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5. (2025·孝感期末)如图,线段$AB=24$,动点$P$从点$A$出发,以2个单位长度/秒的速度沿射线$AB$运动,$M$为$AP$的中点.
(1)当点$P$在线段$AB$上运动时.
①出发多少秒后,$PB=2AM$?
②试说明$2MB-PB$为定值.
(2)当点$P$在线段$AB$的延长线上运动时,设$N$为$BP$的中点,有下列两个结论:
①$MN$的长度不变;
②$MN+PN$的值不变.
选出一个正确的结论,并求其值.
备用图
(1)当点$P$在线段$AB$上运动时.
①出发多少秒后,$PB=2AM$?
②试说明$2MB-PB$为定值.
(2)当点$P$在线段$AB$的延长线上运动时,设$N$为$BP$的中点,有下列两个结论:
①$MN$的长度不变;
②$MN+PN$的值不变.
选出一个正确的结论,并求其值.
备用图
答案
横坐标；纵坐标
解析
根据函数图象的定义，函数自变量的每一个值对应点的横坐标，对应的函数值对应点的纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对应点，这些点组成的图形即为该函数的图象。
6. 如图,在数轴上的A点表示数a,B点表示数b,a,b满足$(a+2)^2 + |b-5| = 0$.
(1)点A表示的数为
(2)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以3个单位长度/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒).
①当t=1时,乙小球到原点的距离=
②试探究:甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗?若不可能,请说明理由;若可能,请通过计算说明.
(3)现将小球乙看成动点P,当点P运动到线段OB上时,分别取OB和AP的中点E,F,试判断$\frac{AB - OP}{EF}$的值是否为定值,若不是,请说明理由;若是,请求出该定值.
(1)点A表示的数为
-2
,点B表示的数为5
.(2)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以3个单位长度/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒).
①当t=1时,乙小球到原点的距离=
2
;当t=3时,乙小球到原点的距离=4
.②试探究:甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗?若不可能,请说明理由;若可能,请通过计算说明.
(3)现将小球乙看成动点P,当点P运动到线段OB上时,分别取OB和AP的中点E,F,试判断$\frac{AB - OP}{EF}$的值是否为定值,若不是,请说明理由;若是,请求出该定值.
答案
解：
当$k＞0$时，正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过第一、三象限；
当$k＜0$时，正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过第二、四象限。
第一处横线填写：一、三
第二处横线填写：二、四
当$k＞0$时，正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过第一、三象限；
当$k＜0$时，正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过第二、四象限。
第一处横线填写：一、三
第二处横线填写：二、四
解析
【分析】
1. 第(1)问：利用平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数均为0，即可求解a、b的值，得到A、B点表示的数。
2. 第(2)问①：先确定小球乙运动到原点的时间，分乙未碰到挡板、碰到挡板反弹两个阶段，分别计算对应时间乙的位置，即可求得到原点的距离。
②需分类讨论：第一种是乙还未碰到挡板（运动时间≤$\frac{5}{3}$秒），第二种是乙碰到挡板反弹后（运动时间＞$\frac{5}{3}$秒），分别表示出甲、乙到原点的距离，列方程求解后验证解是否符合对应时间段即可。
3. 第(3)问：先确定OB中点E的固定坐标，再分P向左运动到原点前、P反弹后向右运动仍在OB上两种情况，分别表示P、AP中点F的坐标，计算EF长度后代入$\frac{AB-OP}{EF}$化简，判断结果是否为定值。
【解析】
(1) 因为$(a+2)^2≥0$，$|b-5|≥0$，且$(a+2)^2 + |b-5| = 0$，所以$a+2=0$，$b-5=0$，解得$a=-2$，$b=5$，即点A表示的数为-2，点B表示的数为5。
(2) ①小球乙从B向左运动，速度为3单位/秒，B到原点的距离为5，所以乙运动到原点的时间为$5÷3=\frac{5}{3}$秒。
当t=1时，$\frac{5}{3}＞1$，乙未碰到挡板，运动后的位置为$5-3×1=2$，到原点的距离为2；
当t=3时，$3＞\frac{5}{3}$，乙碰到挡板后反弹向右运动的时间为$3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$秒，运动后的位置为$3×\frac{4}{3}=4$，到原点的距离为4。
②假设两小球到原点的距离相等，分两种情况：
当$0＜t≤\frac{5}{3}$时，乙在原点右侧，到原点的距离为$5-3t$；甲向左运动，到原点的距离为$2t+2$，列方程得$2t+2=5-3t$，解得$t=\frac{3}{5}$，符合取值范围；
当$t＞\frac{5}{3}$时，乙反弹后向右运动，到原点的距离为$3t-5$；甲到原点的距离仍为$2t+2$，列方程得$2t+2=3t-5$，解得$t=7$，符合取值范围。
综上，当$t=\frac{3}{5}$秒或$t=7$秒时，两小球到原点的距离相等。
(3) 由(1)得$AB=5-(-2)=7$，点E是OB中点，所以E表示的数为$\frac{5}{2}$，分两种情况：
① 如图①，当$0＜t≤\frac{5}{3}$时，点P向左运动未到原点，P表示的数为$5-3t$，则$OP=5-3t$；F是AP的中点，所以F表示的数为$\frac{-2 + (5-3t)}{2}=\frac{3-3t}{2}$；则$EF=\frac{5}{2}-\frac{3-3t}{2}=\frac{2+3t}{2}$，代入得$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{7-(5-3t)}{\frac{2+3t}{2}}=2$。
② 如图②，当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时，点P反弹后向右运动，仍在线段OB上，P表示的数为$3t-5$，则$OP=3t-5$；F是AP的中点，所以F表示的数为$\frac{-2 + (3t-5)}{2}=\frac{3t-7}{2}$；则$EF=\frac{5}{2}-\frac{3t-7}{2}=\frac{12-3t}{2}$，代入得$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{7-(3t-5)}{\frac{12-3t}{2}}=2$。
综上，$\frac{AB-OP}{EF}$的值是定值，为2。
【答案】
(1) $\boxed{-2}$；$\boxed{5}$
(2) ① $\boxed{2}$；$\boxed{4}$
② 可能，当$t=\frac{3}{5}$秒或$t=7$秒时，甲、乙两小球到原点的距离相等。
(3) 是定值，定值为$\boxed{2}$：
①当$0＜t≤\frac{5}{3}$时，$\frac{AB - OP}{EF}=2$；
②当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时，$\frac{AB - OP}{EF}=2$。
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；线段中点计算
【点评】
本题综合考查了非负数性质、数轴动点位置表示、分类讨论思想，解题核心是根据动点的运动阶段分情况分析，正确表示不同阶段动点对应的数，能够锻炼逻辑思维能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：利用平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数均为0，即可求解a、b的值，得到A、B点表示的数。
2. 第(2)问①：先确定小球乙运动到原点的时间，分乙未碰到挡板、碰到挡板反弹两个阶段，分别计算对应时间乙的位置，即可求得到原点的距离。
②需分类讨论：第一种是乙还未碰到挡板（运动时间≤$\frac{5}{3}$秒），第二种是乙碰到挡板反弹后（运动时间＞$\frac{5}{3}$秒），分别表示出甲、乙到原点的距离，列方程求解后验证解是否符合对应时间段即可。
3. 第(3)问：先确定OB中点E的固定坐标，再分P向左运动到原点前、P反弹后向右运动仍在OB上两种情况，分别表示P、AP中点F的坐标，计算EF长度后代入$\frac{AB-OP}{EF}$化简，判断结果是否为定值。
【解析】
(1) 因为$(a+2)^2≥0$，$|b-5|≥0$，且$(a+2)^2 + |b-5| = 0$，所以$a+2=0$，$b-5=0$，解得$a=-2$，$b=5$，即点A表示的数为-2，点B表示的数为5。
(2) ①小球乙从B向左运动，速度为3单位/秒，B到原点的距离为5，所以乙运动到原点的时间为$5÷3=\frac{5}{3}$秒。
当t=1时，$\frac{5}{3}＞1$，乙未碰到挡板，运动后的位置为$5-3×1=2$，到原点的距离为2；
当t=3时，$3＞\frac{5}{3}$，乙碰到挡板后反弹向右运动的时间为$3-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$秒，运动后的位置为$3×\frac{4}{3}=4$，到原点的距离为4。
②假设两小球到原点的距离相等，分两种情况：
当$0＜t≤\frac{5}{3}$时，乙在原点右侧，到原点的距离为$5-3t$；甲向左运动，到原点的距离为$2t+2$，列方程得$2t+2=5-3t$，解得$t=\frac{3}{5}$，符合取值范围；
当$t＞\frac{5}{3}$时，乙反弹后向右运动，到原点的距离为$3t-5$；甲到原点的距离仍为$2t+2$，列方程得$2t+2=3t-5$，解得$t=7$，符合取值范围。
综上，当$t=\frac{3}{5}$秒或$t=7$秒时，两小球到原点的距离相等。
(3) 由(1)得$AB=5-(-2)=7$，点E是OB中点，所以E表示的数为$\frac{5}{2}$，分两种情况：
① 如图①，当$0＜t≤\frac{5}{3}$时，点P向左运动未到原点，P表示的数为$5-3t$，则$OP=5-3t$；F是AP的中点，所以F表示的数为$\frac{-2 + (5-3t)}{2}=\frac{3-3t}{2}$；则$EF=\frac{5}{2}-\frac{3-3t}{2}=\frac{2+3t}{2}$，代入得$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{7-(5-3t)}{\frac{2+3t}{2}}=2$。
② 如图②，当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时，点P反弹后向右运动，仍在线段OB上，P表示的数为$3t-5$，则$OP=3t-5$；F是AP的中点，所以F表示的数为$\frac{-2 + (3t-5)}{2}=\frac{3t-7}{2}$；则$EF=\frac{5}{2}-\frac{3t-7}{2}=\frac{12-3t}{2}$，代入得$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{7-(3t-5)}{\frac{12-3t}{2}}=2$。
综上，$\frac{AB-OP}{EF}$的值是定值，为2。
【答案】
(1) $\boxed{-2}$；$\boxed{5}$
(2) ① $\boxed{2}$；$\boxed{4}$
② 可能，当$t=\frac{3}{5}$秒或$t=7$秒时，甲、乙两小球到原点的距离相等。
(3) 是定值，定值为$\boxed{2}$：
①当$0＜t≤\frac{5}{3}$时，$\frac{AB - OP}{EF}=2$；
②当$\frac{5}{3}＜t≤\frac{10}{3}$时，$\frac{AB - OP}{EF}=2$。
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；线段中点计算
【点评】
本题综合考查了非负数性质、数轴动点位置表示、分类讨论思想，解题核心是根据动点的运动阶段分情况分析，正确表示不同阶段动点对应的数，能够锻炼逻辑思维能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.5
