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一、选择题(共24分)
1 学校食堂有15元,18元,20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天的盒饭销售情况如图所示,则当天学生购买盒饭费用的平均数是（
A.15元
B.16元
C.17元
D.18元
1 学校食堂有15元,18元,20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天的盒饭销售情况如图所示,则当天学生购买盒饭费用的平均数是（
C
）A.15元
B.16元
C.17元
D.18元
答案
1.C 【解析】根据题意得 $15×40\% + 18×50\% + 20×10\% = 17$(元),即当天学生购买盒饭费用的平均数是 17 元. 故选 C.
解析
【分析】
要计算学生购买盒饭费用的平均数，属于加权平均数计算问题。首先明确扇形统计图中各部分占比总和为100%，先求出20元盒饭的销售占比；再根据加权平均数的计算方法，用每种盒饭的单价乘以对应的销售占比，求和即可得到平均费用。
【解析】
首先计算20元盒饭的销售占比：
$1 - 50\% - 40\% = 10\%$
根据加权平均数公式，当天学生购买盒饭费用的平均数为：
$15×40\% + 18×50\% + 20×10\%$
$=6 + 9 + 2$
$=17$（元）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.扇形统计图
2.加权平均数计算
3.百分比应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是结合扇形统计图的特征获取各价格盒饭的销售占比，再正确运用加权平均数公式计算即可，解题时注意不要遗漏求20元盒饭占比的步骤。
【难度系数】
0.8
要计算学生购买盒饭费用的平均数，属于加权平均数计算问题。首先明确扇形统计图中各部分占比总和为100%，先求出20元盒饭的销售占比；再根据加权平均数的计算方法，用每种盒饭的单价乘以对应的销售占比，求和即可得到平均费用。
【解析】
首先计算20元盒饭的销售占比：
$1 - 50\% - 40\% = 10\%$
根据加权平均数公式，当天学生购买盒饭费用的平均数为：
$15×40\% + 18×50\% + 20×10\%$
$=6 + 9 + 2$
$=17$（元）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.扇形统计图
2.加权平均数计算
3.百分比应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是结合扇形统计图的特征获取各价格盒饭的销售占比，再正确运用加权平均数公式计算即可，解题时注意不要遗漏求20元盒饭占比的步骤。
【难度系数】
0.8
2 八年级六位数学老师今年的年龄分别为28，30,30,38,50,52,则与5年前相比较,这六位老师的年龄数据中一定不会改变的是 (
A.方差
B.中位数
C.平均数
D.众数
A
)A.方差
B.中位数
C.平均数
D.众数
答案
2.A 【解析】
∵八年级六位数学老师今年的年龄分别为 28,30,30,38,50,52,
∴与 5 年前相比较,这六位老师的年龄数据会改变的是平均数、众数和中位数,不会改变的是方差. 故选 A.
∵八年级六位数学老师今年的年龄分别为 28,30,30,38,50,52,
∴与 5 年前相比较,这六位老师的年龄数据会改变的是平均数、众数和中位数,不会改变的是方差. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先明确：5年前每位老师的年龄等于今年年龄各减去5，即给整组数据的每一个数都减去同一个常数5。接下来分别回忆平均数、中位数、众数、方差的定义和性质，逐一分析四个统计量的变化情况，即可判断出不变的统计量。
【解析】
解：5年前六位老师的年龄为今年年龄各自减去5，即对原数据的每个数都减去常数5。
1. 平均数：原数据总和减少$6×5=30$，总个数不变，因此平均数减少5，发生改变，排除C；
2. 中位数：今年年龄排序为28，30，30，38，50，52，中位数为$(30+38)÷2=34$；5年前年龄排序为23，25，25，33，45，47，中位数为$(25+33)÷2=29$，中位数减少5，发生改变，排除B；
3. 众数：今年众数为30，5年前众数为25，发生改变，排除D；
4. 方差：方差反映数据的波动程度，每个数据减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，因此方差不变。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的性质；统计量的意义；中位数与众数的特征
【点评】
本题考查各类统计量的变化规律，解题关键是理解当一组数据同时加减同一个常数时，方差不变，平均数、中位数、众数也会相应加减同一个常数，属于基础题型，熟练掌握各统计量的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：5年前每位老师的年龄等于今年年龄各减去5，即给整组数据的每一个数都减去同一个常数5。接下来分别回忆平均数、中位数、众数、方差的定义和性质，逐一分析四个统计量的变化情况，即可判断出不变的统计量。
【解析】
解：5年前六位老师的年龄为今年年龄各自减去5，即对原数据的每个数都减去常数5。
1. 平均数：原数据总和减少$6×5=30$，总个数不变，因此平均数减少5，发生改变，排除C；
2. 中位数：今年年龄排序为28，30，30，38，50，52，中位数为$(30+38)÷2=34$；5年前年龄排序为23，25，25，33，45，47，中位数为$(25+33)÷2=29$，中位数减少5，发生改变，排除B；
3. 众数：今年众数为30，5年前众数为25，发生改变，排除D；
4. 方差：方差反映数据的波动程度，每个数据减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，因此方差不变。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的性质；统计量的意义；中位数与众数的特征
【点评】
本题考查各类统计量的变化规律，解题关键是理解当一组数据同时加减同一个常数时，方差不变，平均数、中位数、众数也会相应加减同一个常数，属于基础题型，熟练掌握各统计量的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3[2025江苏镇江期末]某创业团队有三个小组，各组的日工资和人数如下表：
现从管理组抽调2人，1人到研发组，1人到操作组，该创业团队调整后与调整前相比，下列说法中正确的有（
①平均日工资增大；②日工资的方差减小；
③日工资的中位数不变；④日工资的众数不变.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
现从管理组抽调2人，1人到研发组，1人到操作组，该创业团队调整后与调整前相比，下列说法中正确的有（
A
）①平均日工资增大；②日工资的方差减小；
③日工资的中位数不变；④日工资的众数不变.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.A 【解析】调整前平均日工资为 $\frac{200×3+180×4+160×5}{3+4+5}≈ 176. 67$(元),调整后平均日工资为 $\frac{200×4+180×2+160×6}{4+2+6}≈ 176. 67$(元),
∴调整前后平均日工资不变,故①错误. 调整前日工资的方差为 $[3×(200-176.67)^2+4×(180-176.67)^2+5×(160-176.67)^2]÷(3+4+5)≈ 255. 56$(元²),调整后日工资的方差为 $[4×(200-176. 67)^2 + 2 × ( 180 - 176. 67 )^2 + 6 × ( 160 - 176. 67 )^2 ]÷(4+2+6)≈322. 22$(元²),
∴日工资的方差增大,故②错误. 调整前日工资的中位数为 $\frac{180+180}{2}=180$(元),调整后日工资的中位数为 $\frac{180+160}{2}=170$(元),
∴日工资的中位数减小,故③错误. 调整前后日工资的众数都是 160 元,不变,故④正确. 故选 A.
∴调整前后平均日工资不变,故①错误. 调整前日工资的方差为 $[3×(200-176.67)^2+4×(180-176.67)^2+5×(160-176.67)^2]÷(3+4+5)≈ 255. 56$(元²),调整后日工资的方差为 $[4×(200-176. 67)^2 + 2 × ( 180 - 176. 67 )^2 + 6 × ( 160 - 176. 67 )^2 ]÷(4+2+6)≈322. 22$(元²),
∴日工资的方差增大,故②错误. 调整前日工资的中位数为 $\frac{180+180}{2}=180$(元),调整后日工资的中位数为 $\frac{180+160}{2}=170$(元),
∴日工资的中位数减小,故③错误. 调整前后日工资的众数都是 160 元,不变,故④正确. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先明确人员调整后各组的人数：研发组变为3+1=4人，管理组变为4-2=2人，操作组变为5+1=6人。接下来分别计算调整前后的平均日工资、方差、中位数、众数四个统计量，再逐一对应判断四个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
1. 计算平均日工资：
调整前平均日工资：$\frac{200×3+180×4+160×5}{3+4+5}=\frac{2120}{12}\approx176.67$（元）
调整后平均日工资：$\frac{200×4+180×2+160×6}{4+2+6}=\frac{2120}{12}\approx176.67$（元）
因此调整前后平均日工资不变，①错误。
2. 计算方差：
调整前方差：$\frac{3×(200-176.67)^2+4×(180-176.67)^2+5×(160-176.67)^2}{12}\approx255.56$（元²）
调整后方差：$\frac{4×(200-176.67)^2+2×(180-176.67)^2+6×(160-176.67)^2}{12}\approx322.22$（元²）
因此方差增大，②错误。
3. 计算中位数：
总人数始终为12人，中位数为排序后第6、第7个数据的平均数。
调整前数据排序：5个160，4个180，3个200，第6、7个数据都是180，中位数为$\frac{180+180}{2}=180$（元）
调整后数据排序：6个160，2个180，4个200，第6个数据是160，第7个数据是180，中位数为$\frac{160+180}{2}=170$（元）
因此中位数减小，③错误。
4. 计算众数：
调整前160元出现5次，次数最多，众数为160元；调整后160元出现6次，次数最多，众数仍为160元，因此众数不变，④正确。
综上，只有1个说法正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；中位数与众数
【点评】
本题考查常见统计量的计算与实际应用，解题核心是准确掌握各统计量的定义和计算方法，计算时要注意人员调整后各组人数的变化，避免因数据代入错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确人员调整后各组的人数：研发组变为3+1=4人，管理组变为4-2=2人，操作组变为5+1=6人。接下来分别计算调整前后的平均日工资、方差、中位数、众数四个统计量，再逐一对应判断四个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
1. 计算平均日工资：
调整前平均日工资：$\frac{200×3+180×4+160×5}{3+4+5}=\frac{2120}{12}\approx176.67$（元）
调整后平均日工资：$\frac{200×4+180×2+160×6}{4+2+6}=\frac{2120}{12}\approx176.67$（元）
因此调整前后平均日工资不变，①错误。
2. 计算方差：
调整前方差：$\frac{3×(200-176.67)^2+4×(180-176.67)^2+5×(160-176.67)^2}{12}\approx255.56$（元²）
调整后方差：$\frac{4×(200-176.67)^2+2×(180-176.67)^2+6×(160-176.67)^2}{12}\approx322.22$（元²）
因此方差增大，②错误。
3. 计算中位数：
总人数始终为12人，中位数为排序后第6、第7个数据的平均数。
调整前数据排序：5个160，4个180，3个200，第6、7个数据都是180，中位数为$\frac{180+180}{2}=180$（元）
调整后数据排序：6个160，2个180，4个200，第6个数据是160，第7个数据是180，中位数为$\frac{160+180}{2}=170$（元）
因此中位数减小，③错误。
4. 计算众数：
调整前160元出现5次，次数最多，众数为160元；调整后160元出现6次，次数最多，众数仍为160元，因此众数不变，④正确。
综上，只有1个说法正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；中位数与众数
【点评】
本题考查常见统计量的计算与实际应用，解题核心是准确掌握各统计量的定义和计算方法，计算时要注意人员调整后各组人数的变化，避免因数据代入错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
4[2026河南平顶山期末]描述一组数据的离散程度,我们还可以用“平均差”.在一组数据$x_1$, $x_2$,$x_3$,$···$,$x_n$中,各数据与它们的平均数$\bar{x}$的差的绝对值的平均数,即 $T=\frac{1}{n}(|x_1-\bar{x}|+|x_2-\bar{x}|+···+|x_n-\bar{x}|)$叫作这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度,“平均差”越大说明数据的离散程度越大,稳定性越小.现有甲、乙两组数据,如表所示,则下列说法错误的是 (
A.甲、乙两组数据的平均数相同
B.乙组数据的“平均差”为4
C.甲组数据的“平均差”是2
D.甲组数据更加稳定
C
)A.甲、乙两组数据的平均数相同
B.乙组数据的“平均差”为4
C.甲组数据的“平均差”是2
D.甲组数据更加稳定
答案
4.C 【解析】甲组的平均数为 $\frac{1}{6}(12+13+11+15+13+14)=13$,乙组的平均数为 $\frac{1}{6}(10+16+10+18+17+7)=13$,故 A 选项正确,不符合题意; 甲组数据的 “平均差” $T=\frac{1}{6}( |12-13|+|13-13|+|11-13|+|15-13|+|13-13|+|14-13| )=\frac{1}{6}(1+0+2+2+0+1)=1$,故 C 选项不正确,符合题意; 乙组数据的 “平均差” $T=\frac{1}{6}( |10-13|+|16-13|+|10-13|+|18-13|+|17-13|+|7-13| )=\frac{1}{6}(3+3+3+5+4+6)=4$,故 B 选项正确,不符合题意; 甲组数据的 “平均差"＜乙组数据的 “平均差”,故甲组数据更加稳定,故 D 选项正确,不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
本题是新定义类的统计题型，解题思路如下：第一步，先分别计算甲、乙两组数据的平均数，判断选项A是否正确；第二步，根据题干给出的“平均差”计算公式，分别代入甲、乙两组数据计算平均差，判断选项B、C是否正确；第三步，根据“平均差越大，数据离散程度越大、稳定性越小”的规律，比较两组平均差大小，判断数据稳定性，验证选项D；最终选出说法错误的选项。
【解析】
1. 计算两组数据的平均数：
甲组平均数：$\bar{x}_甲=\frac{1}{6}×(12+13+11+15+13+14)=\frac{78}{6}=13$
乙组平均数：$\bar{x}_乙=\frac{1}{6}×(10+16+10+18+17+7)=\frac{78}{6}=13$
两组平均数相同，故A选项正确，不符合题意。
2. 计算甲组数据的平均差：
$T_甲=\frac{1}{6}×(|12-13|+|13-13|+|11-13|+|15-13|+|13-13|+|14-13|)$
$=\frac{1}{6}×(1+0+2+2+0+1)=\frac{6}{6}=1$
可知甲组平均差为1，故C选项错误，符合题意。
3. 计算乙组数据的平均差：
$T_乙=\frac{1}{6}×(|10-13|+|16-13|+|10-13|+|18-13|+|17-13|+|7-13|)$
$=\frac{1}{6}×(3+3+3+5+4+6)=\frac{24}{6}=4$
可知乙组平均差为4，故B选项正确，不符合题意。
4. 判断数据稳定性：
因为$T_甲=1＜T_乙=4$，平均差越小数据稳定性越高，因此甲组数据更稳定，故D选项正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算，新定义运算，数据稳定性判断
【点评】
本题结合新定义考查统计相关知识，既要求学生熟练掌握平均数的基础计算，也要求学生能准确理解新公式、按规则运算，同时需要掌握数据离散程度和统计量的对应关系，解题时注意仔细计算，避免求和、求绝对值时出错。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类的统计题型，解题思路如下：第一步，先分别计算甲、乙两组数据的平均数，判断选项A是否正确；第二步，根据题干给出的“平均差”计算公式，分别代入甲、乙两组数据计算平均差，判断选项B、C是否正确；第三步，根据“平均差越大，数据离散程度越大、稳定性越小”的规律，比较两组平均差大小，判断数据稳定性，验证选项D；最终选出说法错误的选项。
【解析】
1. 计算两组数据的平均数：
甲组平均数：$\bar{x}_甲=\frac{1}{6}×(12+13+11+15+13+14)=\frac{78}{6}=13$
乙组平均数：$\bar{x}_乙=\frac{1}{6}×(10+16+10+18+17+7)=\frac{78}{6}=13$
两组平均数相同，故A选项正确，不符合题意。
2. 计算甲组数据的平均差：
$T_甲=\frac{1}{6}×(|12-13|+|13-13|+|11-13|+|15-13|+|13-13|+|14-13|)$
$=\frac{1}{6}×(1+0+2+2+0+1)=\frac{6}{6}=1$
可知甲组平均差为1，故C选项错误，符合题意。
3. 计算乙组数据的平均差：
$T_乙=\frac{1}{6}×(|10-13|+|16-13|+|10-13|+|18-13|+|17-13|+|7-13|)$
$=\frac{1}{6}×(3+3+3+5+4+6)=\frac{24}{6}=4$
可知乙组平均差为4，故B选项正确，不符合题意。
4. 判断数据稳定性：
因为$T_甲=1＜T_乙=4$，平均差越小数据稳定性越高，因此甲组数据更稳定，故D选项正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算，新定义运算，数据稳定性判断
【点评】
本题结合新定义考查统计相关知识，既要求学生熟练掌握平均数的基础计算，也要求学生能准确理解新公式、按规则运算，同时需要掌握数据离散程度和统计量的对应关系，解题时注意仔细计算，避免求和、求绝对值时出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题(共24分)
5 数据1,2,3,4,5,x存在唯一众数,且该组数据的平均数等于众数,则x的值为
5 数据1,2,3,4,5,x存在唯一众数,且该组数据的平均数等于众数,则x的值为
3
.答案
5.3 【解析】因为有唯一众数,且 1,2,3,4,5 各出现一次,所以众数一定是 x,所以这 6 个数的平均数为 x,
∴1+2+3+4+5+x=6x,解得 x=3,故答案为 3.
∴1+2+3+4+5+x=6x,解得 x=3,故答案为 3.
解析
【分析】
解题时首先回忆众数和平均数的定义：第一步先分析已知数据的特征，1、2、3、4、5各只出现1次，加入x后存在唯一众数，说明出现次数最多的数仅有1个，因此x必然等于1~5中的某一个，此时x对应的数出现2次，是唯一的众数，即众数为x；第二步结合题目给出的“平均数等于众数”的条件，可知这组数据的平均数也为x，根据平均数的计算公式列出方程，求解即可得到x的值。
【解析】
已知数据1,2,3,4,5,x中1、2、3、4、5各出现1次，且该组数据存在唯一众数，因此众数为x（x取1~5中的某一个时，对应数字出现2次，为唯一出现次数最多的数）。
由题意可知该组数据的平均数等于众数，即平均数为x，根据平均数计算公式可得：
$\frac{1+2+3+4+5+x}{6}=x$
化简得：$15+x=6x$
移项合并同类项得：$5x=15$
解得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
众数的定义，平均数的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是统计概念与方程结合的基础题型，需要准确掌握众数和平均数的概念，先根据唯一众数的限制确定众数与x的关系，再结合平均数公式列方程求解，解题的核心是先判断出众数就是x。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆众数和平均数的定义：第一步先分析已知数据的特征，1、2、3、4、5各只出现1次，加入x后存在唯一众数，说明出现次数最多的数仅有1个，因此x必然等于1~5中的某一个，此时x对应的数出现2次，是唯一的众数，即众数为x；第二步结合题目给出的“平均数等于众数”的条件，可知这组数据的平均数也为x，根据平均数的计算公式列出方程，求解即可得到x的值。
【解析】
已知数据1,2,3,4,5,x中1、2、3、4、5各出现1次，且该组数据存在唯一众数，因此众数为x（x取1~5中的某一个时，对应数字出现2次，为唯一出现次数最多的数）。
由题意可知该组数据的平均数等于众数，即平均数为x，根据平均数计算公式可得：
$\frac{1+2+3+4+5+x}{6}=x$
化简得：$15+x=6x$
移项合并同类项得：$5x=15$
解得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
众数的定义，平均数的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是统计概念与方程结合的基础题型，需要准确掌握众数和平均数的概念，先根据唯一众数的限制确定众数与x的关系，再结合平均数公式列方程求解，解题的核心是先判断出众数就是x。
【难度系数】
0.7
6 小明等五名同学四月份参加某次数学测验的成绩如下:100,100,x,x,80. 已知这组数据的中位数和平均数相等,那么整数x的值为
60或110
.答案
6. 60或110 【解析】①x 最小时,这组数据按从小到大的顺序排列为 x,x,80,100,100,中位数是 80,
∴(100+100+x+x+80)÷5=80,
∴x=60; ②x 最大时,这组数据按从小到大的顺序排列为 80,100,100,x,x,中位数是 100,
∴(100+100+x+x+80)÷5=100,
∴x=110; ③当 80≤x≤100 时,这组数据按从小到大的顺序排列为 80,x,x,100,100,中位数是 x,
∴(100+100+x+x+80)÷5=x,
∴$x=\frac{280}{3}$(舍去),故答案为 60 或 110.
∴(100+100+x+x+80)÷5=80,
∴x=60; ②x 最大时,这组数据按从小到大的顺序排列为 80,100,100,x,x,中位数是 100,
∴(100+100+x+x+80)÷5=100,
∴x=110; ③当 80≤x≤100 时,这组数据按从小到大的顺序排列为 80,x,x,100,100,中位数是 x,
∴(100+100+x+x+80)÷5=x,
∴$x=\frac{280}{3}$(舍去),故答案为 60 或 110.
解析
【分析】
本题需要结合中位数和平均数的定义求解，由于x的取值未知，会影响数据排序后的中位数结果，因此需分三种情况讨论：①x小于80；②x介于80和100之间（含两端）；③x大于100。先根据每种情况确定排序后的中位数，再根据“中位数和平均数相等”列方程求解，最后结合x是整数的条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
这组数据共有5个，排序后中位数为第3个数据，分三类讨论：
①当$x＜80$时，数据从小到大排序为：$x,x,80,100,100$，中位数是80。
由平均数等于中位数可得：$\frac{100+100+x+x+80}{5}=80$
化简得：$280+2x=400$，解得$x=60$，符合$x＜80$且为整数的要求；
②当$x＞100$时，数据从小到大排序为：$80,100,100,x,x$，中位数是100。
由平均数等于中位数可得：$\frac{100+100+x+x+80}{5}=100$
化简得：$280+2x=500$，解得$x=110$，符合$x＞100$且为整数的要求；
③当$80≤ x≤100$时，数据从小到大排序为：$80,x,x,100,100$，中位数是x。
由平均数等于中位数可得：$\frac{100+100+x+x+80}{5}=x$
化简得：$280+2x=5x$，解得$x=\frac{280}{3}$，不是整数，不符合要求，舍去。
【答案】
60或110
【知识点】
中位数计算，平均数计算，分类讨论思想
【点评】
本题是统计知识的基础综合题，解题的核心是根据未知数据的取值范围分类确定中位数，避免因漏讨论导致漏解，同时要注意题目对x的整数要求，及时排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合中位数和平均数的定义求解，由于x的取值未知，会影响数据排序后的中位数结果，因此需分三种情况讨论：①x小于80；②x介于80和100之间（含两端）；③x大于100。先根据每种情况确定排序后的中位数，再根据“中位数和平均数相等”列方程求解，最后结合x是整数的条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
这组数据共有5个，排序后中位数为第3个数据，分三类讨论：
①当$x＜80$时，数据从小到大排序为：$x,x,80,100,100$，中位数是80。
由平均数等于中位数可得：$\frac{100+100+x+x+80}{5}=80$
化简得：$280+2x=400$，解得$x=60$，符合$x＜80$且为整数的要求；
②当$x＞100$时，数据从小到大排序为：$80,100,100,x,x$，中位数是100。
由平均数等于中位数可得：$\frac{100+100+x+x+80}{5}=100$
化简得：$280+2x=500$，解得$x=110$，符合$x＞100$且为整数的要求；
③当$80≤ x≤100$时，数据从小到大排序为：$80,x,x,100,100$，中位数是x。
由平均数等于中位数可得：$\frac{100+100+x+x+80}{5}=x$
化简得：$280+2x=5x$，解得$x=\frac{280}{3}$，不是整数，不符合要求，舍去。
【答案】
60或110
【知识点】
中位数计算，平均数计算，分类讨论思想
【点评】
本题是统计知识的基础综合题，解题的核心是根据未知数据的取值范围分类确定中位数，避免因漏讨论导致漏解，同时要注意题目对x的整数要求，及时排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
7[2025辽宁鞍山期末]已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，方差为3，另一组数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数与方差的和为
17
。答案
7. 17 【解析】
∵一组数据 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 的平均数是 4,
∴$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$,
∴$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$,
∴另一组数据 $2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$ 的平均数为 $(2x_1-3+2x_2-3+2x_3-3+2x_4-3+2x_5-3)×\frac{1}{5}=[2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-3×5]×\frac{1}{5}=(2×20-15)×\frac{1}{5}=5$.
∵一组数据 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 的方差为 3,
∴$[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]×\frac{1}{5}=3$,
∴另一组数据的方差为 $\frac{1}{5}×[(2x_1-3-5)^2 + (2x_2-3-5)^2 + (2x_3-3-5)^2 + (2x_4-3-5)^2 + (2x_5-3-5)^2] = \frac{1}{5}×[(2x_1-8)^2 + (2x_2-8)^2 + (2x_3-8)^2 + (2x_4-8)^2 + (2x_5-8)^2] = \frac{1}{5}×4[(x_1-4)^2 + (x_2-4)^2 + (x_3-4)^2 + (x_4-4)^2 + (x_5-4)^2] =4×3=12$,
∴另一组数据 $2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$ 的平均数与方差的和为 5+12=17. 故答案为 17.
关键点拨
根据平均数的计算公式,求出新数据的平均数;根据方差的计算公式,求出新数据的方差,将新数据的平均数和方差相加,求出结果.
∵一组数据 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 的平均数是 4,
∴$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$,
∴$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$,
∴另一组数据 $2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$ 的平均数为 $(2x_1-3+2x_2-3+2x_3-3+2x_4-3+2x_5-3)×\frac{1}{5}=[2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-3×5]×\frac{1}{5}=(2×20-15)×\frac{1}{5}=5$.
∵一组数据 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 的方差为 3,
∴$[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]×\frac{1}{5}=3$,
∴另一组数据的方差为 $\frac{1}{5}×[(2x_1-3-5)^2 + (2x_2-3-5)^2 + (2x_3-3-5)^2 + (2x_4-3-5)^2 + (2x_5-3-5)^2] = \frac{1}{5}×[(2x_1-8)^2 + (2x_2-8)^2 + (2x_3-8)^2 + (2x_4-8)^2 + (2x_5-8)^2] = \frac{1}{5}×4[(x_1-4)^2 + (x_2-4)^2 + (x_3-4)^2 + (x_4-4)^2 + (x_5-4)^2] =4×3=12$,
∴另一组数据 $2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$ 的平均数与方差的和为 5+12=17. 故答案为 17.
关键点拨
根据平均数的计算公式,求出新数据的平均数;根据方差的计算公式,求出新数据的方差,将新数据的平均数和方差相加,求出结果.
解析
【分析】
解题时可分三步思考：①先利用原数据的平均数，根据平均数的定义或者线性变换下平均数的变化规律，计算出新数据的平均数；②再利用原数据的方差，结合方差的定义或者线性变换下方差的变化规律，计算出新数据的方差；③最后将新得到的平均数和方差相加即可得到结果。需要注意的是，数据经过“乘a加b”的变换后，平均数变为原平均数的a倍加b，方差变为原方差的a²倍，常数项b不影响方差大小，计算时不要混淆两者的变化规则。
【解析】
∵ 数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，
∴ $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$，即$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$，
∴ 新数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数为：
$\frac{(2x_1-3)+(2x_2-3)+(2x_3-3)+(2x_4-3)+(2x_5-3)}{5}=\frac{2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-3×5}{5}=\frac{2×20-15}{5}=5$。
∵ 原数据的方差为3，
∴ $\frac{1}{5}[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]=3$，
∴ 新数据的方差为：
$\frac{1}{5}[(2x_1-3-5)^2+(2x_2-3-5)^2+(2x_3-3-5)^2+(2x_4-3-5)^2+(2x_5-3-5)^2]$
$=\frac{1}{5}[(2x_1-8)^2+(2x_2-8)^2+(2x_3-8)^2+(2x_4-8)^2+(2x_5-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×4×[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]$
$=4×3=12$。
∴ 新数据的平均数与方差的和为$5+12=17$。
【答案】
17
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计量变换规律
【点评】
本题核心考查平均数和方差的计算规则，既可以通过定义逐步推导，也可以利用数据线性变换下的统计量变化规律快速求解，解题时要注意方差仅受系数影响，常数项不会改变方差的大小，避免因混淆规律导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：①先利用原数据的平均数，根据平均数的定义或者线性变换下平均数的变化规律，计算出新数据的平均数；②再利用原数据的方差，结合方差的定义或者线性变换下方差的变化规律，计算出新数据的方差；③最后将新得到的平均数和方差相加即可得到结果。需要注意的是，数据经过“乘a加b”的变换后，平均数变为原平均数的a倍加b，方差变为原方差的a²倍，常数项b不影响方差大小，计算时不要混淆两者的变化规则。
【解析】
∵ 数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，
∴ $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$，即$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$，
∴ 新数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数为：
$\frac{(2x_1-3)+(2x_2-3)+(2x_3-3)+(2x_4-3)+(2x_5-3)}{5}=\frac{2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-3×5}{5}=\frac{2×20-15}{5}=5$。
∵ 原数据的方差为3，
∴ $\frac{1}{5}[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]=3$，
∴ 新数据的方差为：
$\frac{1}{5}[(2x_1-3-5)^2+(2x_2-3-5)^2+(2x_3-3-5)^2+(2x_4-3-5)^2+(2x_5-3-5)^2]$
$=\frac{1}{5}[(2x_1-8)^2+(2x_2-8)^2+(2x_3-8)^2+(2x_4-8)^2+(2x_5-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×4×[(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2+(x_4-4)^2+(x_5-4)^2]$
$=4×3=12$。
∴ 新数据的平均数与方差的和为$5+12=17$。
【答案】
17
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计量变换规律
【点评】
本题核心考查平均数和方差的计算规则，既可以通过定义逐步推导，也可以利用数据线性变换下的统计量变化规律快速求解，解题时要注意方差仅受系数影响，常数项不会改变方差的大小，避免因混淆规律导致计算错误。
【难度系数】
0.7
8 我们把$a,b,c$三个数的中位数记作$Z|a,b,c|$，直线$y=kx+\frac{1}{2}$与函数$y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$的图象有且只有两个交点，则$k$的值为
$\frac{7}{6}$或$-\frac{1}{2}$或1
。答案
8.$\frac{7}{6}$或$-\frac{1}{2}$或1 【解析】由题意,函数 $y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$ 的图象如图所示.
∵直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 与函数 $y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$ 的图象有且只有两个交点,
∴当直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 经过点 (3,4) 时, $4=3k+\frac{1}{2}$,解得 $k=\frac{7}{6}$; 当直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 经过点 (1,0) 时, $k=-\frac{1}{2}$; 当 k=1 时,直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 平行于直线 y=x+1,与函数 $y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$ 的图象也有且仅有两个交点.
综上,直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 与函数 $y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$ 的图象有且只有两个交点时,k 的取值为 $\frac{7}{6}$ 或 $-\frac{1}{2}$ 或 1. 故答案为 $\frac{7}{6}$ 或 $-\frac{1}{2}$ 或 1.
关键点拨
画出函数的图象,观察该图象可知,直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 与函数图象有且只有两个交点,只需直线 $y=kx+\frac{1}{2}$ 经过点 (3,4) 或经过点 (1,0) 或平行于直线 y=x+1.
解析
【分析】
首先要理解新定义：$Z|a,b,c|$表示$a,b,c$三个数的中位数，即三个数按大小排序后位于中间的数，因此函数$y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$的图象是取三个一次函数值中中间大小的数对应的分段实线。直线$y=kx+\frac{1}{2}$是斜率为$k$的一次函数，要使它和该分段函数有且只有2个交点，需分三类讨论：①直线经过分段函数的转折点$(3,4)$；②直线经过分段函数的转折点$(1,0)$；③直线与分段函数的$y=x+1$段平行，仅和另外两段各交于1点，分别计算对应$k$值即可。
【解析】
根据题意，函数$y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$的图象为题目给出的分段实线图象，分情况讨论：
1. 当直线$y=kx+\frac{1}{2}$经过点$(3,4)$时，将点代入解析式：
$4=3k+\frac{1}{2}$，解得$k=\frac{7}{6}$，此时直线与函数图象有且只有2个交点；
2. 当直线$y=kx+\frac{1}{2}$经过点$(1,0)$时，将点代入解析式：
$0=k+\frac{1}{2}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，此时直线与函数图象有且只有2个交点；
3. 当$k=1$时，直线$y=x+\frac{1}{2}$与直线$y=x+1$平行，此时直线仅和分段函数的另外两段各交于1点，共2个交点，符合要求。
综上，满足条件的$k$的值为$\frac{7}{6}$或$-\frac{1}{2}$或1。
【答案】
$\frac{7}{6}$或$-\frac{1}{2}$或1
【知识点】
一次函数的性质，中位数的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的交点问题，解题的关键是理解新定义确定分段函数的图象，再结合一次函数的性质分类讨论求解，考查了数形结合与分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.3
首先要理解新定义：$Z|a,b,c|$表示$a,b,c$三个数的中位数，即三个数按大小排序后位于中间的数，因此函数$y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$的图象是取三个一次函数值中中间大小的数对应的分段实线。直线$y=kx+\frac{1}{2}$是斜率为$k$的一次函数，要使它和该分段函数有且只有2个交点，需分三类讨论：①直线经过分段函数的转折点$(3,4)$；②直线经过分段函数的转折点$(1,0)$；③直线与分段函数的$y=x+1$段平行，仅和另外两段各交于1点，分别计算对应$k$值即可。
【解析】
根据题意，函数$y=Z|2x-2,x+1,-x+1|$的图象为题目给出的分段实线图象，分情况讨论：
1. 当直线$y=kx+\frac{1}{2}$经过点$(3,4)$时，将点代入解析式：
$4=3k+\frac{1}{2}$，解得$k=\frac{7}{6}$，此时直线与函数图象有且只有2个交点；
2. 当直线$y=kx+\frac{1}{2}$经过点$(1,0)$时，将点代入解析式：
$0=k+\frac{1}{2}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，此时直线与函数图象有且只有2个交点；
3. 当$k=1$时，直线$y=x+\frac{1}{2}$与直线$y=x+1$平行，此时直线仅和分段函数的另外两段各交于1点，共2个交点，符合要求。
综上，满足条件的$k$的值为$\frac{7}{6}$或$-\frac{1}{2}$或1。
【答案】
$\frac{7}{6}$或$-\frac{1}{2}$或1
【知识点】
一次函数的性质，中位数的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的交点问题，解题的关键是理解新定义确定分段函数的图象，再结合一次函数的性质分类讨论求解，考查了数形结合与分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共52分)
9 (AI)名师编审 已知甲、乙两班人数相同,在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示.
(1)甲班成绩的中位数为
(2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分,其中“下半截箱子”较长,这说明了什么?
(3)由此图估计甲、乙两班成绩的平均数较高的班级是哪个?
9 (AI)名师编审 已知甲、乙两班人数相同,在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示.
(1)甲班成绩的中位数为
128
,乙班成绩的第三四分位数为128
.(2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分,其中“下半截箱子”较长,这说明了什么?
(3)由此图估计甲、乙两班成绩的平均数较高的班级是哪个?
答案
9.【解】(1)由题图可知,甲班成绩的中位数为 128,乙班成绩的第三四分位数为 128,故答案为 128,128.
(2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩波动要大于中等偏上的同学.
(3)由两班成绩箱线图可以看出,甲班成绩的中位数为 128,而乙班成绩的第三四分位数是 128,同时,甲班成绩的第一四分位数明显高于乙班成绩的第一四分位数,由此估计甲班成绩的平均数较高.
(2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩波动要大于中等偏上的同学.
(3)由两班成绩箱线图可以看出,甲班成绩的中位数为 128,而乙班成绩的第三四分位数是 128,同时,甲班成绩的第一四分位数明显高于乙班成绩的第一四分位数,由此估计甲班成绩的平均数较高.
解析
【分析】
首先明确箱线图的构成规则：箱线图中，矩形箱体的下边缘对应第一四分位数（下四分位数），箱体内部的横线对应中位数，箱体上边缘对应第三四分位数（上四分位数），上下延伸的竖线（须）分别对应数据的最大值和最小值。
(1) 第一问直接根据中位数、第三四分位数在箱线图中的对应位置读取数值即可；
(2) 第二问中“下半截箱子”是第一四分位数到中位数的区间，区间长度越长说明该区间内的数据越分散，对应成绩波动越大；
(3) 第三问比较平均数，可通过对比两班各分位数的高低判断整体成绩水平：分位数整体更高的班级，平均成绩通常更高。
【解析】
(1) 观察箱线图：甲班箱体中间的横线（中位数）对应成绩为128，因此甲班成绩的中位数是128；乙班箱体的上边缘（第三四分位数）对应成绩为128，因此乙班成绩的第三四分位数是128。
(2) 甲班“下半截箱子”对应第一四分位数到中位数的区间，该区间更长，说明处于这个区间的中等偏下水平的同学成绩差距更大，即中等偏下同学的成绩波动大于中等偏上的同学。
(3) 对比两班箱线图可得：甲班的中位数为128，仅与乙班的第三四分位数相等，同时甲班的第一四分位数明显高于乙班的第一四分位数，说明甲班整体成绩的分位点普遍高于乙班，因此估计甲班的平均成绩更高。
【答案】
(1) 128，128
(2) 甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩波动要大于中等偏上的同学
(3) 甲班成绩的平均数较高
【知识点】
箱线图的认识、中位数、四分位数
【点评】
本题考查对箱线图各统计量含义的理解，需要结合箱线图的结构特征分析数据的集中趋势和离散程度，是统计部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
首先明确箱线图的构成规则：箱线图中，矩形箱体的下边缘对应第一四分位数（下四分位数），箱体内部的横线对应中位数，箱体上边缘对应第三四分位数（上四分位数），上下延伸的竖线（须）分别对应数据的最大值和最小值。
(1) 第一问直接根据中位数、第三四分位数在箱线图中的对应位置读取数值即可；
(2) 第二问中“下半截箱子”是第一四分位数到中位数的区间，区间长度越长说明该区间内的数据越分散，对应成绩波动越大；
(3) 第三问比较平均数，可通过对比两班各分位数的高低判断整体成绩水平：分位数整体更高的班级，平均成绩通常更高。
【解析】
(1) 观察箱线图：甲班箱体中间的横线（中位数）对应成绩为128，因此甲班成绩的中位数是128；乙班箱体的上边缘（第三四分位数）对应成绩为128，因此乙班成绩的第三四分位数是128。
(2) 甲班“下半截箱子”对应第一四分位数到中位数的区间，该区间更长，说明处于这个区间的中等偏下水平的同学成绩差距更大，即中等偏下同学的成绩波动大于中等偏上的同学。
(3) 对比两班箱线图可得：甲班的中位数为128，仅与乙班的第三四分位数相等，同时甲班的第一四分位数明显高于乙班的第一四分位数，说明甲班整体成绩的分位点普遍高于乙班，因此估计甲班的平均成绩更高。
【答案】
(1) 128，128
(2) 甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩波动要大于中等偏上的同学
(3) 甲班成绩的平均数较高
【知识点】
箱线图的认识、中位数、四分位数
【点评】
本题考查对箱线图各统计量含义的理解，需要结合箱线图的结构特征分析数据的集中趋势和离散程度，是统计部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
