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1[2025河北邯郸期中,中]如图,在$□ ABCD$中,P是AD边上的一个点,连接PB,PC,M,N分别是PB,PC的中点.若$S_{四边形BMNC}=6$,则$S_{□ ABCD}$的值是 (
A.12
B.14
C.16
D.18
(第1题图)
(第2题图)
C
)A.12
B.14
C.16
D.18
(第1题图)
(第2题图)
答案
C 【解析】$\because$ 四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$. $\because M,N$ 分别是 $PB,PC$ 的中点,$\therefore MN// BC$,$MN=\frac{1}{2}BC$,$\therefore$ 易得 $△ PMN∽ △ PBC$,$\therefore \frac{S_{△ PMN}}{S_{△ PBC}}=(\frac{MN}{BC})^2=\frac{1}{4}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}BMNC}=\frac{3}{4}S_{△ PBC}$.又$\because S_{\mathrm{四边形}BMNC}=6$,$\therefore S_{△ PBC}=8$,$\therefore S_{□ ABCD}=16$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据平行四边形的性质，可推出△PBC的面积是平行四边形ABCD面积的一半；第二步，由M、N是PB、PC的中点，可知MN是△PBC的中位线，进而得到△PMN与△PBC相似，且相似比为1:2；第三步，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可推出四边形BMNC的面积与△PBC面积的比例关系，结合已知的四边形面积即可逐步求出平行四边形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD为平行四边形，△PBC与ABCD同底BC，且△PBC的高等于ABCD的高，
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
∵ M，N分别是PB，PC的中点，
∴ MN是△PBC的中位线，
∴ $MN// BC$，$MN=\frac{1}{2}BC$，
∴ $△ PMN ∽ △ PBC$，相似比为$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{S_{△ PMN}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{四边形BMNC}=S_{△ PBC}-S_{△ PMN}=\frac{3}{4}S_{△ PBC}$。
又
∵ $S_{四边形BMNC}=6$，
∴ $S_{△ PBC}=6÷\frac{3}{4}=8$，
∴ $S_{□ ABCD}=2S_{△ PBC}=2×8=16$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是几何面积计算的常规题型，将平行四边形、中位线、相似三角形的核心性质结合考查，解题的关键是理清各图形面积间的比例关系，能够较好地检验学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据平行四边形的性质，可推出△PBC的面积是平行四边形ABCD面积的一半；第二步，由M、N是PB、PC的中点，可知MN是△PBC的中位线，进而得到△PMN与△PBC相似，且相似比为1:2；第三步，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可推出四边形BMNC的面积与△PBC面积的比例关系，结合已知的四边形面积即可逐步求出平行四边形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD为平行四边形，△PBC与ABCD同底BC，且△PBC的高等于ABCD的高，
∴ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
∵ M，N分别是PB，PC的中点，
∴ MN是△PBC的中位线，
∴ $MN// BC$，$MN=\frac{1}{2}BC$，
∴ $△ PMN ∽ △ PBC$，相似比为$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{S_{△ PMN}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{四边形BMNC}=S_{△ PBC}-S_{△ PMN}=\frac{3}{4}S_{△ PBC}$。
又
∵ $S_{四边形BMNC}=6$，
∴ $S_{△ PBC}=6÷\frac{3}{4}=8$，
∴ $S_{□ ABCD}=2S_{△ PBC}=2×8=16$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是几何面积计算的常规题型，将平行四边形、中位线、相似三角形的核心性质结合考查，解题的关键是理清各图形面积间的比例关系，能够较好地检验学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2[中]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中几个最小的三角形面积均为1,△ABC的面积为44,则四边形DBCE的面积是 (
A.22
B.24
C.26
D.28
D
)A.22
B.24
C.26
D.28
答案
D 【解析】如图,根据题意得$△ AFH∽ △ ADE$,$FH:DE=3:4$,$\therefore \frac{S_{△ AFH}}{S_{△ ADE}}=(\frac{FH}{DE})^2=\frac{9}{16}$.
设$S_{△ AFH}=9x$,则$S_{△ ADE}=16x$,$\therefore 16x-9x=7$,解得 $x=1$,$\therefore S_{△ ADE}=16$,$\therefore$ 四边形 DBCE 的面积为 $44-16=28$. 故选 D.
解析
【分析】
要求四边形DBCE的面积，可先用△ABC的总面积减去△ADE的面积求解。已知图中所有三角形均相似，结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先确定△AFH和△ADE的相似比，再根据两个三角形的面积差等于7个最小三角形的面积和建立方程，即可求出△ADE的面积，最终得到四边形的面积。
【解析】
根据题意得△AFH∽△ADE，且相似比$FH:DE=3:4$，
由相似三角形面积比等于相似比的平方可得：
$\frac{S_{△ AFH}}{S_{△ ADE}}=(\frac{FH}{DE})^2=\frac{9}{16}$。
设$S_{△ AFH}=9x$，则$S_{△ ADE}=16x$，
观察图形可知两个三角形的面积差为7个最小三角形的面积和，即$16x-9x=7×1$，解得$x=1$，
因此$S_{△ ADE}=16×1=16$，
则四边形DBCE的面积为$S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=44-16=28$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形面积比与相似比的关系
【点评】
本题主要考查相似三角形面积性质的应用，解题的核心是准确找到相似三角形的相似比，结合图形面积差建立方程，能有效考查学生的图形分析能力和性质运用能力。
【难度系数】
0.7
要求四边形DBCE的面积，可先用△ABC的总面积减去△ADE的面积求解。已知图中所有三角形均相似，结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先确定△AFH和△ADE的相似比，再根据两个三角形的面积差等于7个最小三角形的面积和建立方程，即可求出△ADE的面积，最终得到四边形的面积。
【解析】
根据题意得△AFH∽△ADE，且相似比$FH:DE=3:4$，
由相似三角形面积比等于相似比的平方可得：
$\frac{S_{△ AFH}}{S_{△ ADE}}=(\frac{FH}{DE})^2=\frac{9}{16}$。
设$S_{△ AFH}=9x$，则$S_{△ ADE}=16x$，
观察图形可知两个三角形的面积差为7个最小三角形的面积和，即$16x-9x=7×1$，解得$x=1$，
因此$S_{△ ADE}=16×1=16$，
则四边形DBCE的面积为$S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=44-16=28$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形面积比与相似比的关系
【点评】
本题主要考查相似三角形面积性质的应用，解题的核心是准确找到相似三角形的相似比，结合图形面积差建立方程，能有效考查学生的图形分析能力和性质运用能力。
【难度系数】
0.7
3[2025四川宜宾中考,中]如图,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则$\frac{AE}{EC}$的值为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
(第3题图)
(第4题图)
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
(第3题图)
(第4题图)
答案
C 【解析】如图所示,过点 D 作 $DF// BC$ 交 AC 于点 F. $\because AD=2DB$,$\therefore \frac{AD}{BD}=2$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$. $\because DF// BC$,$\therefore$ 易得 $△ AFD∽ △ ACB$,$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}$,$\therefore$ 设 $S_{△ AFD}=4S$,$S_{△ ACB}=9S$. $\because$ 沿 DE 将 $△ ABC$ 剪成面积相等的两部分,$\therefore S_{△ ADE}=\frac{9}{2}S$,$\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{4S}{\frac{9}{2}S}=\frac{8}{9}=\frac{AF}{AE}$,$\therefore \frac{AF}{AE}÷ \frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AE}· \frac{AC}{AF}=\frac{AC}{AE}=\frac{8}{9}÷ \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$,$\therefore \frac{AE}{EC}=3$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的AD与DB的比例关系，结合所求的AC边上的线段比例，考虑通过作平行线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到构造出的小三角形与原三角形的面积比；再结合DE将三角形分成面积相等的两部分的条件，利用同高的三角形面积比等于底边长的比，逐步推导出AE与AC的比例关系，最终求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
如图，过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$。
$\because AD=2DB$，$\therefore \frac{AD}{BD}=2$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{3}$。
$\because DF// BC$，$\therefore ∠ AFD=∠ C$，$∠ ADF=∠ B$，$\therefore △ AFD ∽ △ ACB$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△ AFD}=4S$，则$S_{△ ACB}=9S$。
$\because$沿$DE$将$△ ABC$剪成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{9}{2}S$。
$\because △ AFD$和$△ ADE$以$D$为顶点时，$AC$边上的高相同，$\therefore$二者的面积比等于底边长的比，即：
$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{AF}{AE}=\frac{4S}{\frac{9}{2}S}=\frac{8}{9}$。
又由$△ AFD ∽ △ ACB$得$\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，即$AF=\frac{2}{3}AC$，将其代入$\frac{AF}{AE}=\frac{8}{9}$得：
$\frac{\frac{2}{3}AC}{AE}=\frac{8}{9}$，解得$\frac{AC}{AE}=\frac{4}{3}$，即$AE=\frac{3}{4}AC$。
$\therefore EC=AC-AE=AC-\frac{3}{4}AC=\frac{1}{4}AC$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{4}AC}=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积比例关系
【点评】
本题结合图形裁剪的场景考查相似三角形与三角形面积的综合应用，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，将面积条件转化为线段比例关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的AD与DB的比例关系，结合所求的AC边上的线段比例，考虑通过作平行线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到构造出的小三角形与原三角形的面积比；再结合DE将三角形分成面积相等的两部分的条件，利用同高的三角形面积比等于底边长的比，逐步推导出AE与AC的比例关系，最终求出$\frac{AE}{EC}$的值。
【解析】
如图，过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$。
$\because AD=2DB$，$\therefore \frac{AD}{BD}=2$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{3}$。
$\because DF// BC$，$\therefore ∠ AFD=∠ C$，$∠ ADF=∠ B$，$\therefore △ AFD ∽ △ ACB$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△ AFD}=4S$，则$S_{△ ACB}=9S$。
$\because$沿$DE$将$△ ABC$剪成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{9}{2}S$。
$\because △ AFD$和$△ ADE$以$D$为顶点时，$AC$边上的高相同，$\therefore$二者的面积比等于底边长的比，即：
$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{AF}{AE}=\frac{4S}{\frac{9}{2}S}=\frac{8}{9}$。
又由$△ AFD ∽ △ ACB$得$\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，即$AF=\frac{2}{3}AC$，将其代入$\frac{AF}{AE}=\frac{8}{9}$得：
$\frac{\frac{2}{3}AC}{AE}=\frac{8}{9}$，解得$\frac{AC}{AE}=\frac{4}{3}$，即$AE=\frac{3}{4}AC$。
$\therefore EC=AC-AE=AC-\frac{3}{4}AC=\frac{1}{4}AC$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{4}AC}=3$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积比例关系
【点评】
本题结合图形裁剪的场景考查相似三角形与三角形面积的综合应用，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，将面积条件转化为线段比例关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4[2026 陕西西安质检,中]如图,在等边$△ ABC$内作等边$△ EFD$,若$∠ FDC=90°$,则$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}$的值为________.
答案
3 【解析】$\because △ ABC,△ DEF$ 是等边三角形,$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60°$,$AB=BC=AC$,$∠ EDF=∠ DFE=∠ DEF=60°$,$DE=DF=EF$. $\because ∠ FDC=90°$,$\therefore ∠ CFD=∠ BDE=30°$,$\therefore △ BDE≌ △ CFD(\mathrm{AAS})$,$\therefore BE=CD$,$∠ BED=∠ FDC=90°$. 假设 $BE=CD=1$,$\therefore BD=2$,$\therefore BC=BD+CD=3$. 由勾股定理得 $DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{3}$. $\because △ ABC,△ DEF$ 是等边三角形,$\therefore △ ABC∽ △ DEF$,$\therefore S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{BC}{DE})^2=(\frac{3}{\sqrt{3}})^2=3$,故答案为 3.
解析
【分析】
首先结合题目已知的两个等边三角形，回忆等边三角形的性质：各内角为60°、各边相等，且所有等边三角形均相似。已知∠FDC=90°，先推导相关角度：在△DFC中可算出∠CFD=30°，再结合平角为180°，算出∠BDE=30°，即可证明△BDE和△CFD全等。接下来通过设参数简化计算，利用含30°角的直角三角形的性质求出两条等边三角形的边长，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比值。
【解析】
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，DE=DF=EF。
∵∠FDC=90°，
∴∠CFD=180°-90°-60°=30°，∠BDE=180°-90°-60°=30°，
在△BDE和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ BDE=∠ CFD\\ DE=FD\end{array} $
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BE=CD，∠BED=∠FDC=90°。
设BE=CD=1，
在Rt△BED中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2，
∴BC=BD+CD=2+1=3，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵等边三角形都相似，即△ABC∽△DEF，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{BC}{DE})^2=(\frac{3}{\sqrt{3}})^2=3$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的面积比性质
【点评】
本题综合考查等边三角形、全等三角形、相似三角形的相关知识，解题的关键是通过角度推导证明三角形全等，结合特殊直角三角形的性质计算边长，最终利用相似三角形的面积比性质求解，是典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
首先结合题目已知的两个等边三角形，回忆等边三角形的性质：各内角为60°、各边相等，且所有等边三角形均相似。已知∠FDC=90°，先推导相关角度：在△DFC中可算出∠CFD=30°，再结合平角为180°，算出∠BDE=30°，即可证明△BDE和△CFD全等。接下来通过设参数简化计算，利用含30°角的直角三角形的性质求出两条等边三角形的边长，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比值。
【解析】
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，DE=DF=EF。
∵∠FDC=90°，
∴∠CFD=180°-90°-60°=30°，∠BDE=180°-90°-60°=30°，
在△BDE和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ BDE=∠ CFD\\ DE=FD\end{array} $
∴△BDE≌△CFD（AAS），
∴BE=CD，∠BED=∠FDC=90°。
设BE=CD=1，
在Rt△BED中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2，
∴BC=BD+CD=2+1=3，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵等边三角形都相似，即△ABC∽△DEF，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(\frac{BC}{DE})^2=(\frac{3}{\sqrt{3}})^2=3$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的面积比性质
【点评】
本题综合考查等边三角形、全等三角形、相似三角形的相关知识，解题的关键是通过角度推导证明三角形全等，结合特殊直角三角形的性质计算边长，最终利用相似三角形的面积比性质求解，是典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
5[2025 山东德州质检,中]如图,在$□ ABCD$中,$AB = 10$,$AD=15$,$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$,交$DC$的延长线于点$F$,$BG ⊥ AE$于点$G$,若$BG=8$,则$△ CEF$的周长为
16
.答案
16 【解析】$\because$ 在$□ ABCD$ 中,$AB// DC$,$CD=AB=10$,$BC=AD=15$,$∠ BAD$ 的平分线交 BC 于点 E,$\therefore ∠ BAF=∠ DAF$,$∠ BAF=∠ F$,$\therefore ∠ DAF=∠ F$,$\therefore DF=AD=15$,$\therefore CF=DF-CD=15-10=5$. 同理,$BE=AB=10$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中,$BG⊥ AE$,$AB=10$,$BG=8$,$\therefore AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{100-64}=6$,$\therefore AE=2AG=12$,$\therefore △ ABE$ 的周长为 $AB+BE+AE=10+10+12=32$. $\because ∠ BAF=∠ F$,$∠ AEB=∠ CEF$,$\therefore △ CEF∽ △ BEA$,且相似比为 $CF:AB=5:10=1:2$,$\therefore C_{△ CEF}:C_{△ BEA}=1:2$,$\therefore C_{△ CEF}:32=1:2$,$\therefore △ CEF$ 的周长为 16.
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，推导得出△ADF、△ABE都是等腰三角形，求出CF、BE的长度；②已知BG垂直AE，结合等腰三角形三线合一的性质，可知AE=2AG，在Rt△ABG中用勾股定理算出AG，即可得到AE的长，进而求出△ABE的周长；③最后证明△CEF与△BEA相似，根据相似三角形周长比等于相似比的性质，即可求出△CEF的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// DC$，$AB=CD=10$，$AD=BC=15$，$AD// BC$，
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAF=∠ DAF$，
∵ $AB// DF$，
∴ $∠ BAF=∠ F$，
∴ $∠ DAF=∠ F$，
∴ $DF=AD=15$，
∴ $CF=DF-CD=15-10=5$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAF=∠ AEB$，
又
∵ $∠ BAF=∠ DAF$，
∴ $∠ BAF=∠ AEB$，
∴ $BE=AB=10$，
∵ $BG⊥ AE$，$AB=BE$，
∴ $AG=GE$（等腰三角形三线合一），
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AB=10$，$BG=8$，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∴ $AE=2AG=12$，
∴ $△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=10+10+12=32$，
∵ $AB// CF$，
∴ $∠ BAF=∠ F$，
又
∵ $∠ AEB=∠ CEF$，
∴ $△ CEF∽△ BEA$，相似比为$CF:AB=5:10=1:2$，
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $C_{△ CEF}:C_{△ BEA}=1:2$，
∴ $C_{△ CEF}=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的周长性质
【点评】
本题是常见的几何综合题型，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是利用“平行线+角平分线”的模型得到等腰三角形，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质求解，可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：①先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，推导得出△ADF、△ABE都是等腰三角形，求出CF、BE的长度；②已知BG垂直AE，结合等腰三角形三线合一的性质，可知AE=2AG，在Rt△ABG中用勾股定理算出AG，即可得到AE的长，进而求出△ABE的周长；③最后证明△CEF与△BEA相似，根据相似三角形周长比等于相似比的性质，即可求出△CEF的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// DC$，$AB=CD=10$，$AD=BC=15$，$AD// BC$，
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAF=∠ DAF$，
∵ $AB// DF$，
∴ $∠ BAF=∠ F$，
∴ $∠ DAF=∠ F$，
∴ $DF=AD=15$，
∴ $CF=DF-CD=15-10=5$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAF=∠ AEB$，
又
∵ $∠ BAF=∠ DAF$，
∴ $∠ BAF=∠ AEB$，
∴ $BE=AB=10$，
∵ $BG⊥ AE$，$AB=BE$，
∴ $AG=GE$（等腰三角形三线合一），
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AB=10$，$BG=8$，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∴ $AE=2AG=12$，
∴ $△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=10+10+12=32$，
∵ $AB// CF$，
∴ $∠ BAF=∠ F$，
又
∵ $∠ AEB=∠ CEF$，
∴ $△ CEF∽△ BEA$，相似比为$CF:AB=5:10=1:2$，
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $C_{△ CEF}:C_{△ BEA}=1:2$，
∴ $C_{△ CEF}=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的周长性质
【点评】
本题是常见的几何综合题型，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是利用“平行线+角平分线”的模型得到等腰三角形，再结合相似三角形周长比等于相似比的性质求解，可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
6 [2026湖南益阳质检,较难]如图是一块含$30°$角的直角三角板,它的斜边$AB=8\ \mathrm{cm}$,里面$△ DEF$的各边与$△ ABC$的各边对应平行,且两个三角形的各对应边之间的距离都是$1\ \mathrm{cm}$,那么$△ DEF$的周长是
6 cm
.答案
6 cm 【解析】$\because AB=8\ \mathrm{cm}$,$∠ A=30°$,$∠ ACB=90°$,$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\therefore △ ABC$ 的周长是 $8+4+4\sqrt{3}=(12+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$. 连接 BE,过 E 作 $EM⊥ BC$ 于 M,$EH⊥ BA$ 于 H,延长 DF 交 BC 于 N,延长 EF 交 AC 于 G,延长 FD 交 AB 于 K,如图所示. 由题意易得 $EH=EM=FN=FG=CN=1\ \mathrm{cm}$,$EF=MN$,$\therefore BE$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ EBC=30°$,$\therefore BE=2EM=2\ \mathrm{cm}$,$\therefore BM=\sqrt{BE^2-EM^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$\therefore EF=MN=4-1-\sqrt{3}=(3-\sqrt{3})\mathrm{cm}$. $\because FD// AC$,$ED// AB$,$EF// BC$,$\therefore ∠ A=∠ BKD=∠ EDF$,$∠ C=∠ FNB=∠ DFE$,$\therefore △ ABC∽ △ DEF$,$\therefore \frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=\frac{BC}{EF}=\frac{4}{3-\sqrt{3}}$,$\therefore \frac{12+4\sqrt{3}}{C_{△ DEF}}=\frac{4}{3-\sqrt{3}}$,$\therefore C_{△ DEF}=6\ \mathrm{cm}$,故答案为 6 cm.
解析
【分析】
解题时首先根据含30°角的直角三角形的性质求出△ABC的各边长和周长；由两三角形对应边平行可得△ABC∽△DEF，要得到△DEF的周长，只需求出两个三角形的相似比即可；接下来通过作辅助线，结合角平分线的性质和30°角直角三角形的性质求出EF的长度，得到对应边的比即相似比，最后利用相似三角形周长比等于相似比计算△DEF的周长即可。
【解析】
$\because AB=8\ \mathrm{cm}$,$∠ A=30°$,$∠ ACB=90°$,
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore △ ABC$ 的周长是 $8+4+4\sqrt{3}=(12+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
连接BE,过E作 $EM⊥ BC$ 于M,$EH⊥ BA$ 于 H,延长 DF 交 BC 于 N,延长 EF 交 AC 于 G,延长 FD 交 AB 于 K,如图所示.
由题意易得 $EH=EM=FN=FG=CN=1\ \mathrm{cm}$,$EF=MN$,
$\therefore BE$ 平分 $∠ ABC$,
$\therefore ∠ EBC=30°$,
$\therefore BE=2EM=2\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BM=\sqrt{BE^2-EM^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EF=MN=4-1-\sqrt{3}=(3-\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
$\because FD// AC$,$ED// AB$,$EF// BC$,
$\therefore ∠ A=∠ BKD=∠ EDF$,$∠ C=∠ FNB=∠ DFE$,
$\therefore △ ABC∽ △ DEF$,
$\therefore \frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=\frac{BC}{EF}=\frac{4}{3-\sqrt{3}}$,
$\therefore \frac{12+4\sqrt{3}}{C_{△ DEF}}=\frac{4}{3-\sqrt{3}}$,
解得$C_{△ DEF}=6\ \mathrm{cm}$.
【答案】
6 cm
【知识点】
含30°直角三角形性质，相似三角形周长比性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，将特殊直角三角形性质、相似三角形性质与角平分线相关知识结合考查，解题的关键是正确作出辅助线求出相似比，能够较好地考查学生的几何推理与综合运算能力。
【难度系数】
0.3
解题时首先根据含30°角的直角三角形的性质求出△ABC的各边长和周长；由两三角形对应边平行可得△ABC∽△DEF，要得到△DEF的周长，只需求出两个三角形的相似比即可；接下来通过作辅助线，结合角平分线的性质和30°角直角三角形的性质求出EF的长度，得到对应边的比即相似比，最后利用相似三角形周长比等于相似比计算△DEF的周长即可。
【解析】
$\because AB=8\ \mathrm{cm}$,$∠ A=30°$,$∠ ACB=90°$,
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore △ ABC$ 的周长是 $8+4+4\sqrt{3}=(12+4\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
连接BE,过E作 $EM⊥ BC$ 于M,$EH⊥ BA$ 于 H,延长 DF 交 BC 于 N,延长 EF 交 AC 于 G,延长 FD 交 AB 于 K,如图所示.
由题意易得 $EH=EM=FN=FG=CN=1\ \mathrm{cm}$,$EF=MN$,
$\therefore BE$ 平分 $∠ ABC$,
$\therefore ∠ EBC=30°$,
$\therefore BE=2EM=2\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BM=\sqrt{BE^2-EM^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EF=MN=4-1-\sqrt{3}=(3-\sqrt{3})\mathrm{cm}$.
$\because FD// AC$,$ED// AB$,$EF// BC$,
$\therefore ∠ A=∠ BKD=∠ EDF$,$∠ C=∠ FNB=∠ DFE$,
$\therefore △ ABC∽ △ DEF$,
$\therefore \frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=\frac{BC}{EF}=\frac{4}{3-\sqrt{3}}$,
$\therefore \frac{12+4\sqrt{3}}{C_{△ DEF}}=\frac{4}{3-\sqrt{3}}$,
解得$C_{△ DEF}=6\ \mathrm{cm}$.
【答案】
6 cm
【知识点】
含30°直角三角形性质，相似三角形周长比性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，将特殊直角三角形性质、相似三角形性质与角平分线相关知识结合考查，解题的关键是正确作出辅助线求出相似比，能够较好地考查学生的几何推理与综合运算能力。
【难度系数】
0.3
7[较难]如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作BE//AC,交DA的延长线于点E,连接OE,交AB于点F,则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为
$\frac{5}{2}$
。答案
$\frac{5}{2}$ 【解析】$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$OA=OC$. 又$\because BE// AC$,$\therefore$ 四边形 AEBC 是平行四边形,$\therefore AC=BE$,$\therefore BE=2OA$. $\because AO// BE$,$\therefore$ 易得 $△ OAF∽ △ EBF$,$\therefore \frac{S_{△ OAF}}{S_{△ EBF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$,$\frac{EF}{OF}=\frac{BE}{OA}=2$,$\therefore S_{△ EBF}=4S_{△ OAF}$,$\frac{S_{△ AFE}}{S_{△ AOF}}=\frac{EF}{OF}=2$,$\therefore S_{△ AEF}=2S_{△ AOF}$. 同理可得 $S_{△ EBF}=2S_{△ OBF}$. $\because OA=OC$,$\therefore S_{△ OBC}=S_{△ OAB}$. 设 $S_{△ OAF}=x$,则 $S_{△ EBF}=4x$,$S_{△ AEF}=2x$,$S_{△ OBF}=2x$,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=S_{△ AOF}+S_{△ BOF}=x+2x=3x$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCOF}=S_{△ BOC}+S_{△ BOF}=3x+2x=5x$,$\therefore \frac{S_{\mathrm{四边形}BCOF}}{S_{△ AEF}}=\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}$,故答案为 $\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形ABCD的性质入手，已知AD//BC、对角线互相平分，结合BE//AC，可先判定四边形AEBC是平行四边形，得到BE与OA的数量关系；再由AO//BE得到一组相似三角形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高三角形的面积比等于底的比，结合平行四边形对角线平分面积的性质，设最小的三角形面积为参数，分别表示出所求的两个图形的面积，最后求比值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA=OC，
又
∵ BE//AC，
∴ 四边形AEBC是平行四边形，
∴ AC=BE，即BE=2OA，
∵ AO//BE，
∴ △OAF∽△EBF，相似比为OA:BE=1:2，
∴ $\frac{S_{△OAF}}{S_{△EBF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，且$\frac{EF}{OF}=\frac{BE}{OA}=2$，
∴ $S_{△EBF}=4S_{△OAF}$，
△AEF和△AOF同高，底的比为EF:OF=2:1，故$\frac{S_{△AFE}}{S_{△AOF}}=\frac{EF}{OF}=2$，即$S_{△AEF}=2S_{△AOF}$，
同理，△EBF和△OBF同高，底的比为EF:OF=2:1，故$S_{△EBF}=2S_{△OBF}$，
∵ OA=OC，△OAB和△OCB同高，
∴ $S_{△OBC}=S_{△OAB}$，
设$S_{△OAF}=x$，则$S_{△EBF}=4x$，$S_{△AEF}=2x$，$S_{△OBF}=2x$，
∴ $S_{△AOB}=S_{△OAF}+S_{△BOF}=x+2x=3x$，故$S_{△BOC}=3x$，
∴ $S_{四边形BCOF}=S_{△BOC}+S_{△BOF}=3x+2x=5x$，
∴ $\frac{S_{四边形BCOF}}{S_{△AEF}}=\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
1.平行四边形的判定与性质 2.相似三角形的性质 3.三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形和相似三角形的相关知识，解题的关键是通过平行线推导平行四边形、相似三角形的关系，结合三角形面积和底的比例关系，采用设参数的方法简化计算，能有效考查学生的逻辑推理和转化能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先从平行四边形ABCD的性质入手，已知AD//BC、对角线互相平分，结合BE//AC，可先判定四边形AEBC是平行四边形，得到BE与OA的数量关系；再由AO//BE得到一组相似三角形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高三角形的面积比等于底的比，结合平行四边形对角线平分面积的性质，设最小的三角形面积为参数，分别表示出所求的两个图形的面积，最后求比值即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA=OC，
又
∵ BE//AC，
∴ 四边形AEBC是平行四边形，
∴ AC=BE，即BE=2OA，
∵ AO//BE，
∴ △OAF∽△EBF，相似比为OA:BE=1:2，
∴ $\frac{S_{△OAF}}{S_{△EBF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，且$\frac{EF}{OF}=\frac{BE}{OA}=2$，
∴ $S_{△EBF}=4S_{△OAF}$，
△AEF和△AOF同高，底的比为EF:OF=2:1，故$\frac{S_{△AFE}}{S_{△AOF}}=\frac{EF}{OF}=2$，即$S_{△AEF}=2S_{△AOF}$，
同理，△EBF和△OBF同高，底的比为EF:OF=2:1，故$S_{△EBF}=2S_{△OBF}$，
∵ OA=OC，△OAB和△OCB同高，
∴ $S_{△OBC}=S_{△OAB}$，
设$S_{△OAF}=x$，则$S_{△EBF}=4x$，$S_{△AEF}=2x$，$S_{△OBF}=2x$，
∴ $S_{△AOB}=S_{△OAF}+S_{△BOF}=x+2x=3x$，故$S_{△BOC}=3x$，
∴ $S_{四边形BCOF}=S_{△BOC}+S_{△BOF}=3x+2x=5x$，
∴ $\frac{S_{四边形BCOF}}{S_{△AEF}}=\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
1.平行四边形的判定与性质 2.相似三角形的性质 3.三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形和相似三角形的相关知识，解题的关键是通过平行线推导平行四边形、相似三角形的关系，结合三角形面积和底的比例关系，采用设参数的方法简化计算，能有效考查学生的逻辑推理和转化能力。
【难度系数】
0.4
8[2025 贵州六盘水校级质检,中]如图,把菱形ABCD沿着BD方向平移到菱形A'B'C'D'的位置,两个菱形的重叠部分为四边形B'EDF.
(1)求证:四边形B'EDF是菱形;
(2)若四边形B'EDF面积是菱形ABCD面积的一半,且BD=$\sqrt{2}$,求菱形ABCD平移的距离.
(1)求证:四边形B'EDF是菱形;
(2)若四边形B'EDF面积是菱形ABCD面积的一半,且BD=$\sqrt{2}$,求菱形ABCD平移的距离.
答案
8.(1)【证明】由平移的性质可知 $A'B'// AB$. 又$\because CD// AB$,$\therefore A'B'// CD$,同理可得 $B'C'// AD$,$\therefore$ 四边形 $B'EDF$ 为平行四边形.
$\because$ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AB=AD$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$. 又$\because ∠ A'B'D=∠ ABD$,$\therefore ∠ A'B'D=∠ ADB$,$\therefore FB'=FD$,$\therefore$ 四边形 $B'EDF$ 为菱形.
(2)【解】$\because$ 菱形 $B'EDF$ 与菱形 ABCD 有一个公共角,$\therefore$ 这两个菱形各角分别相等. 又$\because$ 易知这两个菱形各边成比例,$\therefore$ 这两个菱形相似. $\because S_{\mathrm{菱形}ABCD}:S_{\mathrm{菱形}B'EDF}=2:1$,$\therefore \frac{B'D}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore B'D=\frac{\sqrt{2}}{2}× \sqrt{2}=1$,$\therefore$ 平移的距离 $BB'=BD-B'D=\sqrt{2}-1$.
$\because$ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AB=AD$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$. 又$\because ∠ A'B'D=∠ ABD$,$\therefore ∠ A'B'D=∠ ADB$,$\therefore FB'=FD$,$\therefore$ 四边形 $B'EDF$ 为菱形.
(2)【解】$\because$ 菱形 $B'EDF$ 与菱形 ABCD 有一个公共角,$\therefore$ 这两个菱形各角分别相等. 又$\because$ 易知这两个菱形各边成比例,$\therefore$ 这两个菱形相似. $\because S_{\mathrm{菱形}ABCD}:S_{\mathrm{菱形}B'EDF}=2:1$,$\therefore \frac{B'D}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore B'D=\frac{\sqrt{2}}{2}× \sqrt{2}=1$,$\therefore$ 平移的距离 $BB'=BD-B'D=\sqrt{2}-1$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形B'EDF是菱形，可按照“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用平移的性质和原菱形对边平行的特征，推出重叠部分两组对边分别平行，得到它是平行四边形；再结合原菱形的等角性质和平移对应角相等的特征，通过等角对等边推出平行四边形的一组邻边相等，即可证得菱形。
(2) 平移距离为$BB'$的长度，已知$BD$的长度，只需求出$B'D$的长度即可：首先判断两个菱形有公共内角，对应角相等、对应边成比例，因此两个菱形相似；再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知面积比求出相似比，计算得到$B'D$的长度，最后用$BD$减去$B'D$即可得到平移距离。
【解析】
(1) 证明：由平移的性质可知 $A'B'// AB$，又$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore CD// AB$，$\therefore A'B'// CD$，同理可得 $B'C'// AD$，$\therefore$ 四边形 $B'EDF$ 为平行四边形。
$\because$ 四边形 ABCD 是菱形，$\therefore AB=AD$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。又$\because$ 平移得$∠ A'B'D=∠ ABD$，$\therefore ∠ A'B'D=∠ ADB$，$\therefore FB'=FD$，$\therefore$ 平行四边形 $B'EDF$ 为菱形。
(2) 解：$\because$ 菱形 $B'EDF$ 与菱形 ABCD 有公共角$∠B'DF$，$\therefore$ 两个菱形的对应角分别相等，且菱形四边相等，对应边成比例，$\therefore$ 菱形$B'EDF∽$菱形$ABCD$。
$\because S_{\mathrm{菱形}ABCD}:S_{\mathrm{菱形}B'EDF}=2:1$，相似多边形面积比等于相似比的平方，$\therefore$ 相似比$\frac{B'D}{BD}=\sqrt{\frac{S_{菱形B'EDF}}{S_{菱形ABCD}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
代入$BD=\sqrt{2}$，得$B'D=\frac{\sqrt{2}}{2}× \sqrt{2}=1$，$\therefore$ 平移的距离 $BB'=BD-B'D=\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) 四边形B'EDF是菱形，证明成立；
(2) $\sqrt{2}-1$
【知识点】
菱形的判定与性质；平移的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题结合平移变换考查菱形和相似多边形的相关知识点，解题的核心是先判断重叠部分的图形形状，再利用相似的性质建立边长关系求解，能够有效检验学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形B'EDF是菱形，可按照“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用平移的性质和原菱形对边平行的特征，推出重叠部分两组对边分别平行，得到它是平行四边形；再结合原菱形的等角性质和平移对应角相等的特征，通过等角对等边推出平行四边形的一组邻边相等，即可证得菱形。
(2) 平移距离为$BB'$的长度，已知$BD$的长度，只需求出$B'D$的长度即可：首先判断两个菱形有公共内角，对应角相等、对应边成比例，因此两个菱形相似；再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知面积比求出相似比，计算得到$B'D$的长度，最后用$BD$减去$B'D$即可得到平移距离。
【解析】
(1) 证明：由平移的性质可知 $A'B'// AB$，又$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore CD// AB$，$\therefore A'B'// CD$，同理可得 $B'C'// AD$，$\therefore$ 四边形 $B'EDF$ 为平行四边形。
$\because$ 四边形 ABCD 是菱形，$\therefore AB=AD$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。又$\because$ 平移得$∠ A'B'D=∠ ABD$，$\therefore ∠ A'B'D=∠ ADB$，$\therefore FB'=FD$，$\therefore$ 平行四边形 $B'EDF$ 为菱形。
(2) 解：$\because$ 菱形 $B'EDF$ 与菱形 ABCD 有公共角$∠B'DF$，$\therefore$ 两个菱形的对应角分别相等，且菱形四边相等，对应边成比例，$\therefore$ 菱形$B'EDF∽$菱形$ABCD$。
$\because S_{\mathrm{菱形}ABCD}:S_{\mathrm{菱形}B'EDF}=2:1$，相似多边形面积比等于相似比的平方，$\therefore$ 相似比$\frac{B'D}{BD}=\sqrt{\frac{S_{菱形B'EDF}}{S_{菱形ABCD}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
代入$BD=\sqrt{2}$，得$B'D=\frac{\sqrt{2}}{2}× \sqrt{2}=1$，$\therefore$ 平移的距离 $BB'=BD-B'D=\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1) 四边形B'EDF是菱形，证明成立；
(2) $\sqrt{2}-1$
【知识点】
菱形的判定与性质；平移的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题结合平移变换考查菱形和相似多边形的相关知识点，解题的核心是先判断重叠部分的图形形状，再利用相似的性质建立边长关系求解，能够有效检验学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
