登录
9[2026浙江温州质检,中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,延长$BC$至点$D$,使得$CD=BC$,连接$AD$,过点$C$作$CE ⊥ BD$,交$AD$于点$E$,连接$BE$交$AC$于点$F$.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ FCB$.
(2)若$△ FCB$的面积为$6$,$BC=5$,求$EC$的长.
@刷素养 走向重高
(1)求证:$△ ABD ∽ △ FCB$.
(2)若$△ FCB$的面积为$6$,$BC=5$,求$EC$的长.
@刷素养 走向重高
答案
9.(1)【证明】$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$. $\because EC⊥ BD$,$BC=CD$,$\therefore BE=DE$,$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$,$\therefore △ ABD∽ △ FCB$.
(2)【解】如图,作 $AH⊥ BC$ 于 H. $\because BC=5$,$\therefore DC=BC=5$,$\therefore BD=10$.
由(1)知 $△ ABD∽ △ FCB$,$\therefore \frac{AB}{FC}=\frac{AD}{FB}=\frac{BD}{CB}$,$\therefore \frac{S_{△ BCF}}{S_{△ ABD}}=(\frac{BC}{DB})^2=\frac{1}{4}$. $\because S_{△ BCF}=6$,$\therefore S_{△ ABD}=24$. $\because BD=10$,$\therefore \frac{1}{2}× 10· AH=24$,$\therefore AH=\frac{24}{5}$. $\because AB=AC$,$AH⊥ BC$,$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$,$\therefore DH=CH+CD=\frac{15}{2}$.
$\because EC⊥ DB$,$\therefore EC// AH$,$\therefore$ 易得 $△ DEC∽ △ DAH$,$\therefore \frac{CE}{AH}=\frac{DC}{DH}$,$\therefore \frac{CE}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{\frac{15}{2}}$,$\therefore CE=\frac{16}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理：首先由$AB=AC$可得等腰$△ ABC$的底角$∠ ABC=∠ ACB$；再由$CE⊥ BD$且$BC=CD$，可知$CE$是$BD$的垂直平分线，故$BE=DE$，得$∠ EBD=∠ D$，两组对应角相等即可判定$△ ABD ∽ △ FCB$。
(2) 先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合$△ FCB$的面积求出$△ ABD$的面积；作$AH⊥ BC$构造$△ ABD$的高，通过面积公式算出$AH$的长度；再由$CE⊥ BD$、$AH⊥ BD$得$CE// AH$，可证$△ DEC ∽ △ DAH$，利用对应边成比例即可求出$EC$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because CE⊥ BD$，$BC=CD$，$\therefore CE$垂直平分$BD$，$\therefore BE=DE$，$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$。
在$△ ABD$和$△ FCB$中，$∠ ABD=∠ FCB$，$∠ ADB=∠ FBC$，$\therefore △ ABD ∽ △ FCB$。
(2) 解：过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$。
$\because BC=5$，$\therefore DC=BC=5$，$\therefore BD=BC+DC=10$。
由(1)知$△ ABD ∽ △ FCB$，$\therefore \frac{S_{△ BCF}}{S_{△ ABD}}=(\frac{BC}{DB})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$。
$\because S_{△ BCF}=6$，$\therefore S_{△ ABD}=4×6=24$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD · AH$，代入得$\frac{1}{2}×10· AH=24$，解得$AH=\frac{24}{5}$。
$\because AB=AC$，$AH⊥ BC$，$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，$\therefore DH=CH+CD=\frac{5}{2}+5=\frac{15}{2}$。
$\because EC⊥ DB$，$AH⊥ DB$，$\therefore EC// AH$，$\therefore △ DEC ∽ △ DAH$，$\therefore \frac{CE}{AH}=\frac{DC}{DH}$。
代入数据得$\frac{CE}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{\frac{15}{2}}$，解得$CE=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABD ∽ △ FCB$；
(2) $EC$的长为$\frac{16}{5}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题型，将等腰三角形、线段垂直平分线、相似三角形的知识点结合考查，解题时要灵活运用相似三角形的判定定理和面积比与相似比的关系，学会通过作高构造平行线得到新的相似三角形来求解线段长度，是同类习题中的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理：首先由$AB=AC$可得等腰$△ ABC$的底角$∠ ABC=∠ ACB$；再由$CE⊥ BD$且$BC=CD$，可知$CE$是$BD$的垂直平分线，故$BE=DE$，得$∠ EBD=∠ D$，两组对应角相等即可判定$△ ABD ∽ △ FCB$。
(2) 先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合$△ FCB$的面积求出$△ ABD$的面积；作$AH⊥ BC$构造$△ ABD$的高，通过面积公式算出$AH$的长度；再由$CE⊥ BD$、$AH⊥ BD$得$CE// AH$，可证$△ DEC ∽ △ DAH$，利用对应边成比例即可求出$EC$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because CE⊥ BD$，$BC=CD$，$\therefore CE$垂直平分$BD$，$\therefore BE=DE$，$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$。
在$△ ABD$和$△ FCB$中，$∠ ABD=∠ FCB$，$∠ ADB=∠ FBC$，$\therefore △ ABD ∽ △ FCB$。
(2) 解：过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$。
$\because BC=5$，$\therefore DC=BC=5$，$\therefore BD=BC+DC=10$。
由(1)知$△ ABD ∽ △ FCB$，$\therefore \frac{S_{△ BCF}}{S_{△ ABD}}=(\frac{BC}{DB})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$。
$\because S_{△ BCF}=6$，$\therefore S_{△ ABD}=4×6=24$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD · AH$，代入得$\frac{1}{2}×10· AH=24$，解得$AH=\frac{24}{5}$。
$\because AB=AC$，$AH⊥ BC$，$\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，$\therefore DH=CH+CD=\frac{5}{2}+5=\frac{15}{2}$。
$\because EC⊥ DB$，$AH⊥ DB$，$\therefore EC// AH$，$\therefore △ DEC ∽ △ DAH$，$\therefore \frac{CE}{AH}=\frac{DC}{DH}$。
代入数据得$\frac{CE}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{\frac{15}{2}}$，解得$CE=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABD ∽ △ FCB$；
(2) $EC$的长为$\frac{16}{5}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题型，将等腰三角形、线段垂直平分线、相似三角形的知识点结合考查，解题时要灵活运用相似三角形的判定定理和面积比与相似比的关系，学会通过作高构造平行线得到新的相似三角形来求解线段长度，是同类习题中的典型考法。
【难度系数】
0.6
10 核心素养模型观念 [较难]如图(1)所示，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE//BC交AC于点E，连接CD。设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S'。
(1)当AD=3时，△ADE的面积是6，求S'的值；
(2)当AD=3时，求S的值(结果用含字母S'的代数式表示)；
(3)如图(2)所示，在四边形ABCD中，AB=4，AD//BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF//BC交CD于点F，连接CE。设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△CEF的面积为S'，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
(1)当AD=3时，△ADE的面积是6，求S'的值；
(2)当AD=3时，求S的值(结果用含字母S'的代数式表示)；
(3)如图(2)所示，在四边形ABCD中，AB=4，AD//BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF//BC交CD于点F，连接CE。设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△CEF的面积为S'，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
答案
10.【解】(1)$\because AB=4$,$AD=3$,$\therefore BD=1$.
$\because DE// BC$,$\therefore CE:AE=BD:AD=1:3$,$\therefore S':S_{△ ADE}=CE:AE=1:3$.
$\because △ ADE$ 的面积是 6,$\therefore S'=\frac{1}{3}× 6=2$.
(2)$\because DE// BC$,$\therefore$ 易得 $△ ADE∽ △ ABC$.
又$\because AD:AB=3:4$,$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$,$\therefore S=\frac{16}{9}S_{△ ADE}$.
由(1)知 $S'=\frac{1}{3}S_{△ ADE}$,$\therefore S=\frac{16}{3}S'$.
(3)延长 BA,CD 交于点 O,如图.
$\because AD// BC$,$\therefore$ 易得 $△ OAD∽ △ OBC$,$\therefore \frac{OD}{OC}=\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$,$\therefore OA=AB=4$,$OB=8$. $\because AE=n$,$\therefore OE=4+n$,$BE=4-n$.
$\because EF// BC$,$\therefore \frac{CF}{OF}=\frac{BE}{OE}=\frac{4-n}{4+n}$,且易得 $△ OEF∽ △ OBC$,$\therefore \frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=(\frac{OE}{OB})^2$,$\therefore \frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}· \frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{4-n}{4+n}· (\frac{4+n}{8})^2=\frac{16-n^2}{64}$.
$\because \frac{S_{△ OAD}}{S_{△ OBC}}=(\frac{OA}{OB})^2=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{S_{\mathrm{四边形}ABCD}}{S_{△ OBC}}=\frac{3}{4}$,$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{S_{△ CEF}}{\frac{3}{4}S_{△ OBC}}=\frac{4}{3}× \frac{16-n^2}{64}=\frac{16-n^2}{48}$.
解析
【分析】
(1) 先根据AB、AD的长度求出BD，由DE//BC，利用平行线分线段成比例得到CE与AE的比值；△DEC和△ADE同高，面积比等于底CE和AE的比，代入△ADE的面积即可求出S'。
(2) 先由DE//BC判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到△ADE与△ABC的面积关系，再结合(1)中S'和△ADE的面积关系，即可推导得到S关于S'的代数式。
(3) 遇到梯形且已知上下底的比例关系，可延长两腰交于一点，将梯形转化为两个相似三角形的模型，类比前两问的解法：先证明△OAD∽△OBC，得到OA、OB的长度，再结合EF//BC，分别利用同高三角形面积比等于底的比、相似三角形面积比等于相似比的平方，逐步推导△CEF、四边形ABCD和△OBC的面积关系，最终求出$\frac{S'}{S}$的表达式。
【解析】
(1) 已知AB=4，AD=3，因此BD=AB-AD=4-3=1。
∵DE//BC，根据平行线分线段成比例，可得$CE:AE=BD:AD=1:3$。
△DEC和△ADE以CE、AE为底时，高相同，因此面积比等于底的比，即$S':S_{△ ADE}=CE:AE=1:3$。
∵$S_{△ ADE}=6$，
∴$S'=\frac{1}{3}×6=2$。
(2)
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，因此$△ ADE ∽ △ ABC$。
相似比为$AD:AB=3:4$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，即$S=\frac{16}{9}S_{△ ADE}$。
由(1)可知$S'=\frac{1}{3}S_{△ ADE}$，即$S_{△ ADE}=3S'$，代入上式得$S=\frac{16}{9}×3S'=\frac{16}{3}S'$。
(3) 延长BA、CD交于点O，如图：
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠B，∠ODA=∠OCB，因此$△ OAD ∽ △ OBC$。
相似比为$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{OD}{OC}=\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，即OB=2OA。
又
∵OB=OA+AB，AB=4，
∴OA=AB=4，OB=8。
已知AE=n，因此OE=OA+AE=4+n，BE=AB-AE=4-n。
∵EF//BC，根据平行线分线段成比例，可得$\frac{CF}{OF}=\frac{BE}{OE}=\frac{4-n}{4+n}$。
△CEF和△OEF以CF、OF为底时高相同，因此$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}=\frac{CF}{OF}=\frac{4-n}{4+n}$。
同时EF//BC可得$△ OEF ∽ △ OBC$，相似比为$\frac{OE}{OB}=\frac{4+n}{8}$，因此$\frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=(\frac{4+n}{8})^2$。
因此$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}·\frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{4-n}{4+n}·(\frac{4+n}{8})^2=\frac{16-n^2}{64}$。
又
∵$△ OAD ∽ △ OBC$，相似比为$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{S_{△ OAD}}{S_{△ OBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
四边形ABCD的面积$S=S_{△ OBC}-S_{△ OAD}=\frac{3}{4}S_{△ OBC}$，即$S_{△ OBC}=\frac{4}{3}S$。
代入$\frac{S'}{S_{△ OBC}}=\frac{16-n^2}{64}$，得$\frac{S'}{\frac{4}{3}S}=\frac{16-n^2}{64}$，整理得$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S'=2}$；
(2) $\boldsymbol{S=\frac{16}{3}S'}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}}$，辅助线如图：
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，同高三角形面积比的性质
【点评】
本题从三角形内平行线的基础模型出发，延伸到梯形中的相似应用，需要掌握将梯形转化为相似三角形的辅助线做法，能够灵活运用同高三角形面积比等于底之比、相似三角形面积比等于相似比的平方两个核心性质，逐步推导面积关系，较好地体现了模型转化的数学思想。
【难度系数】
0.4
(1) 先根据AB、AD的长度求出BD，由DE//BC，利用平行线分线段成比例得到CE与AE的比值；△DEC和△ADE同高，面积比等于底CE和AE的比，代入△ADE的面积即可求出S'。
(2) 先由DE//BC判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到△ADE与△ABC的面积关系，再结合(1)中S'和△ADE的面积关系，即可推导得到S关于S'的代数式。
(3) 遇到梯形且已知上下底的比例关系，可延长两腰交于一点，将梯形转化为两个相似三角形的模型，类比前两问的解法：先证明△OAD∽△OBC，得到OA、OB的长度，再结合EF//BC，分别利用同高三角形面积比等于底的比、相似三角形面积比等于相似比的平方，逐步推导△CEF、四边形ABCD和△OBC的面积关系，最终求出$\frac{S'}{S}$的表达式。
【解析】
(1) 已知AB=4，AD=3，因此BD=AB-AD=4-3=1。
∵DE//BC，根据平行线分线段成比例，可得$CE:AE=BD:AD=1:3$。
△DEC和△ADE以CE、AE为底时，高相同，因此面积比等于底的比，即$S':S_{△ ADE}=CE:AE=1:3$。
∵$S_{△ ADE}=6$，
∴$S'=\frac{1}{3}×6=2$。
(2)
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，因此$△ ADE ∽ △ ABC$。
相似比为$AD:AB=3:4$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，即$S=\frac{16}{9}S_{△ ADE}$。
由(1)可知$S'=\frac{1}{3}S_{△ ADE}$，即$S_{△ ADE}=3S'$，代入上式得$S=\frac{16}{9}×3S'=\frac{16}{3}S'$。
(3) 延长BA、CD交于点O，如图：
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠B，∠ODA=∠OCB，因此$△ OAD ∽ △ OBC$。
相似比为$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{OD}{OC}=\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，即OB=2OA。
又
∵OB=OA+AB，AB=4，
∴OA=AB=4，OB=8。
已知AE=n，因此OE=OA+AE=4+n，BE=AB-AE=4-n。
∵EF//BC，根据平行线分线段成比例，可得$\frac{CF}{OF}=\frac{BE}{OE}=\frac{4-n}{4+n}$。
△CEF和△OEF以CF、OF为底时高相同，因此$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}=\frac{CF}{OF}=\frac{4-n}{4+n}$。
同时EF//BC可得$△ OEF ∽ △ OBC$，相似比为$\frac{OE}{OB}=\frac{4+n}{8}$，因此$\frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=(\frac{4+n}{8})^2$。
因此$\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}·\frac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=\frac{4-n}{4+n}·(\frac{4+n}{8})^2=\frac{16-n^2}{64}$。
又
∵$△ OAD ∽ △ OBC$，相似比为$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{S_{△ OAD}}{S_{△ OBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
四边形ABCD的面积$S=S_{△ OBC}-S_{△ OAD}=\frac{3}{4}S_{△ OBC}$，即$S_{△ OBC}=\frac{4}{3}S$。
代入$\frac{S'}{S_{△ OBC}}=\frac{16-n^2}{64}$，得$\frac{S'}{\frac{4}{3}S}=\frac{16-n^2}{64}$，整理得$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S'=2}$；
(2) $\boldsymbol{S=\frac{16}{3}S'}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}}$，辅助线如图：
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，同高三角形面积比的性质
【点评】
本题从三角形内平行线的基础模型出发，延伸到梯形中的相似应用，需要掌握将梯形转化为相似三角形的辅助线做法，能够灵活运用同高三角形面积比等于底之比、相似三角形面积比等于相似比的平方两个核心性质，逐步推导面积关系，较好地体现了模型转化的数学思想。
【难度系数】
0.4
1 直角三角形内接四边形 [2025上海静安区校级期中,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=6$,$AC=8$,四边形$DEGF$为内接正方形,那么$AD:EB=$
$16:9$
.答案
$16:9$ 【解析】如图,作 $CN⊥ AB$,交 GF 于点 M,交 AB 于点 N. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$\because AC=8$,$BC=6$,$\therefore AB=10$.
$\because ∠ ACB=90°$,$CN⊥ AB$,$\therefore \frac{1}{2}AB· CN=\frac{1}{2}BC· AC$,$\therefore CN=\frac{24}{5}$. $\because GF// AB$,$\therefore$ 易得 $△ CGF∽ △ CBA$,$\therefore \frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$. 设正方形 EDFG 的边长为 $x$,则 $\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}=\frac{x}{10}$,解得 $x=\frac{120}{37}$. $\because FD⊥ AB$,$\therefore ∠ ADF=∠ ACB=90°$. 又$\because ∠ A=∠ A$,$\therefore △ ADF∽ △ ACB$,$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{FD}{BC}$,即 $\frac{AD}{8}=\frac{\frac{120}{37}}{6}$,解得 $AD=\frac{160}{37}$. 同理可得 $△ BEG∽ △ BCA$,$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{EG}{AC}$,即 $\frac{BE}{6}=\frac{\frac{120}{37}}{8}$,解得 $BE=\frac{90}{37}$,$\therefore AD:EB=\frac{160}{37}:\frac{90}{37}=16:9$. 故答案为 $16:9$.
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①先在$Rt△ABC$中用勾股定理算出斜边$AB$的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高$CN$，为后续相似计算做准备；②由于四边形$DEGF$是正方形，可得$GF// AB$，因此$△CGF$和$△CBA$相似，结合相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形边长为$x$，列方程求出正方形的边长；③再分别证明$△ADF∽△ACB$、$△BEG∽△BCA$，利用相似三角形对应边成比例分别求出$AD$和$EB$的长度，最后计算二者的比值即可。
【解析】
如图，作 $CN⊥ AB$,交 GF 于点 M,交 AB 于点 N.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
$\because ∠ ACB=90°$,$CN⊥ AB$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CN=\frac{1}{2}BC· AC$,
代入数值解得：$CN=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$.
$\because$ 四边形$DEGF$是正方形，$\therefore GF=DE=FD=EG$，且$GF// AB$，$FD⊥ AB$，$EG⊥ AB$，
$\therefore △ CGF ∽ △ CBA$，且$CM=CN-FD$.
设正方形 $EDFG$ 的边长为 $x$,则：
$\frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$，即$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}=\frac{x}{10}$,
解得 $x=\frac{120}{37}$.
$\because FD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADF=∠ ACB=90°$,
又$\because ∠ A=∠ A$,
$\therefore △ ADF ∽ △ ACB$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{FD}{BC}$，即$\frac{AD}{8}=\frac{\frac{120}{37}}{6}$,
解得 $AD=\frac{160}{37}$.
同理，$∠ BEG=∠ ACB=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BEG ∽ △ BCA$,
$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{EG}{AC}$，即$\frac{BE}{6}=\frac{\frac{120}{37}}{8}$,
解得 $BE=\frac{90}{37}$,
$\therefore AD:EB=\frac{160}{37}:\frac{90}{37}=16:9$.
【答案】
$16:9$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题的核心是利用平行关系得到相似三角形，结合比例关系建立方程求解边长，对学生综合运用几何性质的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：①先在$Rt△ABC$中用勾股定理算出斜边$AB$的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高$CN$，为后续相似计算做准备；②由于四边形$DEGF$是正方形，可得$GF// AB$，因此$△CGF$和$△CBA$相似，结合相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形边长为$x$，列方程求出正方形的边长；③再分别证明$△ADF∽△ACB$、$△BEG∽△BCA$，利用相似三角形对应边成比例分别求出$AD$和$EB$的长度，最后计算二者的比值即可。
【解析】
如图，作 $CN⊥ AB$,交 GF 于点 M,交 AB 于点 N.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
$\because ∠ ACB=90°$,$CN⊥ AB$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CN=\frac{1}{2}BC· AC$,
代入数值解得：$CN=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$.
$\because$ 四边形$DEGF$是正方形，$\therefore GF=DE=FD=EG$，且$GF// AB$，$FD⊥ AB$，$EG⊥ AB$，
$\therefore △ CGF ∽ △ CBA$，且$CM=CN-FD$.
设正方形 $EDFG$ 的边长为 $x$,则：
$\frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$，即$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}=\frac{x}{10}$,
解得 $x=\frac{120}{37}$.
$\because FD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADF=∠ ACB=90°$,
又$\because ∠ A=∠ A$,
$\therefore △ ADF ∽ △ ACB$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{FD}{BC}$，即$\frac{AD}{8}=\frac{\frac{120}{37}}{6}$,
解得 $AD=\frac{160}{37}$.
同理，$∠ BEG=∠ ACB=90°$，$∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BEG ∽ △ BCA$,
$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{EG}{AC}$，即$\frac{BE}{6}=\frac{\frac{120}{37}}{8}$,
解得 $BE=\frac{90}{37}$,
$\therefore AD:EB=\frac{160}{37}:\frac{90}{37}=16:9$.
【答案】
$16:9$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题的核心是利用平行关系得到相似三角形，结合比例关系建立方程求解边长，对学生综合运用几何性质的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2 任意三角形内接四边形 [2025 山东菏泽质检，中]如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$AD=5$，$BC=10$，四边形$EFGH$和四边形$HGNM$均为正方形，且点$E$，$F$，$G$，$N$，$M$都在$△ ABC$的边上，$EH$与$AD$交于点$P$，那么$△ AEM$与四边形$BCME$的面积比为
$1:3$
。答案
$1:3$ 【解析】$\because$ 四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形,$\therefore EF=EH=HG=HM$,$EM// BC$,$\therefore$ 易得 $△ AEM∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$,$\therefore \frac{5-EF}{5}=\frac{2EF}{10}$,$\therefore EF=\frac{5}{2}$,$\therefore EM=5$. $\because △ AEM∽ △ ABC$,$\therefore \frac{S_{△ AEM}}{S_{△ ABC}}=(\frac{EM}{BC})^2=\frac{1}{4}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCME}=S_{△ ABC}-S_{△ AEM}=3S_{△ AEM}$,$\therefore △ AEM$ 与四边形 BCME 的面积比为 $1:3$,故答案为 $1:3$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，由两个正方形的性质可得到EM平行于BC，进而可判定△AEM与△ABC相似；根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，我们可以设正方形的边长为x，此时△AEM的高AP=AD-x，EM的长度为2x，结合已知AD和BC的长度，代入相似比的等式即可求出正方形边长，得到EM的长度；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△AEM与△ABC的面积比，最后通过面积差得到四边形BCME的面积，即可求出二者的面积比。
【解析】
∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF=EH=HG=HM，且$EM// BC$，
∴$△ AEM ∽ △ ABC$，根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，即$\frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$。
设正方形边长为$EF=x$，则$AP=AD-EF=5-x$，$EM=EH+HM=2x$，
代入比例式得：$\frac{5-x}{5}=\frac{2x}{10}$，
解得$x=\frac{5}{2}$，
∴$EM=2x=5$。
∵$△ AEM ∽ △ ABC$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ AEM}}{S_{△ ABC}}=(\frac{EM}{BC})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ ABC}=4S_{△ AEM}$，
∴$S_{四边形BCME}=S_{△ ABC}-S_{△ AEM}=3S_{△ AEM}$，
∴$S_{△ AEM}:S_{四边形BCME}=1:3$。
【答案】
$1:3$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，综合考查了正方形性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求出正方形边长，对学生结合几何性质列方程解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形，由两个正方形的性质可得到EM平行于BC，进而可判定△AEM与△ABC相似；根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，我们可以设正方形的边长为x，此时△AEM的高AP=AD-x，EM的长度为2x，结合已知AD和BC的长度，代入相似比的等式即可求出正方形边长，得到EM的长度；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△AEM与△ABC的面积比，最后通过面积差得到四边形BCME的面积，即可求出二者的面积比。
【解析】
∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF=EH=HG=HM，且$EM// BC$，
∴$△ AEM ∽ △ ABC$，根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，即$\frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$。
设正方形边长为$EF=x$，则$AP=AD-EF=5-x$，$EM=EH+HM=2x$，
代入比例式得：$\frac{5-x}{5}=\frac{2x}{10}$，
解得$x=\frac{5}{2}$，
∴$EM=2x=5$。
∵$△ AEM ∽ △ ABC$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ AEM}}{S_{△ ABC}}=(\frac{EM}{BC})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ ABC}=4S_{△ AEM}$，
∴$S_{四边形BCME}=S_{△ ABC}-S_{△ AEM}=3S_{△ AEM}$，
∴$S_{△ AEM}:S_{四边形BCME}=1:3$。
【答案】
$1:3$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，综合考查了正方形性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求出正方形边长，对学生结合几何性质列方程解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
