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1[2026云南昆明调研]如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高，若$AD=3$，$A'D'=4$，则$\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}$的值为（
A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{16}{9}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
D
）A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{16}{9}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
D 【解析】$\because △ ABC∽ △ A'B'C'$,AD和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高,$\therefore AB:A'B'=AD:A'D'=3:4$,$\therefore \frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{4}$. 故选 D.
解析
【分析】
本题要求两个相似三角形的周长之比，可结合相似三角形的性质求解：首先回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的对应高之比等于相似比，周长之比也等于相似比。因此第一步先根据已知的对应高的长度求出两个三角形的相似比，第二步利用周长比等于相似比，即可得到所求的比值。
【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高，
∴ 两个三角形的相似比等于对应高的比，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{4}$，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应高性质；相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形的性质应用，解题关键是明确相似比、对应高之比、周长比三者的等量关系，注意不要将周长比和面积比混淆。
【难度系数】
0.8
本题要求两个相似三角形的周长之比，可结合相似三角形的性质求解：首先回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的对应高之比等于相似比，周长之比也等于相似比。因此第一步先根据已知的对应高的长度求出两个三角形的相似比，第二步利用周长比等于相似比，即可得到所求的比值。
【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高，
∴ 两个三角形的相似比等于对应高的比，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{4}$，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应高性质；相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形的性质应用，解题关键是明确相似比、对应高之比、周长比三者的等量关系，注意不要将周长比和面积比混淆。
【难度系数】
0.8
2[2026福建泉州期中]
如图，$△ ABC ∽ △ DEF$，$AC // DF$，直线$AD$，$BE$，$CF$相交于点$O$，且$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$。若$△ ABC$的周长为15，则$△ DEF$的周长为
如图，$△ ABC ∽ △ DEF$，$AC // DF$，直线$AD$，$BE$，$CF$相交于点$O$，且$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$。若$△ ABC$的周长为15，则$△ DEF$的周长为
$\frac{75}{2}$
。答案
$\frac{75}{2}$ 【解析】$\because \frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{2}{5}$. $\because AC// DF$,$\therefore$ 易得$△ OAC∽ △ ODF$,$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{OA}{OD}=\frac{2}{5}$. 设$△ DEF$的周长为 $x$. $\because △ ABC∽ △ DEF$,$\therefore \frac{15}{x}=\frac{2}{5}$,$\therefore x=\frac{75}{2}$,$\therefore △ DEF$ 的周长为$\frac{75}{2}$. 故答案为 $\frac{75}{2}$.
解析
【分析】
要求△DEF的周长，已知△ABC的周长且两个三角形相似，根据相似三角形周长比等于相似比的性质，只需先求出两个三角形的相似比即可。首先结合已知的$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$可推导OA与OD的比值，再根据AC//DF的条件可证△OAC和△ODF相似，即可得到AC与DF的比，也就是△ABC和△DEF的相似比，最后代入周长比的关系就能计算出△DEF的周长。
【解析】
$\because \frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OA}{OA+AD}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
$\because AC// DF$，
$\therefore ∠ OAC=∠ ODF,∠ OCA=∠ OFD$，
$\therefore △ OAC ∽ △ ODF$，
$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{OA}{OD}=\frac{2}{5}$，即$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{2}{5}$。
$\because △ ABC ∽ △ DEF$，相似三角形的周长比等于相似比，且$△ ABC$的周长为15，
设$△ DEF$的周长为$x$，则$\frac{15}{x}=\frac{2}{5}$，
解得$x=\frac{15×5}{2}=\frac{75}{2}$。
【答案】
$\frac{75}{2}$
【知识点】
相似三角形周长性质、平行判定相似、比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题关键是通过平行线得到共顶点的相似三角形，结合已知线段比求出相似比，再利用周长比的性质求解，侧重考察相似三角形判定和性质的基础运用能力。
【难度系数】
0.7
要求△DEF的周长，已知△ABC的周长且两个三角形相似，根据相似三角形周长比等于相似比的性质，只需先求出两个三角形的相似比即可。首先结合已知的$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$可推导OA与OD的比值，再根据AC//DF的条件可证△OAC和△ODF相似，即可得到AC与DF的比，也就是△ABC和△DEF的相似比，最后代入周长比的关系就能计算出△DEF的周长。
【解析】
$\because \frac{OA}{AD}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OA}{OA+AD}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
$\because AC// DF$，
$\therefore ∠ OAC=∠ ODF,∠ OCA=∠ OFD$，
$\therefore △ OAC ∽ △ ODF$，
$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{OA}{OD}=\frac{2}{5}$，即$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{2}{5}$。
$\because △ ABC ∽ △ DEF$，相似三角形的周长比等于相似比，且$△ ABC$的周长为15，
设$△ DEF$的周长为$x$，则$\frac{15}{x}=\frac{2}{5}$，
解得$x=\frac{15×5}{2}=\frac{75}{2}$。
【答案】
$\frac{75}{2}$
【知识点】
相似三角形周长性质、平行判定相似、比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题关键是通过平行线得到共顶点的相似三角形，结合已知线段比求出相似比，再利用周长比的性质求解，侧重考察相似三角形判定和性质的基础运用能力。
【难度系数】
0.7
3[2026 浙江温州期中]已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$AB=4$，$AC=7$，$BC=8$，若$△ DEF$的最长边为16，则$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{1}{32}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{1}{32}$
答案
B 【解析】$\because △ ABC∽ △ DEF$,$AB=4$,$AC=7$,$BC=8$,$△ DEF$ 的最长边为 16,$\therefore △ ABC$ 和 $△ DEF$ 的相似比为 $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$. 故选 B.
解析
【分析】
要计算两个相似三角形的面积比，首先要明确相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此解题第一步是先确定两个三角形的相似比。相似三角形的对应边成比例，本题中两个三角形的最长边为对应边，先找到△ABC的最长边，结合△DEF的最长边即可求出相似比，最后代入面积比与相似比的关系就能得到结果。
【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$中最长边为$BC=8$，$△ DEF$的最长边为16，
∴ $△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的基础应用，解题核心是准确找到对应边确定相似比，易错点是容易混淆相似比和面积比的关系，误将面积比直接等同于相似比。
【难度系数】
0.8
要计算两个相似三角形的面积比，首先要明确相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此解题第一步是先确定两个三角形的相似比。相似三角形的对应边成比例，本题中两个三角形的最长边为对应边，先找到△ABC的最长边，结合△DEF的最长边即可求出相似比，最后代入面积比与相似比的关系就能得到结果。
【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$中最长边为$BC=8$，$△ DEF$的最长边为16，
∴ $△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的基础应用，解题核心是准确找到对应边确定相似比，易错点是容易混淆相似比和面积比的关系，误将面积比直接等同于相似比。
【难度系数】
0.8
4 如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，B，C分别在AD，AE上，$S_{△ ABC}: S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3$，$BC=\sqrt{2}$，则DE的长为（
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
B
）A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
B 【解析】$\because S_{△ ABC}:S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3$,$\therefore S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=1:4$. $\because △ ABC∽ △ ADE$,$\therefore (\frac{BC}{DE})^2=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{1}{2}$(负值已舍去). $\because BC=\sqrt{2}$,$\therefore DE=2\sqrt{2}$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的面积比例关系，先推导两个相似三角形的面积比：已知$S_{△ ABC}$与四边形$BDEC$的面积比为$1:3$，那么$S_{△ ABC}$与$S_{△ ADE}$的比为$1:(1+3)=1:4$。再回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于对应边的比值，由此可得到$BC$与$DE$的边长比，最后代入$BC$的长度即可求出$DE$的长。
【解析】
$\because S_{△ ABC}: S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3$
$\therefore S_{△ ABC}: S_{△ ADE}=1:(1+3)=1:4$
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，相似三角形的面积比等于相似比的平方
$\therefore (\frac{BC}{DE})^2 = \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{1}{4}$
$\because$ 边长为正数，$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{1}{2}$（负值舍去）
又$\because BC=\sqrt{2}$
$\therefore DE=2BC=2\sqrt{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形面积比性质
2. 比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是正确将三角形与四边形的面积比转化为两个相似三角形的面积比，需注意相似三角形的面积比是相似比的平方，不要直接将面积比等同于边长比。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的面积比例关系，先推导两个相似三角形的面积比：已知$S_{△ ABC}$与四边形$BDEC$的面积比为$1:3$，那么$S_{△ ABC}$与$S_{△ ADE}$的比为$1:(1+3)=1:4$。再回忆相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于对应边的比值，由此可得到$BC$与$DE$的边长比，最后代入$BC$的长度即可求出$DE$的长。
【解析】
$\because S_{△ ABC}: S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3$
$\therefore S_{△ ABC}: S_{△ ADE}=1:(1+3)=1:4$
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，相似三角形的面积比等于相似比的平方
$\therefore (\frac{BC}{DE})^2 = \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{1}{4}$
$\because$ 边长为正数，$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{1}{2}$（负值舍去）
又$\because BC=\sqrt{2}$
$\therefore DE=2BC=2\sqrt{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形面积比性质
2. 比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是正确将三角形与四边形的面积比转化为两个相似三角形的面积比，需注意相似三角形的面积比是相似比的平方，不要直接将面积比等同于边长比。
【难度系数】
0.8
5 如图,某社区拟筹资金2 000元,计划在一块上底、下底分别为10 m,20 m的梯形空地ABCD上种植花木,AC,BD交于点M.计划在△AMD和△BMC区域种植单价为10元/m²的太阳花.
(1)写出△ABM与△DMC的面积的大小关系,并说明理由.
(2)当△AMD区域种满花后,已知花了500元钱,若继续在△BMC区域种植同样的太阳花,资金是否够用?请说明理由.
(1)写出△ABM与△DMC的面积的大小关系,并说明理由.
(2)当△AMD区域种满花后,已知花了500元钱,若继续在△BMC区域种植同样的太阳花,资金是否够用?请说明理由.
答案
5.【解】(1)$S_{△ ABM}=S_{△ DMC}$. 理由:$\because$ 四边形 ABCD 是梯形,$\therefore AD// BC$,$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ DCA}$,$\therefore S_{△ ABD}-S_{△ AMD}=S_{△ DCA}-S_{△ AMD}$,$\therefore S_{△ AMB}=S_{△ DMC}$.
(2)不够用. 理由:
$\because$ 四边形 ABCD 是梯形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ MAD=∠ MCB$,$∠ MDA=∠ MBC$,$\therefore △ AMD∽ △ CMB$,$\therefore S_{△ AMD}:S_{△ BMC}=1:4$,$\therefore S_{△ BMC}=4S_{△ AMD}$.
$\because$ 当$△ AMD$ 区域种满花后, 花费 500 元, 且在$△ AMD$ 和$△ BMC$ 区域种植单价为 10 元/$m^2$ 的太阳花,$\therefore S_{△ AMD}=500÷ 10=50(\mathrm{m}^2)$.
$\because S_{△ BMC}=4S_{△ AMD}$,$\therefore S_{△ BMC}=200\ \mathrm{m}^2$,$\therefore$ 总花费为 $500+200× 10=2\ 500$(元). $\because 2\ 500＞2\ 000$,$\therefore$ 不够用.
(2)不够用. 理由:
$\because$ 四边形 ABCD 是梯形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ MAD=∠ MCB$,$∠ MDA=∠ MBC$,$\therefore △ AMD∽ △ CMB$,$\therefore S_{△ AMD}:S_{△ BMC}=1:4$,$\therefore S_{△ BMC}=4S_{△ AMD}$.
$\because$ 当$△ AMD$ 区域种满花后, 花费 500 元, 且在$△ AMD$ 和$△ BMC$ 区域种植单价为 10 元/$m^2$ 的太阳花,$\therefore S_{△ AMD}=500÷ 10=50(\mathrm{m}^2)$.
$\because S_{△ BMC}=4S_{△ AMD}$,$\therefore S_{△ BMC}=200\ \mathrm{m}^2$,$\therefore$ 总花费为 $500+200× 10=2\ 500$(元). $\because 2\ 500＞2\ 000$,$\therefore$ 不够用.
解析
【分析】
（1）要判断△ABM和△DMC的面积关系，首先利用梯形AD//BC的性质，可知△ABD和△DCA是同底（AD）等高的三角形，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△AMD的面积，即可得到剩余两个三角形的面积关系。
（2）先由AD//BC证明△AMD∽△CMB，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比；再根据△AMD的种植花费算出其面积，进而得到△BMC的面积，算出△BMC的种植花费后，加上已花费的500元，和总资金2000元比较即可判断资金是否够用。
【解析】
(1) $S_{△ ABM}=S_{△ DMC}$，理由如下：
∵四边形ABCD是梯形，
∴$AD// BC$，
∴△ABD和△DCA以AD为底时，高均为梯形的高，即$S_{△ ABD}=S_{△ DCA}$，
等式两边同时减去公共部分$△ AMD$的面积，可得：
$S_{△ ABD}-S_{△ AMD}=S_{△ DCA}-S_{△ AMD}$，即$S_{△ AMB}=S_{△ DMC}$。
(2) 资金不够用，理由如下：
∵四边形ABCD是梯形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ MAD=∠ MCB$，$∠ MDA=∠ MBC$，
∴$△ AMD ∽ △ CMB$，
相似比为$AD:BC=10:20=1:2$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$S_{△ AMD}:S_{△ BMC}=1^2:2^2=1:4$，即$S_{△ BMC}=4S_{△ AMD}$。
已知△AMD种满花花费500元，太阳花单价为10元/$m^2$，
则$S_{△ AMD}=500÷10=50(\mathrm{m}^2)$，
∴$S_{△ BMC}=4×50=200(\mathrm{m}^2)$，
种植△BMC区域需要花费$200×10=2000$（元），
总花费为$500+2000=2500$（元），
∵$2500＞2000$，
∴资金不够用。
【答案】
(1) $S_{△ ABM}=S_{△ DMC}$，理由见解析；
(2) 不够用，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的性质，梯形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际种植场景考查几何知识的应用，解题的关键是利用梯形的平行线性质得到相似三角形，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，能有效提升学生将几何知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断△ABM和△DMC的面积关系，首先利用梯形AD//BC的性质，可知△ABD和△DCA是同底（AD）等高的三角形，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△AMD的面积，即可得到剩余两个三角形的面积关系。
（2）先由AD//BC证明△AMD∽△CMB，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比；再根据△AMD的种植花费算出其面积，进而得到△BMC的面积，算出△BMC的种植花费后，加上已花费的500元，和总资金2000元比较即可判断资金是否够用。
【解析】
(1) $S_{△ ABM}=S_{△ DMC}$，理由如下：
∵四边形ABCD是梯形，
∴$AD// BC$，
∴△ABD和△DCA以AD为底时，高均为梯形的高，即$S_{△ ABD}=S_{△ DCA}$，
等式两边同时减去公共部分$△ AMD$的面积，可得：
$S_{△ ABD}-S_{△ AMD}=S_{△ DCA}-S_{△ AMD}$，即$S_{△ AMB}=S_{△ DMC}$。
(2) 资金不够用，理由如下：
∵四边形ABCD是梯形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ MAD=∠ MCB$，$∠ MDA=∠ MBC$，
∴$△ AMD ∽ △ CMB$，
相似比为$AD:BC=10:20=1:2$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$S_{△ AMD}:S_{△ BMC}=1^2:2^2=1:4$，即$S_{△ BMC}=4S_{△ AMD}$。
已知△AMD种满花花费500元，太阳花单价为10元/$m^2$，
则$S_{△ AMD}=500÷10=50(\mathrm{m}^2)$，
∴$S_{△ BMC}=4×50=200(\mathrm{m}^2)$，
种植△BMC区域需要花费$200×10=2000$（元），
总花费为$500+2000=2500$（元），
∵$2500＞2000$，
∴资金不够用。
【答案】
(1) $S_{△ ABM}=S_{△ DMC}$，理由见解析；
(2) 不够用，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的性质，梯形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际种植场景考查几何知识的应用，解题的关键是利用梯形的平行线性质得到相似三角形，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，能有效提升学生将几何知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6 两个相似三角形的面积比是4:9,其中一个三角形的周长为24,则另一个三角形的周长是（
A.16
B.16或28
C.36
D.16或36
D
）A.16
B.16或28
C.36
D.16或36
答案
D 【解析】$\because$ 两个相似三角形的面积比是 $4:9$,$\therefore$ 这两个相似三角形的相似比是 $2:3$,$\therefore$ 这两个相似三角形的周长比是 $2:3$. $\because$ 一个三角形的周长为 24,$\therefore$ 另一个三角形的周长是 16 或 36. 故选 D.
解析
【分析】
遇到相似三角形面积比求周长的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。第一步先通过已知的面积比推导相似比，再得到周长比；其次注意题目仅说明“其中一个三角形周长为24”，未明确该三角形是周长较大的还是较小的，因此需要分两种情况讨论计算，即可得到另一个三角形的所有可能周长。
【解析】
解：$\because$ 两个相似三角形的面积比是 $4:9$，
$\therefore$ 两个相似三角形的相似比为 $\sqrt{4}:\sqrt{9}=2:3$，
又$\because$ 相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore$ 两个相似三角形的周长比为 $2:3$。
分两种情况讨论：
① 若周长为24的是较小的三角形，设另一个三角形周长为$x$，则 $\frac{24}{x}=\frac{2}{3}$，解得 $x=36$；
② 若周长为24的是较大的三角形，设另一个三角形周长为$y$，则 $\frac{y}{24}=\frac{2}{3}$，解得 $y=16$。
综上，另一个三角形的周长是16或36，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形面积比与相似比的关系
2. 相似三角形周长比与相似比的关系
【点评】
本题主要考查相似三角形性质的应用，易错点是忽略周长为24的三角形的两种可能性，漏算其中一个答案，解题时要注意审题，全面考虑所有符合题意的情况。
【难度系数】
0.7
遇到相似三角形面积比求周长的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。第一步先通过已知的面积比推导相似比，再得到周长比；其次注意题目仅说明“其中一个三角形周长为24”，未明确该三角形是周长较大的还是较小的，因此需要分两种情况讨论计算，即可得到另一个三角形的所有可能周长。
【解析】
解：$\because$ 两个相似三角形的面积比是 $4:9$，
$\therefore$ 两个相似三角形的相似比为 $\sqrt{4}:\sqrt{9}=2:3$，
又$\because$ 相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore$ 两个相似三角形的周长比为 $2:3$。
分两种情况讨论：
① 若周长为24的是较小的三角形，设另一个三角形周长为$x$，则 $\frac{24}{x}=\frac{2}{3}$，解得 $x=36$；
② 若周长为24的是较大的三角形，设另一个三角形周长为$y$，则 $\frac{y}{24}=\frac{2}{3}$，解得 $y=16$。
综上，另一个三角形的周长是16或36，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形面积比与相似比的关系
2. 相似三角形周长比与相似比的关系
【点评】
本题主要考查相似三角形性质的应用，易错点是忽略周长为24的三角形的两种可能性，漏算其中一个答案，解题时要注意审题，全面考虑所有符合题意的情况。
【难度系数】
0.7
7[2025安徽滁州调研]如图,在$△ ABC$中,D是AC上一点,$\frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$, $△ BCD$的周长是24 cm.
(1)求$△ ABC$的周长;
(2)求$△ BCD$与$△ ABD$的面积比.
(1)求$△ ABC$的周长;
(2)求$△ BCD$与$△ ABD$的面积比.
答案
7.【解】(1)$\because \frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$,且$∠ C=∠ C$,$\therefore △ BCD∽ △ ACB$,$\therefore \frac{C_{△ ABC}}{C_{△ BCD}}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}$,$\therefore △ ABC$ 的周长为 $\frac{3}{2}× 24=36(\mathrm{cm})$.
(2)$\because △ BCD∽ △ ACB$,$\therefore \frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$,$\therefore △ BCD$ 与 $△ ABD$ 的面积比为$4:5$.
(2)$\because △ BCD∽ △ ACB$,$\therefore \frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$,$\therefore △ BCD$ 与 $△ ABD$ 的面积比为$4:5$.
解析
【分析】
对于第(1)问，先观察已知条件：给出了两组边的比例相等，且$△ BCD$和$△ ACB$有公共角$∠ C$，结合相似三角形的判定定理可证两个三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，结合$△ BCD$的周长即可求出$△ ABC$的周长。对于第(2)问，先根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出$△ BCD$与$△ ABC$的面积比，再通过$△ ABD$的面积等于$△ ABC$与$△ BCD$的面积差，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
(1) $\because \frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$，且$∠ C=∠ C$（公共角），
$\therefore △ BCD ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形的周长比等于相似比，即$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ BCD}}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}$，
已知$△ BCD$的周长为24cm，因此$△ ABC$的周长为$\frac{3}{2} × 24=36(\mathrm{cm})$。
(2) $\because △ BCD ∽ △ ACB$，相似比为$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
设$S_{△ BCD}=4k$，则$S_{△ ABC}=9k$，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ BCD}=9k-4k=5k$，
$\therefore \frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABD}}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$，即$△ BCD$与$△ ABD$的面积比为$4:5$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$\boxed{36\mathrm{cm}}$；(2) $△ BCD$与$△ ABD$的面积比为$\boxed{4:5}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形周长比性质、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先利用边的比例关系和公共角判定三角形相似，再结合相似的周长、面积性质求解相关量，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，先观察已知条件：给出了两组边的比例相等，且$△ BCD$和$△ ACB$有公共角$∠ C$，结合相似三角形的判定定理可证两个三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，结合$△ BCD$的周长即可求出$△ ABC$的周长。对于第(2)问，先根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出$△ BCD$与$△ ABC$的面积比，再通过$△ ABD$的面积等于$△ ABC$与$△ BCD$的面积差，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
(1) $\because \frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$，且$∠ C=∠ C$（公共角），
$\therefore △ BCD ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形的周长比等于相似比，即$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ BCD}}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}$，
已知$△ BCD$的周长为24cm，因此$△ ABC$的周长为$\frac{3}{2} × 24=36(\mathrm{cm})$。
(2) $\because △ BCD ∽ △ ACB$，相似比为$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
设$S_{△ BCD}=4k$，则$S_{△ ABC}=9k$，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ BCD}=9k-4k=5k$，
$\therefore \frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABD}}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$，即$△ BCD$与$△ ABD$的面积比为$4:5$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$\boxed{36\mathrm{cm}}$；(2) $△ BCD$与$△ ABD$的面积比为$\boxed{4:5}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形周长比性质、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先利用边的比例关系和公共角判定三角形相似，再结合相似的周长、面积性质求解相关量，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
8 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，它们的面积之比为16:25，它们的相似比为
$\frac{4}{5}$
，若四边形A'B'C'D'的周长为15 cm，则四边形ABCD的周长为12 cm
。答案
$\frac{4}{5}$ 12 cm 【解析】$\because$ 相似多边形面积之比等于相似比的平方,$\therefore$ 它们的相似比是 $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$. $\because$ 周长之比等于相似比,四边形$A'B'C'D'$的周长为 15 cm,$\therefore$ 四边形 ABCD 的周长为 $15× \frac{4}{5}=12(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
题目给出两个相似四边形的面积比，要求相似比和其中一个四边形的周长。解题时先回忆相似多边形的核心性质：第一，相似多边形的面积比等于相似比的平方，可由已知的面积比开平方得到相似比，注意相似比的前后对应顺序要和面积比的前后顺序一致；第二，相似多边形的周长比等于相似比，已知相似比和其中一个四边形的周长，代入对应关系即可求出另一个四边形的周长。
【解析】
∵相似多边形的面积之比等于相似比的平方，已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为16:25，
∴它们的相似比为$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。
又
∵相似多边形的周长之比等于相似比，四边形$A'B'C'D'$的周长为15 cm，
∴四边形ABCD的周长为$15×\frac{4}{5}=12(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\frac{4}{5}$；12 cm
【知识点】
相似多边形面积比性质；相似多边形周长比性质
【点评】
本题属于相似多边形性质的基础应用题，解题的关键是准确区分相似多边形的面积比、周长比与相似比的对应关系，计算时注意相似比的前后顺序，避免混淆顺序出现错误。
【难度系数】
0.8
题目给出两个相似四边形的面积比，要求相似比和其中一个四边形的周长。解题时先回忆相似多边形的核心性质：第一，相似多边形的面积比等于相似比的平方，可由已知的面积比开平方得到相似比，注意相似比的前后对应顺序要和面积比的前后顺序一致；第二，相似多边形的周长比等于相似比，已知相似比和其中一个四边形的周长，代入对应关系即可求出另一个四边形的周长。
【解析】
∵相似多边形的面积之比等于相似比的平方，已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为16:25，
∴它们的相似比为$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。
又
∵相似多边形的周长之比等于相似比，四边形$A'B'C'D'$的周长为15 cm，
∴四边形ABCD的周长为$15×\frac{4}{5}=12(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\frac{4}{5}$；12 cm
【知识点】
相似多边形面积比性质；相似多边形周长比性质
【点评】
本题属于相似多边形性质的基础应用题，解题的关键是准确区分相似多边形的面积比、周长比与相似比的对应关系，计算时注意相似比的前后顺序，避免混淆顺序出现错误。
【难度系数】
0.8
