1[2026辽宁丹东质检]已知两个相似三角形的对应边的比为4:1,则它们对应高线的比为 ()

A.2:1
B.4:1
C.1:2
D.16:1

1.B 【解析】
∵两个相似三角形的对应边的比为4:1,
∴其相似比为4:1,
∴它们对应高线的比为4:1.故选B.

【分析】
解题时首先从题干提取关键信息：两个三角形相似，对应边比为4:1，要求对应高线的比。第一步先明确：相似三角形对应边的比就是相似比；第二步回忆相似三角形的性质：相似三角形的所有对应线段（包括对应高线、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比，因此直接结合已知的相似比就能得到对应高线的比。
【解析】
∵两个相似三角形的对应边的比为4:1，
∴这两个相似三角形的相似比为4:1，
又
∵相似三角形对应高线的比等于相似比，
∴它们对应高线的比为4:1，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似比的概念
2.相似三角形对应线段的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，核心是区分相似三角形对应线段比、周长比与面积比和相似比的关系，牢记对应线段比等于相似比即可快速解题，避免与面积比混淆。
【难度系数】
0.9

2[2025广西贵港校级质检]顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应中线的比是 ()

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$

2.D 【解析】因为顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形相似,且相似比为1:2.因为相似三角形对应中线的比等于相似比,所以顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应中线的比是1:2.故选D.

【分析】
首先根据题目条件“顺次连接三角形三边的中点”，可联想到三角形中位线定理，由中位线的性质可得到新三角形与原三角形的边长关系，进而判断两个三角形相似并求出相似比；再结合相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，即可求出对应中线的比值。
【解析】
解：顺次连接三角形三边的中点，所得的线段都是原三角形的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因此所得新三角形的三边长均为原三角形对应边长的$\frac{1}{2}$。
由此可知新三角形与原三角形相似，且相似比为$1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，因此所得的三角形与原三角形对应中线的比为$1:2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用中位线定理确定两个三角形的相似比，再结合相似三角形对应线段的性质求解，熟练掌握相关定理和性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3 [2026 山西运城期中]如果两个相似三角形的对应边之比为$2:5$，其中一个三角形的一条角平分线长为7，则另一个三角形的对应角平分线的长为（）

A.$\frac{35}{2}$
B.$\frac{14}{5}$
C.$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$
D.无法确定

3.C 【解析】设另一个三角形的对应角平分线的长为x.
∵两个相似三角形的对应边之比为2:5,
∴它们的对应角平分线的比为2:5.已知其中一个三角形的一条角平分线长为7,而这条角平分线可能是小三角形的,也可能是大三角形的,
∴2:5=x:7或2:5=7:x,解得$x=\frac{14}{5}$或$\frac{35}{2}$,
∴另一个三角形的对应角平分线的长为$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$.故选C.

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线之比等于相似比（即对应边的比）。本题已知两个相似三角形的对应边比为2:5，但仅说明其中一个三角形的角平分线长为7，未明确该角平分线属于较小三角形还是较大三角形，因此需要分两种情况讨论，分别列比例式求解即可得到结果。
【解析】
设另一个三角形的对应角平分线的长为$x$。
∵两个相似三角形的对应边之比为$2:5$，
∴两个相似三角形的对应角平分线之比等于相似比，即为$2:5$。
已知其中一个三角形的一条角平分线长为7，分两种情况讨论：
① 若长为7的角平分线是较小三角形的角平分线，则$\frac{2}{5}=\frac{7}{x}$，解得$x=\frac{35}{2}$；
② 若长为7的角平分线是较大三角形的角平分线，则$\frac{2}{5}=\frac{x}{7}$，解得$x=\frac{14}{5}$。
综上，另一个三角形的对应角平分线的长为$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$。
【答案】C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，核心考查相似三角形对应线段比等于相似比的应用，解题的关键是注意审题，明确已知角平分线的归属不唯一，需要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且相似比为$4:3$，若$△ ABC$中$BC$边上的中线$AM=8$，则$△ DEF$中$EF$边上的中线$DN=$。

4.6 【解析】由相似三角形对应中线的比等于相似比可得$AM:DN=4:3$,即$8:DN=4:3$,$\therefore DN=6$.

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线的比都等于相似比；其次确认题目中AM是△ABC的BC边上中线，DN是△DEF的EF边上中线，BC与EF是相似三角形的对应边，因此AM、DN是对应中线，二者的比等于相似比4:3；最后将已知的AM=8代入比例式，解比例即可求出DN的长度，注意相似比的前项对应△ABC，后项对应△DEF，不要颠倒顺序。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，相似比为4:3，AM是△ABC中BC边上的中线，DN是△DEF中EF边上的中线
∴根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{DN}=\frac{4}{3}$
将$AM=8$代入上式，得：
$\frac{8}{DN}=\frac{4}{3}$
交叉相乘得：$4DN=8×3=24$
解得：$DN=6$
【答案】
6
【知识点】
相似三角形性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心考查相似三角形对应线段比与相似比的关系，解题时只要准确识别对应线段，明确相似比的对应顺序，即可快速列式求解。
【难度系数】
0.8

5[2025湖南长沙质检]已知两个相似三角形的对应角平分线的比为1:3,较大的三角形的最长边是18 cm,则较小的三角形的最长边为 cm.

5.6 【解析】设较小的三角形的最长边为x cm,则$1:3=x:18$,解得$x=6$.

【分析】
解题时需先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的对应角平分线、对应边等所有对应线段的比都等于相似比。本题给出两个相似三角形对应角平分线的比为1:3，说明两个三角形的相似比（较小三角形:较大三角形）为1:3，而两个三角形的最长边为对应边，长度比与相似比相等，据此设未知数列比例式求解即可，注意列比例式时要保证小边对应小边、大边对应大边，避免比例关系写反。
【解析】
设较小的三角形的最长边为x cm，
∵相似三角形对应角平分线的比等于对应边的比，
∴$1:3=x:18$，
根据比例的基本性质可得$3x=18$，
解得$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形对应线段比与相似比的关系，只要牢记相似三角形的性质，找准对应量的比例关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.9

6 如图,图(1)是装满了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上,如图(2)所示,此时液面距离杯口的距离$h=$ cm.

6.$\frac{8}{5}$ 【解析】如图,过 O 作 $ON ⊥ CD$ 于 N,交 AB 于 M. $\because CD// AB$,$\therefore OM ⊥ AB$. $\because OC=OD$,$\therefore CN = \frac{1}{2} CD = 3 \mathrm{ cm}$, $\therefore ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 (\mathrm{ cm} )$.
$\because CD// AB$,$\therefore$ 易得 $△ CDO ∽ △ ABO$,$\therefore \frac{OA}{OC} = \frac{OM}{ON}$,
$\therefore \frac{3}{5} = \frac{OM}{4}$,$\therefore OM=\frac{12}{5} \mathrm{ cm}$,$\therefore h=4-\frac{12}{5}=\frac{8}{5}(\mathrm{ cm})$,故答案为$\frac{8}{5}$.

【分析】
解决本题的核心是利用相似三角形的性质求解高度差：第一步先作大等腰三角形的高，用勾股定理求出大三角形的高；第二步由液面和杯口平行可知大小两个三角形相似，相似比等于对应腰的比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出小三角形的高；第三步用大三角形的高减去小三角形的高，即可得到液面距离杯口的距离h。
【解析】
解：如图，过O作$ON ⊥ CD$于N，交AB于M。
$\because CD// AB$，$\therefore OM ⊥ AB$。
$\because OC=OD=5\mathrm{cm}$，ON是等腰$△ OCD$底边上的高，$\therefore CN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}×6 = 3 \mathrm{ cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCN$中，由勾股定理得：$ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \mathrm{ cm}$。
$\because CD// AB$，$\therefore △ CDO ∽ △ ABO$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{OA}{OC} = \frac{OM}{ON}$，
已知$OA=3\mathrm{cm}$，$OC=5\mathrm{cm}$，$ON=4\mathrm{cm}$，代入得$\frac{3}{5} = \frac{OM}{4}$，解得$OM=\frac{12}{5} \mathrm{ cm}$，
$\therefore h=ON-OM=4-\frac{12}{5}=\frac{8}{5}\mathrm{ cm}$。

【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的高脚杯场景，将实际问题转化为几何相似问题，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生的模型转化能力，解题的关键是找准两个相似三角形对应边、对应高的比例关系。
【难度系数】
0.7

7[2026福建漳州期中]为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但两面墙的距离只有3 m.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计的方案新颖，构思巧妙.

(1)甲同学的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙同学的方案中如果视力表的全长为0.8 m，请计算出镜长至少为多少米。

7.【解】(1)由题意知 $BC ⊥ AB$,$DF ⊥ AD$,$\therefore ∠ CBA = ∠ FDA=90°$.
又$\because ∠ CAB = ∠ FAD$,$\therefore △ CAB ∽ △ FAD$,$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{DF}{BC}$.
$\because AD=3 \mathrm{ m}$,$AB=5 \mathrm{ m}$,$BC=3.5 \mathrm{ cm}$,$\therefore \frac{3}{5} = \frac{DF}{3.5}$,解得
$DF=2.1 \mathrm{ cm}$,即小视力表中相应“E”的高是2.1 cm.
(2)如图,连接 $A' B'$,作 $CD ⊥ MN$ 于点 D,延长 CD 交 $A' B'$ 于点 E. 由题意知,
$AB// MN// A' B'$.
$\because MN// A' B'$,$CD ⊥ MN$,
$\therefore CE ⊥ A' B'$,$∠ MNC = ∠ A' B' C$,$∠ NMC = ∠ B' A' C$,$\therefore △ MNC ∽ △ A' B' C$,
$\therefore \frac{MN}{A' B'} = \frac{CD}{CE}$.
由题意知 $CE=5 \mathrm{ m}$,$DE=3 \mathrm{ m}$,$A' B' = AB=0.8 \mathrm{ m}$,
$\therefore CD=CE-DE=2 \mathrm{ m}$,$\therefore \frac{MN}{0.8} = \frac{2}{5}$,$\therefore MN=0.32 \mathrm{ m}$,
$\therefore$ 镜长至少为 0.32 m.

【分析】
(1) 甲方案中，首先观察到大、小视力表的“E”的边都垂直于水平面，可得两个直角相等，且两个三角形共用∠A，可判定△CAB与△FAD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出小视力表“E”的高度。
(2) 乙方案中，根据平面镜成像特点，视力表的像与物大小相等、到平面镜距离相等。过点C作MN的垂线，分别交MN和像$A'B'$于D、E，由MN平行于$A'B'$可判定△MNC与△$A'B'$C相似，先求出两个三角形的高CD、CE，再利用相似三角形对应边成比例即可求出最小镜长。
【解析】
(1) 由题意知 $BC ⊥ AB$,$DF ⊥ AD$,
$\therefore ∠ CBA = ∠ FDA=90°$.
又$\because ∠ CAB = ∠ FAD$,
$\therefore △ CAB ∽ △ FAD$,
$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{DF}{BC}$.
$\because AD=3 \mathrm{ m}$,$AB=5 \mathrm{ m}$,$BC=3.5 \mathrm{ cm}$,
$\therefore \frac{3}{5} = \frac{DF}{3.5}$,解得 $DF=2.1 \mathrm{ cm}$.
(2) 如图,连接 $A' B'$,作 $CD ⊥ MN$ 于点 D,延长 CD 交 $A' B'$ 于点 E. 由题意知,$AB// MN// A' B'$.
$\because MN// A' B'$,$CD ⊥ MN$,
$\therefore CE ⊥ A' B'$,$∠ MNC = ∠ A' B' C$,$∠ NMC = ∠ B' A' C$,
$\therefore △ MNC ∽ △ A' B' C$,
$\therefore \frac{MN}{A' B'} = \frac{CD}{CE}$.
由题意知 $CE=5 \mathrm{ m}$,$DE=3 \mathrm{ m}$,$A' B' = AB=0.8 \mathrm{ m}$,
$\therefore CD=CE-DE=2 \mathrm{ m}$,
$\therefore \frac{MN}{0.8} = \frac{2}{5}$,解得 $MN=0.32 \mathrm{ m}$.
【答案】
(1) 小视力表中相应“E”的高是2.1 cm；
(2) 镜长至少为0.32 m。

【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平面镜成像特点
【点评】
本题结合测视力的生活场景，将几何知识和实际问题结合，考查了相似三角形相关知识的应用，引导学生学会从实际问题中抽象出几何模型，用数学知识解决生活中的实际问题。
【难度系数】
0.7