乘多项式的每一项，注意不要漏乘任何一项，同时要准确判断每一项乘积的符号（同号得正，异号得负）；2. 乘法运算中遇到同底数幂相乘，遵循“底数不变，指数相加”的规则计算；3. 所有乘法运算完成后，找出式子中的同类项，合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-3a· a^2 + (-3a)· (-ab) + (-3a)· 2b^2 \\&=-3a^3 + 3a^2b - 6ab^2\end{aligned}$
(2) 用单项式分别乘多项式每一项后计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{1}{3}xy)· (-6xy^2) + \dfrac{3}{2}y^2· (-6xy^2) + (-x^2)· (-6xy^2) \\&=2x^2y^3 - 9xy^4 + 6x^3y^2\end{aligned}$
(3) 先分别展开各单项式乘多项式，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2xy - 3x + 2y - 6xy - 12y + 3x \\&=(2xy - 6xy) + (-3x + 3x) + (2y - 12y) \\&=-4xy - 10y\end{aligned}$
【答案】
（1）$-3a^3 + 3a^2b - 6ab^2$ （2）$2x^2 y^3 - 9xy^4 + 6x^3 y^2$ （3）$-4xy - 10y$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题是单项式乘多项式的基础训练题，重点考查运算法则的掌握情况，易错点是运算时漏乘项、符号判断错误以及合并同类项出错，熟练掌握法则和运算顺序就能准确解答。
【难度系数】
0.7
7 为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空地上修建板房，作为办事处.已知长方形空地的长为 $3a\ \mathrm{m}$，宽为 $(4ab - 2a)\mathrm{m}$，则其面积为（
A.$(12a^2b - 6a^2)\mathrm{m}^2$
B.$(6a^2 - 12a^2b)\mathrm{m}^2$
C.$(6a^2b - 12a^2)\mathrm{m}^2$
D.$(12a^2 - 6a^2b)\mathrm{m}^2$
A
）A.$(12a^2b - 6a^2)\mathrm{m}^2$
B.$(6a^2 - 12a^2b)\mathrm{m}^2$
C.$(6a^2b - 12a^2)\mathrm{m}^2$
D.$(12a^2 - 6a^2b)\mathrm{m}^2$
答案
7. A
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。我们先把题目给出的长和宽代入公式得到整式乘法算式，再按照单项式乘多项式的运算法则计算即可，计算时要注意单项式要乘遍多项式的每一项，同时注意符号不要出错。
【解析】
根据长方形面积公式，代入已知的长和宽计算：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=长×宽\\&=3a·(4ab-2a)\\&=3a·4ab + 3a·(-2a)\\&=12a^2b - 6a^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号。
【难度系数】
0.85
要解这道题，首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。我们先把题目给出的长和宽代入公式得到整式乘法算式，再按照单项式乘多项式的运算法则计算即可，计算时要注意单项式要乘遍多项式的每一项，同时注意符号不要出错。
【解析】
根据长方形面积公式，代入已知的长和宽计算：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=长×宽\\&=3a·(4ab-2a)\\&=3a·4ab + 3a·(-2a)\\&=12a^2b - 6a^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号。
【难度系数】
0.85
8 如果一个三角形的底边长为$2x^2y + xy - y^2$，底边上的高为$6xy$，那么这个三角形的面积为
$6x^3 y^2 + 3x^2 y^2 - 3xy^3$
。答案
8. $6x^3 y^2 + 3x^2 y^2 - 3xy^3$
解析
【分析】
要计算三角形的面积，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。我们已知底边长和底边上的高，先将对应量代入公式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可：第一步先计算常数项与单项式高的乘积，再用得到的单项式分别乘以多项式底边的每一项，最后把所得的积相加，计算时注意同底数幂相乘的指数运算规则和符号问题。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×底×高\\&=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy\\&=3xy×(2x^2y + xy - y^2)\\&=3xy·2x^2y + 3xy· xy + 3xy·(-y^2)\\&=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3\end{aligned}$
【答案】
$6x^3 y^2 + 3x^2 y^2 - 3xy^3$
【知识点】
三角形面积公式；单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法与几何面积计算的结合题，解题核心是准确代入面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要保证指数运算和符号的准确性。
【难度系数】
0.8
要计算三角形的面积，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。我们已知底边长和底边上的高，先将对应量代入公式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可：第一步先计算常数项与单项式高的乘积，再用得到的单项式分别乘以多项式底边的每一项，最后把所得的积相加，计算时注意同底数幂相乘的指数运算规则和符号问题。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×底×高\\&=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy\\&=3xy×(2x^2y + xy - y^2)\\&=3xy·2x^2y + 3xy· xy + 3xy·(-y^2)\\&=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3\end{aligned}$
【答案】
$6x^3 y^2 + 3x^2 y^2 - 3xy^3$
【知识点】
三角形面积公式；单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法与几何面积计算的结合题，解题核心是准确代入面积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要保证指数运算和符号的准确性。
【难度系数】
0.8
9 已知一个圆柱的底面圆半径为$a$，高为$2a+4$，则它的体积为________；当$a=2$时，该圆柱的体积为________。
答案
9. $2π a^3 + 4π a^2$ $32π$
解析
【分析】
解题首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，底面积为π乘底面半径的平方。第一步先将已知的底面半径、高代入体积公式，得到单项式乘多项式的式子，再运用单项式与多项式相乘的法则展开，即可得到体积的代数式；第二步将a=2代入得到的代数式，按运算顺序计算就能求出对应体积。
【解析】
1. 求圆柱体积的代数式：
圆柱底面积$S=π r^2$，已知底面半径$r=a$，因此$S=π a^2$。
圆柱体积$V=S· h$，已知高$h=2a+4$，代入得：
$V=π a^2(2a+4)$
根据单项式乘多项式的运算法则，用$π a^2$分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$V=π a^2· 2a + π a^2· 4 = 2π a^3 + 4π a^2$
2. 当$a=2$时求体积：
将$a=2$代入$V=2π a^3 + 4π a^2$中：
$V=2π× 2^3 + 4π× 2^2 = 2π×8 + 4π×4 = 16π + 16π = 32π$
【答案】
$2π a^3 + 4π a^2$；$32π$
【知识点】
圆柱体积计算；单项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算的结合应用题，属于基础题，核心是牢记圆柱体积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时注意不要漏乘、错乘即可得分。
【难度系数】
0.85
解题首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，底面积为π乘底面半径的平方。第一步先将已知的底面半径、高代入体积公式，得到单项式乘多项式的式子，再运用单项式与多项式相乘的法则展开，即可得到体积的代数式；第二步将a=2代入得到的代数式，按运算顺序计算就能求出对应体积。
【解析】
1. 求圆柱体积的代数式：
圆柱底面积$S=π r^2$，已知底面半径$r=a$，因此$S=π a^2$。
圆柱体积$V=S· h$，已知高$h=2a+4$，代入得：
$V=π a^2(2a+4)$
根据单项式乘多项式的运算法则，用$π a^2$分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$V=π a^2· 2a + π a^2· 4 = 2π a^3 + 4π a^2$
2. 当$a=2$时求体积：
将$a=2$代入$V=2π a^3 + 4π a^2$中：
$V=2π× 2^3 + 4π× 2^2 = 2π×8 + 4π×4 = 16π + 16π = 32π$
【答案】
$2π a^3 + 4π a^2$；$32π$
【知识点】
圆柱体积计算；单项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算的结合应用题，属于基础题，核心是牢记圆柱体积公式，熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时注意不要漏乘、错乘即可得分。
【难度系数】
0.85
10 整体思想 如果$a - b = 3$，$ab = 273$，那么$b^2 + 3b + 3$的值为 （
A.270
B.273
C.276
D.819
C
）A.270
B.273
C.276
D.819
答案
10. C 【解析】$\because a - b = 3,\therefore a = b + 3.\because ab = 273,\therefore b(b+3)=273.\therefore b^2 + 3b = 273.\therefore b^2 + 3b + 3 = 276.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件$a-b=3$入手，将$a$用含$b$的代数式表示，再代入$ab=273$的条件中，利用单项式乘多项式的法则展开式子，就能得到$b^2+3b$的值，最后将其整体代入所求的代数式计算即可，不需要求出$b$的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
$\because a - b = 3$
$\therefore a = b + 3$
又$\because ab = 273$
将$a = b + 3$代入上式得：$b(b + 3) = 273$
根据单项式乘多项式法则展开得：$b^2 + 3b = 273$
$\therefore b^2 + 3b + 3 = 273 + 3 = 276$
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，单项式乘多项式，整体代入思想
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，通过变形已知条件得到所求式中对应的部分，整体代入即可快速求解，避免了求解未知数具体值的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$a-b=3$入手，将$a$用含$b$的代数式表示，再代入$ab=273$的条件中，利用单项式乘多项式的法则展开式子，就能得到$b^2+3b$的值，最后将其整体代入所求的代数式计算即可，不需要求出$b$的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
$\because a - b = 3$
$\therefore a = b + 3$
又$\because ab = 273$
将$a = b + 3$代入上式得：$b(b + 3) = 273$
根据单项式乘多项式法则展开得：$b^2 + 3b = 273$
$\therefore b^2 + 3b + 3 = 273 + 3 = 276$
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，单项式乘多项式，整体代入思想
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，通过变形已知条件得到所求式中对应的部分，整体代入即可快速求解，避免了求解未知数具体值的复杂运算。
【难度系数】
0.7
11 计算 $3a(a^2 + ab) - 6a^3b + 5a^2 + 3ab(2a^2 - a)$ 的值 （
A.与$a,b$都有关
B.只与$a$有关
C.只与$b$有关
D.与$a,b$都无关
B
）A.与$a,b$都有关
B.只与$a$有关
C.只与$b$有关
D.与$a,b$都无关
答案
11. B
解析
【分析】
要判断整式的值与a、b的关系，需先对整式进行化简。首先根据单项式乘多项式的法则展开乘积项，再合并同类项，最后观察化简结果中所含的字母，即可判断结果与哪些字母有关。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开各项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3a· a^2 + 3a· ab - 6a^3b +5a^2 +3ab·2a^2 -3ab· a\\&=3a^3 + 3a^2b -6a^3b +5a^2 +6a^3b -3a^2b\end{aligned}$
再合并同类项：
$3a^2b$与$-3a^2b$抵消，$-6a^3b$与$6a^3b$抵消，剩余项为$3a^3 +5a^2$。
化简后的结果中只含有字母a，不含字母b，因此原式的值只与a有关。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，合并同类项时要准确识别同类项，注意运算符号，通过化简就能快速判断结果与字母的关联。
【难度系数】
0.7
要判断整式的值与a、b的关系，需先对整式进行化简。首先根据单项式乘多项式的法则展开乘积项，再合并同类项，最后观察化简结果中所含的字母，即可判断结果与哪些字母有关。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开各项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3a· a^2 + 3a· ab - 6a^3b +5a^2 +3ab·2a^2 -3ab· a\\&=3a^3 + 3a^2b -6a^3b +5a^2 +6a^3b -3a^2b\end{aligned}$
再合并同类项：
$3a^2b$与$-3a^2b$抵消，$-6a^3b$与$6a^3b$抵消，剩余项为$3a^3 +5a^2$。
化简后的结果中只含有字母a，不含字母b，因此原式的值只与a有关。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，合并同类项时要准确识别同类项，注意运算符号，通过化简就能快速判断结果与字母的关联。
【难度系数】
0.7
12 已知$-2x^2(3x^2 - ax -6) -3x^3 + x^2$中不含$x$的三次项，则$a$的值为
$\dfrac{3}{2}$
。答案
12. $\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将给定的整式展开并合并同类项，找到所有含$x^3$的项，合并后$x^3$项的系数就是关于$a$的代数式。由于整式中不含$x$的三次项，说明$x^3$项的系数为0，据此列方程求解即可得到$a$的值，计算时要注意单项式乘多项式的符号运算，避免符号出错。
【解析】
第一步：利用单项式乘多项式法则展开乘积项：
$-2x^2(3x^2 - ax -6) = -2x^2 · 3x^2 + (-2x^2) · (-ax) + (-2x^2) · (-6) = -6x^4 + 2ax^3 + 12x^2$
第二步：将展开结果代入原式，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-6x^4 + 2ax^3 + 12x^2 - 3x^3 + x^2 \\&=-6x^4 + (2a - 3)x^3 + 13x^2\end{aligned}$
第三步：根据“不含$x$的三次项”可知$x^3$项的系数为0，列方程：
$2a - 3 = 0$
解得：$a = \frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
单项式与多项式相乘、合并同类项、多项式项的系数
【点评】
本题是整式运算的常见基础题型，核心是理解“多项式不含某一项则该项的系数为0”的性质，计算过程中要重点注意单项式乘多项式时的符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要将给定的整式展开并合并同类项，找到所有含$x^3$的项，合并后$x^3$项的系数就是关于$a$的代数式。由于整式中不含$x$的三次项，说明$x^3$项的系数为0，据此列方程求解即可得到$a$的值，计算时要注意单项式乘多项式的符号运算，避免符号出错。
【解析】
第一步：利用单项式乘多项式法则展开乘积项：
$-2x^2(3x^2 - ax -6) = -2x^2 · 3x^2 + (-2x^2) · (-ax) + (-2x^2) · (-6) = -6x^4 + 2ax^3 + 12x^2$
第二步：将展开结果代入原式，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-6x^4 + 2ax^3 + 12x^2 - 3x^3 + x^2 \\&=-6x^4 + (2a - 3)x^3 + 13x^2\end{aligned}$
第三步：根据“不含$x$的三次项”可知$x^3$项的系数为0，列方程：
$2a - 3 = 0$
解得：$a = \frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
单项式与多项式相乘、合并同类项、多项式项的系数
【点评】
本题是整式运算的常见基础题型，核心是理解“多项式不含某一项则该项的系数为0”的性质，计算过程中要重点注意单项式乘多项式时的符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
